2. Амплитудная модуляция

Определения и обозначения

Амплитудная модуляция — способ передачи информации, при котором амплитуда высокочастотного колебания изменяется по закону низкочастотного сигнала. Это позволяет «вложить» медленно меняющуюся информацию в колебание, которое удобно передавать радиосвязью. По изменению амплитуды принимающее устройство затем может восстановить исходный сигнал.

Несущая — высокочастотное колебание, амплитуда которого изменяется при модуляции. В формуле u(t) = U₀ cos(ωt) немодулированная несущая имеет амплитуду U₀ и циклическую частоту ω; обычная частота равна f = ω/(2π). Несущая нужна для переноса информации, а её высокая частота отличает её от самого сигнала.

Модулирующий сигнал — низкочастотное колебание, которое передаёт информацию и задаёт изменение амплитуды несущей. Для гармонического сигнала его можно записать как cos(Ωt), где Ω — циклическая частота, а F = Ω/(2π) — обычная частота. Именно этот сигнал определяет медленный рисунок изменений амплитуды.

Коэффициент модуляции m — отношение амплитуды изменения огибающей к амплитуде несущей. Он показывает относительную глубину модуляции: чем больше m, тем сильнее меняется амплитуда. При гармонической модуляции изменение амплитуды равно mU₀, поэтому m — безразмерная величина; для неискажённой AM обычно требуется m ≤ 1.

Как это устроено

Низкочастотное колебание трудно эффективно излучать обычной антенной: для работы с ним потребовалась бы очень большая длина антенны, а передача на большие расстояния была бы неудобной. Поэтому сигнал связывают с высокочастотной несущей, которую можно эффективно излучить и принять. Информация не теряется: она проявляется в закономерных изменениях параметров несущей, а при AM изменяется именно её амплитуда.

Для гармонической несущей cos(ωt) и модулирующего сигнала cos(Ωt) амплитудно-модулированное напряжение записывается так: u(t) = U₀[1 + m cos(Ωt)]cos(ωt). Множитель cos(ωt) описывает быстрые колебания несущей, а U₀ задаёт её исходную амплитуду. Выражение в квадратных скобках определяет, как эта амплитуда меняется со временем: при cos(Ωt) = 1 она максимальна, а при cos(Ωt) = −1 минимальна. Условие Ω ≪ ω означает, что за один период медленного сигнала несущая успевает совершить много быстрых колебаний.

Огибающая — медленно меняющийся контур, проходящий по вершинам быстрых колебаний AM-сигнала. Для приведённой модели верхняя огибающая задаётся выражением U₀[1 + m cos(Ωt)], а нижняя проходит симметрично относительно нуля. Форма верхнего контура повторяет модулирующий сигнал, потому что множитель при cos(ωt) меняется по тому же закону. Приёмник выделяет огибающую и, убрав постоянную составляющую и изменив масштаб, восстанавливает исходный сигнал.

Коэффициент модуляции можно определить не только по параметрам формулы, но и по графику. Если Umax и Umin — наибольшая и наименьшая амплитуды огибающей, то Umax = U₀(1 + m), а Umin = U₀(1 − m). Вычитание этих равенств даёт 2mU₀, а сложение — 2U₀, поэтому m = (Umax − Umin)/(Umax + Umin). Такая запись удобна, когда U₀ заранее неизвестна.

Если m > 1, множитель 1 + m cos(Ωt) в некоторые моменты становится меньше нуля и проходит через ноль. Тогда контур перестаёт просто повторять форму модулирующего сигнала: меняется знак множителя, и быстрые колебания переворачиваются по фазе. Обычный детектор огибающей не может правильно восстановить исходный сигнал из такого контура, поэтому появляется перемодуляция и искажение. Условие m ≤ 1 помогает избежать этой проблемы.

Основные параметры амплитудно-модулированного сигнала

Сначала определите, какой временной масштаб рассматриваете: быстрые колебания относятся к несущей, а медленные изменения контура — к модулирующему сигналу. Если известны крайние значения огибающей, используйте формулу для m; она не требует знания U₀. Помните, что ω и Ω — циклические частоты, а f и F выражаются в герцах.

Разбор задач

Задача 1. Дано: U₀ = 4 В, m = 0,3, частота несущей f = 100 кГц, частота сигнала F = 1 кГц. Требуется записать напряжение AM-сигнала. В формуле используются циклические частоты, поэтому прежде нужно перевести частоты из герц в радианы в секунду.

1. Записываем модель u(t) = U₀[1 + m cos(Ωt)]cos(ωt).
2. Вычисляем ω = 2πf = 2π·100 000 рад/с, а Ω = 2πF = 2π·1000 рад/с.
3. Подставляем значения: u(t) = 4[1 + 0,3 cos(2π·1000t)]cos(2π·100 000t) В.

Ответ: u(t) = 4[1 + 0,3 cos(2π·1000t)]cos(2π·100 000t) В, если t измеряется в секундах. Быстрый косинус описывает несущую частотой 100 кГц, а множитель в квадратных скобках меняется с частотой сигнала 1 кГц. Поэтому амплитуда несущей колеблется между 4(1 − 0,3) = 2,8 В и 4(1 + 0,3) = 5,2 В.

Задача 2. По графику огибающей определены Umax = 6 В и Umin = 2 В. Нужно найти коэффициент модуляции и проверить, допустима ли такая глубина модуляции. Здесь значения огибающей уже даны, поэтому не требуется отдельно находить амплитуду несущей.

1. Выбираем формулу по крайним амплитудам: m = (Umax − Umin)/(Umax + Umin).
2. Подставляем числа: m = (6 − 2)/(6 + 2) = 4/8.
3. Вычисляем результат и сравниваем его с единицей: m = 0,5 < 1.

Ответ: коэффициент модуляции равен 0,5, или 50 %. Проверка показывает, что перемодуляции нет, а огибающая не доходит до нуля. Сумма крайних амплитуд в знаменателе важна: деление только Umax на Umin не даёт коэффициент модуляции.

Задача 3. В передатчике амплитуда несущей U₀ = 5 В, амплитуда модулирующего сигнала равна 6 В. Требуется определить m и указать, какое искажение возникнет. Для гармонической модуляции амплитуда изменения несущей составляет mU₀, поэтому заданная амплитуда сигнала равна mU₀.

1. Выражаем коэффициент: m = 6 В/5 В.
2. Получаем m = 1,2 и сравниваем с граничным значением 1.
3. Так как m > 1, множитель 1 + m cos(Ωt) становится отрицательным в части периода.

Ответ: m = 1,2; возникнет перемодуляция. Огибающая будет переходить через ноль и уже не станет точной копией исходного сигнала. Поэтому приёмник, восстанавливающий информацию по огибающей, исказит её.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что при AM меняется частота несущей. Так путают разные виды модуляции, потому что у радиосигнала одновременно есть несколько параметров. Проверка: в формуле AM быстрый множитель cos(ωt) сохраняет свою частоту, а меняется множитель перед ним.

Ошибка: путать несущую и модулирующий сигнал. Их названия похожи по роли в передаче, но частоты и назначение различны: несущая переносит информацию, модулирующий сигнал её задаёт. Проверяйте себя по частотам: обычно Ω намного меньше ω.

Ошибка: вычислять m как Umax/Umin. Такое отношение показывает, насколько максимальная амплитуда больше минимальной, но не является коэффициентом модуляции. Чтобы проверить вычисление, подставьте крайние значения в формулу (Umax − Umin)/(Umax + Umin); при обычной AM с m ≤ 1 ответ не должен превышать единицу.

Ошибка: считать любое значение m допустимым без искажений. Это происходит, если воспринимать m только как число в формуле и не смотреть на форму огибающей. При m > 1 она проходит через ноль и перестаёт правильно повторять сигнал; проверка проста — сравните найденный коэффициент с единицей.

Связь с другими темами

Для работы с AM нужны знания о гармонических колебаниях: амплитуде, периоде, частоте и записи синусоидальной функции. Понятие огибающей связывает график быстрого колебания с медленным сигналом и подводит к детектированию — выделению информации из принятого радиосигнала. Амплитудную модуляцию полезно сравнивать с частотной, где по закону сигнала меняется частота несущей, а не её амплитуда. Эти идеи применяются при изучении передачи и приёма радиосигналов.

Что запомнить

• При амплитудной модуляции изменяется амплитуда несущей.
• Частота несущей значительно выше частоты модулирующего сигнала.
• Огибающая AM-сигнала повторяет форму модулирующего сигнала.
• Коэффициент модуляции можно найти по максимальной и минимальной амплитудам огибающей.
• При m < 1 огибающая не переходит через ноль.
• При m > 1 возникает перемодуляция и искажение сигнала.