§ 5.10. Амплитудная модуляция

Определения и обозначения

Амплитудная модуляция — способ передачи информации, при котором амплитуда высокочастотного несущего колебания изменяется по закону низкочастотного сигнала. Иначе говоря, быстрые колебания становятся то сильнее, то слабее в соответствии с передаваемым сообщением. Это позволяет перенести форму сообщения на радиоволну.

Несущая частота — высокая частота колебания, используемого для переноса информационного сигнала. Её обычно обозначают f₀, а амплитуду несущего колебания — U₀. Именно несущая обеспечивает передачу сигнала радиоволной на расстояние.

Модулирующий сигнал — низкочастотный сигнал, содержащий передаваемую информацию и управляющий амплитудой несущего колебания. Для гармонического сигнала его можно записать как Uм cos(2πfмt), где Uм — амплитуда, а fм — частота модуляции. Изменение этого сигнала отображается в изменении амплитуды несущей.

Коэффициент модуляции — отношение амплитуды модулирующего сигнала к амплитуде несущего колебания: m = Uм/U₀. Он показывает глубину модуляции, то есть насколько сильно меняется амплитуда несущей. Значение m позволяет проверить, не возникла ли перемодуляция.

Как это устроено

Низкочастотный сигнал сам по себе передавать на большие расстояния невыгодно: для эффективного излучения длина антенны должна быть связана с длиной волны, а у низкой частоты длина волны очень велика. Высокочастотное колебание имеет гораздо меньшую длину волны, поэтому его можно излучать антенной разумного размера. Модуляция использует это преимущество, сохраняя информацию о форме исходного сигнала.

Для получения AM-сигнала несущую амплитуды U₀ умножают на множитель, зависящий от модулирующего сигнала. При гармонической модуляции получается u(t) = U₀(1 + m cos(2πfмt)) cos(2πf₀t), где f₀ — несущая частота, а fм — частота модуляции. Косинус с высокой частотой задаёт быстрые колебания, а множитель перед ним меняет их амплитуду во времени. Поэтому информация не заменяет несущую, а управляет её амплитудой.

Если модулирующий сигнал гармонический, множитель перед несущей меняется плавно и повторяется через период модулирующего сигнала. Границы, которые соединяют наибольшие отклонения быстрых колебаний, образуют огибающую; её форма повторяет форму модулирующего сигнала. При Uм < U₀ амплитуда не становится отрицательной, а максимальная и минимальная амплитуды равны Amax = U₀ + Uм и Amin = U₀ − Uм. Отсюда m = Uм/U₀ = (Amax − Amin)/(Amax + Amin).

Коэффициент модуляции можно найти не только по исходным амплитудам Uм и U₀, но и по крайним значениям огибающей. Это удобно, когда доступен график или осциллограмма AM-сигнала, а отдельное модулирующее колебание не показано. Например, если огибающая меняется от 2 В до 8 В, то m = (8 − 2)/(8 + 2) = 0,6. При m = 1 минимальная амплитуда достигает нуля; при m > 1 огибающая искажается.

В спектре AM-сигнала остаётся несущая частота f₀ и возникают две боковые составляющие. При умножении cos(2πf₀t) на cos(2πfмt) формула произведения косинусов даёт колебания с частотами f₀ + fм и f₀ − fм. Поэтому одна боковая частота расположена выше несущей, другая — ниже; при гармонической модуляции амплитуда каждой боковой составляющей равна mU₀/2. Если модулирующий сигнал содержит частоты до fм,max, спектр занимает полосу шириной 2fм,max.

Основные характеристики амплитудной модуляции

В таблице собраны величины, которые понадобятся для записи AM-сигнала и анализа его огибающей и спектра. Обозначения f₀ и fм относятся соответственно к несущей и модулирующей частотам, а U₀ и Uм — к их амплитудам. По строкам можно определить нужную формулу в зависимости от того, какие данные заданы.

Сначала найдите, какие данные известны: исходные амплитуды, крайние значения огибающей или спектральные частоты. Затем выберите соответствующую строку и подставьте величины с одинаковыми единицами. Если требуется полоса частот, учитывайте обе боковые составляющие, а не только одну.

Разбор задач

Задача 1

Амплитуда несущего колебания равна 5 В, амплитуда модулирующего сигнала — 2 В, частоты равны 100 кГц и 5 кГц соответственно. Нужно записать AM-сигнал и найти коэффициент модуляции. Считаем, что оба колебания гармонические и начальные фазы равны нулю.

1. Используем стандартную запись u(t) = U₀(1 + m cos(2πfмt)) cos(2πf₀t). В неё входят амплитуда несущей, коэффициент модуляции и обе частоты.
2. Находим коэффициент: m = Uм/U₀ = 2/5 = 0,4. Значение меньше единицы, следовательно, перемодуляции нет.
3. Подставляем U₀ = 5 В, fм = 5 кГц и f₀ = 100 кГц. Получаем u(t) = 5(1 + 0,4 cos(2π · 5000t)) cos(2π · 100000t) В, если t выражено в секундах.

Ответ: u(t) = 5(1 + 0,4 cos(2π · 5000t)) cos(2π · 100000t) В; коэффициент модуляции m = 0,4. Частота внутри медленно меняющегося множителя равна 5 кГц, а внутри быстрого косинуса — 100 кГц. Такая проверка помогает не перепутать модулирующий сигнал с несущей.

Задача 2

Дан сигнал u(t) = 10(1 + 0,4 cos(2π · 1000t)) cos(2π · 100000t). Требуется определить максимальную и минимальную амплитуды, частоту модуляции и ширину спектра. Сравниваем запись с общей формулой AM-сигнала, чтобы выделить коэффициент, амплитуду несущей и частоты.

1. Из множителя 1 + 0,4 cos(2π · 1000t) получаем m = 0,4 и fм = 1000 Гц. Из множителя cos(2π · 100000t) получаем f₀ = 100000 Гц.
2. Амплитуда несущей U₀ равна 10, поэтому Amax = U₀(1 + m) = 10 · 1,4 = 14, а Amin = U₀(1 − m) = 10 · 0,6 = 6. Амплитуды выражены в тех же единицах, что и u(t).
3. Боковые частоты равны f₀ − fм = 99000 Гц и f₀ + fм = 101000 Гц. Разность между ними, то есть ширина спектра, равна 2000 Гц.

Ответ: Amax = 14, Amin = 6, частота модуляции — 1000 Гц, ширина спектра — 2000 Гц, или 2 кГц. Проверить результат можно по правилу Δf = 2fм для гармонического модулирующего сигнала. Крайние частоты спектра находятся на 1 кГц ниже и выше несущей.

Задача 3

В спектре AM-сигнала обнаружены частоты 95 кГц, 100 кГц и 105 кГц. Нужно определить частоты несущего и модулирующего сигналов, коэффициент модуляции по амплитудам составляющих и полосу пропускания. Частоты позволяют восстановить частотные параметры, но в условии не приведены амплитуды спектральных составляющих.

1. Средняя из трёх равноотстоящих частот — несущая: f₀ = 100 кГц. Боковые частоты расположены на 5 кГц ниже и выше неё, поэтому fм = 5 кГц.
2. Полоса от нижней боковой частоты до верхней равна 105 кГц − 95 кГц = 10 кГц. Это также согласуется с формулой Δf = 2fм.
3. По одним частотам нельзя определить m: для этого нужны амплитуды боковой и несущей составляющих. Если их обозначить Aб и A₀, то при гармонической модуляции Aб = mA₀/2, откуда m = 2Aб/A₀.

Ответ: f₀ = 100 кГц, fм = 5 кГц, полоса пропускания — 10 кГц. Коэффициент модуляции численно определить нельзя без амплитуд спектральных составляющих; формула для него — m = 2Aб/A₀. Так выявляется недостаток исходных данных, а не вычислительная ошибка.

Типичные ошибки

Первая ошибка — поменять местами несущую и модулирующую частоты. Так происходит, когда ориентируются только на порядок записи, а не на физический смысл: несущая обычно значительно выше частоты информационного сигнала. Проверьте формулу: быстрый косинус содержит f₀, а медленно меняющий амплитуду множитель — fм.

Вторая ошибка — считать коэффициент модуляции отношением Amin/Amax. Это отношение описывает другое соотношение огибающей и не равно глубине модуляции. Для проверки используйте m = Uм/U₀ или формулу через крайние амплитуды (Amax − Amin)/(Amax + Amin); ответ при отсутствии перемодуляции должен быть от 0 до 1.

Третья ошибка — допускать m > 1 и считать, что сигнал всё ещё имеет неискажённую огибающую. Причина в том, что коэффициент воспринимают только как число в формуле, не проверяя результат для минимальной амплитуды. Подставьте m в Amin = U₀(1 − m): при m > 1 выражение становится отрицательным, и огибающая пересекает ноль.

Четвёртая ошибка — учитывать в спектре только частоту f₀ + fм. Её нередко замечают первой, потому что она выше несущей, но произведение косинусов создаёт также составляющую f₀ − fм. Проверьте расположение линий спектра: при гармонической модуляции две боковые частоты должны быть симметричны относительно f₀.

Связь с другими темами

Для изучения AM нужно уметь описывать гармонические колебания, различать амплитуду, частоту и фазу. Также пригодятся формулы произведения тригонометрических функций: именно они показывают, откуда в спектре возникают боковые частоты. Эти знания помогают переходить от записи сигнала к его графику и спектру.

Амплитудная модуляция применяется при передаче сигналов электромагнитными волнами. Она связана с радиопередатчиком, который формирует модулированный сигнал, и радиоприёмником, который его принимает. По огибающей AM-сигнала можно выделить исходную информацию.

Следующий шаг — изучение детектирования, то есть выделения модулирующего сигнала из принятой радиоволны. Понимание AM также помогает сравнивать способы радиосвязи: при частотной модуляции информация связана не с амплитудой, а с изменением частоты колебаний. Это позволяет увидеть, какие свойства сигнала используют разные методы передачи.

Что запомнить

• При амплитудной модуляции изменяется амплитуда несущего колебания.
• Информационный сигнал называют модулирующим, а высокочастотное колебание — несущим.
• Коэффициент модуляции равен отношению амплитуды модулирующего сигнала к амплитуде несущего.
• При отсутствии перемодуляции коэффициент модуляции не превышает единицы.
• По огибающей AM-сигнала можно восстановить форму модулирующего сигнала.
• Спектр AM-сигнала содержит несущую частоту и две боковые частоты.
• Полоса частот AM-сигнала равна удвоенной максимальной частоте модулирующего сигнала.