"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.; под ред. Орлова В.А. (ч.1); Генденштейн Л.Э., Кошкина А.В., Левиев Г.И. (ч. 2)
Специальная теория относительности описывает движение тел, когда их скорость сравнима со скоростью света. Она меняет привычные представления о времени, пространстве, импульсе и энергии, но не отменяет механику Ньютона: при скоростях, намного меньших скорости света, её формулы дают практически те же результаты. Поэтому выбор механики зависит от того, насколько скорость тела велика по сравнению со скоростью света.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Специальная теория относительности — теория движения тел при скоростях, сравнимых со скоростью света, основанная на принципе относительности и постоянстве скорости света. Скорость света в вакууме обозначают c; она одинакова для всех инерциальных наблюдателей. Теория нужна, чтобы правильно описывать явления, для которых привычные ньютоновские формулы дают заметные ошибки.
Инерциальная система отсчёта — система, в которой свободное тело движется равномерно и прямолинейно. Её можно представить как систему, не ускоряющуюся и не вращающуюся относительно другой инерциальной системы. Такие системы важны потому, что именно для них формулируются постулаты СТО и законы механики.
Релятивистская механика — описание движения и взаимодействия тел с учётом эффектов специальной теории относительности. В формулах обычно используют скорость v и коэффициент Лоренца γ = 1/√(1 − v²/c²). Этот подход нужен, когда скорость тела уже не мала по сравнению с c.
Классическая механика — механика Ньютона, хорошо описывающая движение тел при скоростях, значительно меньших скорости света. В ней время считается общим для всех наблюдателей, а импульс тела равен mv. Она нужна для большинства повседневных и инженерных расчётов, где релятивистские поправки неразличимо малы.
Классическая механика остаётся применимой, потому что при малых скоростях коэффициент Лоренца почти равен единице. Например, если v намного меньше c, величина v²/c² мала, поэтому γ почти не отличается от 1. Тогда релятивистские формулы для импульса и энергии превращаются в ньютоновские с высокой точностью. Именно поэтому механика Ньютона успешно описывает автомобили, мячи и большинство искусственных спутников.
СТО опирается на два постулата: законы физики одинаковы во всех инерциальных системах, а скорость света в вакууме постоянна для всех таких наблюдателей. Чтобы оба утверждения выполнялись, нельзя считать время и расстояния абсолютно одинаковыми для всех систем отсчёта. Промежутки времени и длины зависят от движения наблюдателя, а привычные определения импульса и энергии должны учитывать скорость тела. Эти изменения особенно заметны, когда скорость близка к c.
Если складывать скорости по правилу Галилея, быстрый объект можно было бы разогнать выше скорости света. Но свет должен иметь одну и ту же скорость для всех инерциальных наблюдателей, поэтому классическое правило здесь неприменимо. Для движения вдоль одной прямой релятивистский закон имеет вид u = (u′ + v)/(1 + u′v/c²), где u′ — скорость тела относительно движущейся системы, а v — скорость этой системы. Знаменатель не позволяет сумме превысить c: например, складывая две скорости меньше c, снова получаем скорость меньше c.
Степень релятивистских поправок показывает коэффициент Лоренца γ = 1/√(1 − v²/c²). При v, близкой к нулю, γ практически равен единице; с ростом v знаменатель уменьшается, а γ увеличивается. Поэтому формулы СТО всё сильнее расходятся с классическими, особенно вблизи скорости света. График импульса показывает это наглядно: при малых β = v/c кривые почти совпадают, а при приближении β к единице релятивистский импульс быстро растёт.
В классической механике импульс равен p = mv, а кинетическая энергия — K = mv²/2. В релятивистской механике импульс равен p = γmv, а кинетическая энергия K = (γ − 1)mc², где m — масса покоя. При малом v разложение формул по малой величине v/c приводит к классическим выражениям. Значит, ньютоновские формулы не конкурируют с релятивистскими, а получаются из них как приближение.
| Характеристика | Классическая механика | Релятивистская механика |
|---|---|---|
| Область применимости по скорости | Скорости намного меньше c | Любые скорости до c, особенно необходимые при v, сравнимой с c |
| Представления о времени и пространстве | Время и расстояния считаются абсолютными | Измерения времени и расстояний зависят от движения наблюдателя |
| Закон сложения скоростей | Скорости складываются по правилу Галилея | Применяется релятивистский закон сложения |
| Импульс тела | p = mv | p = γmv |
| Кинетическая энергия | K = mv²/2 | K = (γ − 1)mc² |
| Предельная скорость | В классической модели верхнего предела нет | Для материального тела предельна скорость света c |
| Связь между теориями при малых скоростях | Даёт приближённые формулы | Переходит в классическую механику при v ≪ c |
Сравнивайте не только названия формул, но и скорость тела относительно c: это подсказывает, насколько важны поправки. Для грубой оценки вычислите γ; если он практически равен единице, обычно достаточно классического расчёта. При заметном отличии γ от единицы используйте релятивистские выражения.
Сравним классическое и релятивистское значения импульса электрона массой m. Дано β = v/c = 0,01; численное значение массы для сравнения не требуется. Нужно выяснить, насколько релятивистский результат отличается от mv. Для этого сначала найдём γ, а затем сопоставим формулы.
Ответ: pкл = 0,01mc, pр ≈ 0,0100005mc; классической формулой можно пользоваться, если такая точность достаточна.
Аппарат движется относительно Земли со скоростью v = 0,8c, а зонд запускается вперёд со скоростью u′ = 0,6c относительно аппарата. Нужно найти скорость зонда относительно Земли. Простое сложение дало бы 1,4c, но это нарушило бы предельность скорости света. Поэтому применим релятивистский закон для движения вдоль одной прямой.
Ответ: скорость зонда относительно Земли примерно равна 0,946c. Заметьте, что движение аппарата и зонда не даёт классической суммы скоростей.
Пусть частица массой покоя m движется со скоростью v = 0,99c. Сравним классическую энергию Kкл = mv²/2 с релятивистской Kр = (γ − 1)mc². Удобно выразить обе энергии в единицах mc²: тогда масса сократится, и вычисления будут одинаковыми для любой частицы. Большое расхождение покажет, что приближение Ньютона здесь ненадёжно.
Ответ: Kкл ≈ 0,49mc², Kр ≈ 6,09mc². При скорости 0,99c классическую формулу кинетической энергии использовать нельзя.
Считать, что теория относительности полностью отменяет законы Ньютона, — неверно: ньютоновская механика получается при малых скоростях. Такую ошибку допускают, представляя новые теории только как замену старым. Проверьте себя: при v/c, стремящемся к нулю, релятивистские формулы должны перейти в классические.
Использовать классическое сложение скоростей при значениях, близких к c, опасно: сумма может оказаться больше скорости света. Ошибка возникает из-за привычки складывать скорости по правилу Галилея в любой ситуации. Подставьте скорости в релятивистский закон и проверьте, что итог меньше c.
Не следует утверждать, что масса покоя обязательно растёт при движении. Такая трактовка связана с устаревшим понятием релятивистской массы; в современной записи масса m постоянна, а импульс зависит от γ. Для самопроверки различайте массу покоя и изменение импульса или энергии с ростом скорости.
Классическая формула кинетической энергии при скорости, сравнимой с c, может дать сильно заниженный результат. Её продолжают применять по привычке, не оценивая величину поправки. Сначала вычислите β = v/c и γ: если γ заметно больше единицы, сравните ответ с формулой K = (γ − 1)mc².
Для этой темы нужны законы Ньютона, понятия импульса и кинетической энергии, системы отсчёта и принцип относительности Галилея. Сравнение ньютоновских и релятивистских формул подготавливает к изучению релятивистского импульса, энергии, связи массы и энергии и физики элементарных частиц. Идеи СТО применяются в ядерной физике, ускорителях частиц и космонавтике. Поправки, связанные с относительностью, учитывают и в расчётах спутниковых навигационных систем.
Если теория относительности верна, почему мы продолжаем пользоваться механикой Ньютона?
При обычных скоростях релятивистские поправки настолько малы, что их нельзя заметить в большинстве практических задач. Механика Ньютона проще и даёт достаточно точный результат, поэтому её удобно применять в своей области.
При какой скорости классические формулы перестают быть достаточно точными?
Единой границы нет: допустимая скорость зависит от требуемой точности расчёта. Оценить поправку можно по коэффициенту Лоренца γ = 1/√(1 − v²/c²); если он заметно отличается от единицы, классических формул может быть недостаточно.
Почему скорость света не складывается с другими скоростями по классическому правилу?
Классическое сложение скоростей несовместимо с постоянством скорости света во всех инерциальных системах отсчёта. Релятивистский закон учитывает это и даёт результат, не превышающий c.
Действительно ли при движении увеличивается масса тела?
В современной физике обычно говорят, что масса покоя тела не меняется. При этом импульс и энергия зависят от скорости, а описание через «увеличение релятивистской массы» считают устаревшим и необязательным.
Можно ли считать релятивистскую механику заменой классической во всех задачах?
Релятивистская механика применима и при малых скоростях, но для таких задач часто избыточна. Механика Ньютона остаётся её удобным приближением, когда скорость намного меньше скорости света и не нужна высокая точность.
4. Отменяет ли теория относительности классическую механику?
