2. Изменение кинетической энергии и работа равнодействующей

Определения и обозначения

Кинетическая энергия — энергия движения тела: Eк = mv²/2, где m — масса тела, v — его скорость. Массу выражают в килограммах, скорость — в метрах в секунду, а энергию — в джоулях (Дж). Формула нужна, чтобы количественно оценить энергию движущегося тела.

Работа силы характеризует передачу энергии силой при перемещении тела. Для постоянной силы A = Fs cos α, где F — модуль силы, s — модуль перемещения, α — угол между направлением силы и перемещения. Работа измеряется в джоулях; формула показывает, что учитывается только составляющая силы вдоль перемещения.

Равнодействующая сил — сила, действие которой на тело эквивалентно совместному действию всех приложенных сил. Её обозначают Fрез и находят как векторную сумму: Fрез = F₁ + F₂ + … . Это позволяет заменить несколько сил одной силой и рассматривать их общее действие на движение.

Работа равнодействующей — работа силы, равной векторной сумме приложенных сил. Она равна сумме работ отдельных сил: Aрез = A₁ + A₂ + … . Такое определение важно, потому что изменение кинетической энергии определяется общим действием сил, а не одной выбранной силой.

Как это устроено

Начнём со второго закона Ньютона: Fрез = ma. Если тело переместилось на расстояние s вдоль направления постоянного ускорения, то из кинематики v₂² − v₁² = 2as. Умножим обе части на m/2 и используем ma = Fрез: получим m(v₂² − v₁²)/2 = Fрезs. Правая часть — работа равнодействующей, если она направлена вдоль перемещения; при произвольном угле учитывается множитель cos α.

Кинетическая энергия в начале движения равна Eк₁ = mv₁²/2, а в конце — Eк₂ = mv₂²/2. Поэтому выражение m(v₂² − v₁²)/2 — это Eк₂ − Eк₁, то есть изменение энергии. Так получается теорема: Aрез = Eк₂ − Eк₁. Она не утверждает, что работа равна всей кинетической энергии: сравниваются конечное и начальное состояния тела.

Знак работы объясняется направлением силы относительно перемещения. Если сила направлена хотя бы частично по движению, её работа положительна и энергия увеличивается; если против движения — работа отрицательна и энергия уменьшается. При силе, перпендикулярной перемещению, cos α = 0, поэтому работа этой силы равна нулю. Нулевая работа равнодействующей означает, что конечная и начальная кинетические энергии одинаковы.

Когда на тело действуют несколько сил, работу каждой можно посчитать отдельно и сложить. Это даёт тот же результат, что вычисление работы равнодействующей: Aрез = ΣAᵢ. Причина в том, что проекции сил вдоль перемещения складываются так же, как складываются их вклады в работу. Например, если сила тяги совершает положительную работу, а трение — отрицательную, итог зависит от суммы обеих работ.

Теорема удобна тем, что связывает начальную и конечную скорости непосредственно с работой. Если известны масса, начальная скорость и работа равнодействующей, можно найти конечную скорость из уравнения Aрез = m(v₂² − v₁²)/2. Если скорости известны, из него находят работу. При этом не требуется отдельно определять время движения или подробно находить ускорение на каждом участке.

Кинетическая энергия и работа равнодействующей

Сначала выберите нужную строку по известным величинам и проверьте, все ли значения выражены в единицах СИ. Угол α в формуле работы отсчитывается между силой и перемещением. В задачах на изменение скорости используйте последнюю строку и подставляйте работу всех сил вместе.

Разбор задач

Кинетическая энергия движущегося тела

Тело массой 2 кг движется со скоростью 3 м/с. Найдём его кинетическую энергию. В этой задаче известны обе величины из формулы, поэтому достаточно подставить их и вычислить квадрат скорости. Проверим, что результат получен в джоулях.

1. Запишем формулу: Eк = mv²/2.
2. Подставим значения: Eк = 2 · 3²/2 = 9 Дж.
3. Масса дана в килограммах, скорость — в метрах в секунду, значит, единицы соответствуют СИ.

Ответ: 9 Дж.

Работа силы под углом к перемещению

Постоянная сила 10 Н направлена под углом 60° к перемещению тела длиной 4 м. Нужно найти работу именно этой силы. Нельзя просто перемножить F и s: угол показывает, что не вся сила направлена вдоль перемещения. Для угла 60° cos 60° = 1/2.

1. Используем формулу работы постоянной силы: A = Fs cos α.
2. Подставим данные: A = 10 · 4 · cos 60° = 40 · 1/2 = 20 Дж.
3. Работа положительна, потому что угол острый и сила имеет составляющую по направлению движения.

Ответ: 20 Дж.

Работа равнодействующей при разгоне

Тело массой 5 кг увеличило скорость с 2 до 6 м/с. Найдём работу равнодействующей, не вычисляя отдельно силу, ускорение и время. Поскольку скорость стала больше, кинетическая энергия возросла, а работа равнодействующей должна быть положительной. По теореме достаточно вычислить разность конечной и начальной энергий.

1. Запишем теорему: Aрез = Eк₂ − Eк₁ = m(v₂² − v₁²)/2.
2. Подставим значения: Aрез = 5 · (6² − 2²)/2 = 5 · 32/2 = 80 Дж.
3. Положительный ответ согласуется с тем, что тело разогналось и его кинетическая энергия увеличилась.

Ответ: 80 Дж.

Типичные ошибки

Ошибка — считать кинетическую энергию пропорциональной скорости и забывать квадрат: Eк = mv²/2. Так делают, потому что скорость в формуле легко принять за обычный множитель. Проверка: если скорость увеличить вдвое, подстановка должна показать увеличение энергии в четыре раза.

Ошибка — всегда считать работу как Fs, не учитывая угол между силой и перемещением. Такая запись верна лишь тогда, когда сила направлена вдоль перемещения; в общем случае нужен множитель cos α. Перед вычислением изобразите направления силы и движения, а затем определите угол и знак косинуса.

Ошибка — подставлять в теорему работу одной силы, хотя на тело действуют и другие. Это неверно, потому что изменение энергии создаёт совместное действие всех сил, выраженное работой равнодействующей. Проверьте себя: либо найдите Aрез напрямую, либо сложите работы всех сил и убедитесь, что получилась та же величина.

Ошибка — считать отрицательную работу невозможной. Её допускают, когда сила направлена против перемещения, например сила трения при скольжении. Сверьте знак с углом: при тупом угле cos α отрицателен, поэтому работа отрицательна и кинетическая энергия может уменьшиться.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны второй закон Ньютона, понятия силы и равнодействующей, а также перемещения и скорости. Теорема об изменении кинетической энергии связана с законом сохранения механической энергии: она помогает отслеживать превращения энергии при движении. Такой подход позволяет решать задачи без подробного рассмотрения времени и ускорения. Понятие работы также пригодится при изучении потенциальной энергии, мощности и преобразований энергии.

Что запомнить

• Кинетическая энергия тела равна Eк = mv²/2.
• Работа постоянной силы равна A = Fs cos α.
• Работа равнодействующей равна сумме работ всех сил.
• Работа равнодействующей равна изменению кинетической энергии: Aрез = Eк₂ − Eк₁.
• Положительная работа увеличивает кинетическую энергию, отрицательная — уменьшает.
• Кинетическая энергия не бывает отрицательной.