"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 3 частях)", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.; под ред. Орлова В.А. (ч. 1); Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И., под ред. Орлова В.А. (ч. 2); Генденштейн Л.Э., Кошкина А.В., Левиев Г.И. (ч. 3)
Кинетическая энергия описывает движение тела, а работа силы показывает, как сила изменяет это движение. Главный результат темы — теорема о кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе равнодействующей всех сил. С её помощью находят скорость тела после разгона, торможения или движения по наклонной плоскости, не вычисляя подробно время движения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Кинетическая энергия — энергия движения тела: Eк = mv²/2. Она зависит от массы и квадрата скорости, поэтому при увеличении скорости в два раза энергия возрастает в четыре раза. Эта величина нужна, чтобы сравнивать состояние тела до и после действия сил.
Работа силы характеризует действие силы на перемещении: A = Fs cos α. Здесь F — модуль силы, s — перемещение, а α — угол между ними. Формула показывает, какая часть силы действительно направлена вдоль движения и изменяет энергию тела.
Равнодействующая сил — сила, заменяющая совместное действие всех сил, приложенных к телу. Её находят сложением сил с учётом направлений. Использование равнодействующей позволяет рассматривать влияние нескольких сил как действие одной силы.
Теорема о кинетической энергии утверждает: изменение кинетической энергии тела равно работе равнодействующей, ΔEк = Aрез. Значит, по суммарной работе можно определить изменение скорости. Теорема особенно удобна, когда путь известен, а время движения искать не требуется.
Начнём со второго закона Ньютона: ma = Fрез. При равноускоренном движении связь скорости, ускорения и перемещения имеет вид v² − v₀² = 2as. Умножив это равенство на m/2, получаем m v²/2 − m v₀²/2 = ma s, то есть изменение кинетической энергии связано с произведением силы на путь.
Если сила и перемещение направлены не вдоль одной прямой, в работу входит проекция силы на направление движения: F cos α. Поэтому A = Fs cos α. Так из закона Ньютона получается ΔEк = Fs cos α для постоянной силы, а при переменной силе тот же смысл сохраняется через суммирование малых работ.
На тело могут действовать сила тяжести, трение, реакция опоры и другие силы. По принципу сложения сил равнодействующая равна их векторной сумме, а работа суммы равна сумме работ: Aрез = A₁ + A₂ + A₃ + … . Поэтому в теореме учитывают не одну выбранную силу, а полный результат действия всех сил.
Знак работы определяется углом между силой и перемещением. При α < 90° косинус положителен, работа увеличивает кинетическую энергию; при α > 90° косинус отрицателен, энергия уменьшается. При α = 90° работа равна нулю, поэтому такая сила не изменяет модуль скорости, хотя может менять направление движения.
На горизонтальном участке сила тяжести и реакция опоры перпендикулярны перемещению, поэтому их работы равны нулю; изменение энергии задают тяга и трение. На наклонной плоскости сила тяжести совершает работу mgh, а трение — отрицательную работу. При торможении равнодействующая направлена против скорости, её работа отрицательна и переводит начальную кинетическую энергию в другие формы.
| Величина или утверждение | Обозначение | Формула или связь | Единица СИ | Физический смысл |
|---|---|---|---|---|
| Кинетическая энергия | Eк | mv²/2 | Дж | Энергия движения |
| Работа постоянной силы | A | Fs cos α | Дж | Передача энергии силой на перемещении |
| Работа равнодействующей | Aрез | ΣAᵢ | Дж | Суммарное действие всех сил |
| Теорема о кинетической энергии | ΔEк | ΔEк = Aрез | Дж | Связь работы и изменения энергии |
| Положительная, отрицательная и нулевая работа | A | A > 0, A < 0, A = 0 | Дж | Увеличение, уменьшение или сохранение энергии |
| Связь изменения скорости с работой равнодействующей | Aрез | mv₂²/2 − mv₁²/2 | Дж | Определение конечной скорости |
Сначала определите силы и угол между каждой силой и перемещением, затем вычислите их работы. После этого сложите работы и приравняйте сумму к разности конечной и начальной кинетических энергий.
Тележка массой 2 кг увеличила скорость с 3 до 5 м/с. Требуется найти работу равнодействующей сил. Начальная и конечная энергии различны, поэтому нужно вычислить именно их разность.
Ответ: работа равнодействующей равна 16 Дж. Положительный знак согласуется с увеличением скорости.
Автомобиль массой 1000 кг движется со скоростью 20 м/с и останавливается. Нужно найти работу силы торможения. Конечная кинетическая энергия равна нулю, а работа торможения отрицательна.
Ответ: работа силы торможения равна −2 · 10⁵ Дж. Минус показывает, что сила уменьшает кинетическую энергию.
Груз массой m скользит вниз по плоскости длиной l и высотой h, коэффициент трения равен μ. Начальная скорость равна нулю, угол наклона обозначим α. Требуется найти конечную скорость через работы действующих сил.
Ответ: конечная скорость определяется этой формулой, если выражение под корнем неотрицательно. Работа тяжести разгоняет груз, а трение уменьшает приобретённую энергию.
Подставляют в работу только Fs. Так делают, забывая, что сила может быть направлена под углом к перемещению. Проверьте угол: в формуле всегда должен присутствовать множитель cos α.
Считают работу трения положительной. При обычном скольжении трение направлено против перемещения, поэтому его косинус равен −1 и работа отрицательна. Нарисуйте направления силы и движения, прежде чем выбирать знак.
Приравнивают работу одной силы к изменению энергии. Это верно только тогда, когда остальные силы не совершают работы или их работы уже включены. Составьте полный список сил и запишите Aрез = ΣAᵢ.
Путают изменение энергии с конечной энергией. Изменение равно Eк2 − Eк1, а не просто Eк2. Проверьте начальное состояние и обязательно вычтите начальную энергию.
Для применения теоремы нужны второй закон Ньютона, формула кинетической энергии, понятия силы и перемещения. Формула работы использует скалярное произведение, поэтому важно понимать угол между векторами и знак косинуса.
Тема помогает решать задачи о разгоне и торможении, подъёме грузов и движении по наклонной плоскости. Она также подводит к закону сохранения энергии: работа сил может изменять кинетическую энергию и превращать её в потенциальную или внутреннюю.
Почему в теореме используется работа равнодействующей, а не работа отдельной силы?
На тело обычно действует несколько сил, и каждая может изменить его скорость. Равнодействующая заменяет их совместное действие, а её работа равна сумме работ всех сил.
Может ли работа силы быть отрицательной?
Да. Работа отрицательна, если сила направлена противоположно перемещению, как сила трения при скольжении. Такая работа уменьшает кинетическую энергию тела.
Что происходит с кинетической энергией, если равнодействующая перпендикулярна перемещению?
Угол между силой и перемещением равен 90°, поэтому cos 90° = 0 и работа равнодействующей равна нулю. Кинетическая энергия и модуль скорости не изменяются.
Как учитывать силу трения в задачах на изменение кинетической энергии?
Нужно найти её работу: при движении по поверхности трение обычно направлено против перемещения, поэтому Aтр = −Fтрs. Затем эту работу складывают с работами силы тяжести, реакции опоры и других сил.
Чем изменение кинетической энергии отличается от её конечного значения?
Изменение равно разности конечной и начальной энергий: ΔEк = Eк2 − Eк1. Конечная энергия — это только Eк2, поэтому начальную энергию из неё вычитать нельзя.
2. Изменение кинетической энергии и работа равнодействующей
