8. Работа при подъёме тела на пружине

Определения и обозначения

Удлинение пружины x — изменение её длины по сравнению с недеформированным состоянием. Если пружину растянули, x показывает, насколько она стала длиннее, и измеряется в метрах. Эта величина определяет силу упругости и входит во все формулы работы.

Коэффициент жёсткости пружины k показывает, какая сила нужна для удлинения пружины на единицу длины. Его измеряют в Н/м: чем больше k, тем труднее растянуть пружину на то же расстояние. Жёсткость позволяет связать деформацию с силой.

Сила упругости возникает при деформации пружины и направлена противоположно её растяжению или сжатию. При растяжении пружина тянет тело обратно, к исходному состоянию. Именно эта сила сопротивляется внешнему воздействию.

Работа силы упругости — работа переменной силы пружины при изменении её деформации, обозначаемая Aупр. Она зависит не только от начального и конечного удлинений, но и от направления перемещения. При растяжении работа упругой силы отрицательна.

Как это устроено

Если пружина не деформирована, сила упругости равна нулю. По мере растяжения части пружины смещаются относительно друг друга, и внутри неё возникают силы, стремящиеся вернуть прежнюю длину. Для упругих деформаций действует закон Гука: Fупр = kx, поэтому сила растёт прямо пропорционально удлинению.

Формула A = Fs подходит только тогда, когда сила постоянна на всём пути. У пружины в начале растяжения сила мала, а в конце достигает kx, поэтому подставлять конечное значение на весь путь нельзя. Такое вычисление заменяет переменную силу постоянной и даёт неверный результат.

Работу переменной силы удобно определять графически. На графике F(x) маленький участок пути соответствует площади узкой полоски, а сумма таких площадей даёт всю работу. При законе Гука график является прямой, и область от 0 до x имеет форму треугольника.

Площадь этого треугольника равна ½ · x · kx, откуда Aвнеш = kx²/2. Здесь рассматривается медленное растяжение: внешняя сила в каждый момент почти уравновешивает силу упругости, поэтому тело не получает заметного ускорения. Работа внешней силы положительна, так как её направление совпадает с перемещением.

Сила упругости направлена против перемещения, поэтому совершает работу Aупр = −kx²/2. Энергия, переданная пружине, запасается в ней как потенциальная энергия упругой деформации: Eп = kx²/2. При обратном движении пружина может вернуть эту энергию, совершив положительную работу над телом.

Работа сил при растяжении пружины

В таблице собраны формулы для разных ситуаций. Сначала определите, от какого до какого удлинения меняется пружина, а затем выберите строку с нужной силой или энергией. Знак показывает, увеличивает ли сила энергию системы или уменьшает её.

Разбор задач

Задача 1. Пружину жёсткостью 200 Н/м медленно растянули на 10 см. Найдём работу внешней силы и работу упругой силы. Сначала переведём удлинение в СИ: x = 0,10 м.

1. Конечная сила равна F = kx = 200 · 0,10 = 20 Н.
2. Работа внешней силы — площадь треугольника под графиком: Aвнеш = kx²/2 = 200 · 0,10²/2 = 1 Дж.
3. Работа силы упругости имеет противоположный знак: Aупр = −1 Дж.

Ответ: Aвнеш = 1 Дж, Aупр = −1 Дж. Сумма работ равна нулю, потому что при медленном растяжении кинетическая энергия не изменяется.

Задача 2. Пружину растянули от 4 до 12 см. Жёсткость не задана, поэтому ответ выразим через k. Переводим удлинения: x₁ = 0,04 м, x₂ = 0,12 м.

1. Работа зависит от изменения энергии пружины: Aвнеш = k(x₂² − x₁²)/2.
2. Подставляем значения: Aвнеш = k(0,12² − 0,04²)/2.
3. Получаем Aвнеш = k(0,0144 − 0,0016)/2 = 0,0064k Дж.

Ответ: работа внешней силы равна 0,0064k Дж, если k выражена в Н/м. Работа упругой силы на том же участке равна −0,0064k Дж.

Задача 3. Груз медленно поднимают вертикальной пружиной, изменяя удлинение от x₁ до x₂. Если груз поднялся на высоту h, на него действуют сила упругости, сила тяжести и внешняя сила. При медленном движении сумма их работ равна нулю.

1. Работа пружины равна Aупр = −½k(x₂² − x₁²) = ½k(x₁² − x₂²).
2. Работа силы тяжести при подъёме равна Aтяж = −mgh.
3. Из условия Aвнеш + Aупр + Aтяж = 0 получаем Aвнеш = ½k(x₂² − x₁²) + mgh.

Ответ: Aвнеш = ½k(x₂² − x₁²) + mgh. Если подъём связан с уменьшением удлинения вертикальной пружины, можно дополнительно подставить h = x₁ − x₂.

Типичные ошибки

Конечную силу умножают на весь путь. Так делают, забывая, что сила пружины меняется от нуля до конечного значения. Проверьте себя: если график F(x) наклонная прямая, нужна площадь под графиком, а не прямоугольник Fконx.

Удлинение подставляют в сантиметрах. Формула требует согласованных единиц, а коэффициент k обычно дан в Н/м. Переводите сантиметры в метры до вычислений: 10 см = 0,10 м.

Не учитывают знак работы упругой силы. При растяжении сила пружины направлена против перемещения, поэтому её работа отрицательна. Сравните направления стрелок силы и перемещения: противоположные направления означают отрицательную работу.

Используют kx²/2 при ненулевом начальном удлинении. Эта формула описывает переход от x = 0. Если пружина уже растянута, применяйте разность k(x₂² − x₁²)/2 и проверяйте, увеличилась или уменьшилась её энергия.

Связь с другими темами

Для решения нужны понятия механической работы постоянной силы, закон Гука, графики зависимостей, а также единицы силы и длины. Работа переменной силы связывается с теоремой о кинетической энергии и законом сохранения энергии. Эти знания пригодятся при изучении потенциальной энергии, колебаний пружинного маятника и других задач с переменной силой.

Что запомнить

• Сила упругости пружины зависит от удлинения: Fупр = kx.
• При растяжении сила изменяется, поэтому работу находят как площадь под графиком F(x).
• При растяжении от нулевой деформации площадь под графиком является треугольником.
• Работа внешней силы при медленном растяжении: Aвнеш = kx²/2.
• Работа силы упругости при таком растяжении равна −kx²/2.
• Потенциальная энергия деформированной пружины равна kx²/2.
• При переходе от x₁ к x₂ работу определяют через разность энергий: k(x₂² − x₁²)/2.