"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 3 частях)", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.; под ред. Орлова В.А. (ч. 1); Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И., под ред. Орлова В.А. (ч. 2); Генденштейн Л.Э., Кошкина А.В., Левиев Г.И. (ч. 3)
При движении по окружности тело всё время меняет положение, а вместе с ним меняется и направление его скорости. Мгновенная скорость показывает, куда тело двигалось бы в данный момент, если бы перестало поворачивать. Её направление совпадает с касательной к окружности и перпендикулярно радиусу-вектору. Модуль скорости связан с угловой скоростью формулой v = ωR, но саму стрелку скорости нужно выбирать с учётом направления движения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Мгновенная скорость — векторная величина, направленная так же, как перемещение тела за очень малый промежуток времени. Вектор показывает не только быстроту движения, но и его направление в данный момент. При движении по окружности это направление нужно определять отдельно от модуля скорости: оно не совпадает с направлением радиуса.
Касательная к окружности — прямая, которая имеет с окружностью одну общую точку. В этой точке касательная задаёт направление мгновенной скорости тела. Она нужна, чтобы понять, куда тело движется именно сейчас, а не куда оно направится к центру или от него.
Угловая скорость — величина, характеризующая быстроту изменения угла поворота радиус-вектора. Её обычно обозначают греческой буквой ω (омега), а радиус окружности — R. Угловая скорость помогает связать поворот тела с его движением вдоль окружности: модуль линейной скорости равен v = ωR.
Рассмотрим тело в двух близких точках окружности: сначала в одной, затем спустя небольшой промежуток времени — в другой. Перемещение между этими положениями изображается вектором, соединяющим точки, то есть хордой окружности. Поэтому при конечном промежутке направление перемещения ещё не совпадает в точности с направлением касательной в начальной точке. Чем меньше промежуток времени, тем ближе конечная точка к начальной и тем меньше отличается хорда от касательной.
Мгновенную скорость определяют как предел отношения перемещения ко времени, когда промежуток времени становится очень малым. В таком пределе направление хорды переходит в направление касательной к траектории. Поэтому скорость тела в конкретной точке окружности направлена по касательной именно в этой точке. Это рассуждение объясняет, почему для определения мгновенной скорости используют касательную, хотя тело перемещается по кривой.
Радиус, проведённый от центра окружности к точке тела, называют радиус-вектором. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу в точке касания, поэтому вектор мгновенной скорости тоже перпендикулярен радиус-вектору. Это геометрическое свойство позволяет построить направление скорости, даже если сама траектория изображена без стрелки движения. Однако перпендикулярность задаёт только линию направления: по ней можно направить вектор в одну из двух противоположных сторон.
Чтобы выбрать нужную сторону касательной, надо знать, куда тело движется по окружности. Например, в одной и той же точке возможны движение по часовой стрелке и движение против часовой стрелки; соответствующие векторы скорости будут направлены противоположно. Если тело движется равномерно, величина скорости остаётся постоянной, но положение тела и направление касательной меняются. Поэтому вектор скорости изменяется даже тогда, когда его модуль не меняется.
Угловая скорость ω показывает, как быстро поворачивается радиус-вектор, а линейная скорость v показывает, как быстро тело проходит путь вдоль окружности. За один и тот же поворот тело на окружности большего радиуса проходит более длинную дугу. Поэтому при одинаковой угловой скорости его линейная скорость больше, если больше радиус. Эта связь выражается формулой v = ωR: она определяет модуль скорости, а направление вектора по-прежнему задаёт касательная.
Сначала найдите в таблице, что именно требуется определить: направление скорости или её модуль. Для направления используйте касательную и учитывайте сторону движения; для связи модулей подставляйте радиус и угловую скорость в формулу v = ωR. Перпендикулярность скорости радиусу служит геометрической проверкой построения.
| Что рассматриваем | Как определить | Связь с радиусом |
|---|---|---|
| Направление мгновенной скорости | Касательная к окружности в точке тела; сторону выбирают по ходу движения | Перпендикулярно радиусу-вектору |
| Модуль скорости | v = ωR | Пропорционален радиусу R при заданной ω |
Условие. Тело движется по окружности. Нужно указать направление его мгновенной скорости в отмеченной точке, если известен радиус-вектор. Числовые значения не нужны: требуется построить направление вектора. Также необходимо учесть, в какую сторону движется тело.
Решение. Радиус-вектор идёт от центра окружности к телу, а скорость направлена не вдоль него, а по касательной. По одной касательной возможны два противоположных направления, поэтому без сведений о ходе движения окончательный ответ выбрать нельзя. Действуем так:
Ответ. Мгновенная скорость направлена по касательной в сторону движения тела. Если задан только радиус-вектор, но неизвестно направление движения, можно определить линию скорости, но нельзя выбрать одну из двух сторон этой линии.
Условие. Точка движется по окружности радиуса R с угловой скоростью ω. Требуется найти модуль её линейной скорости и указать направление в заданной точке. Считаем, что R и ω известны и движение происходит по окружности. Для численного ответа достаточно подставить заданные значения в формулу.
Решение. Угловая скорость характеризует поворот радиус-вектора, а линейная скорость — движение вдоль дуги. Эти величины связаны формулой v = ωR, поэтому сначала находим модуль, а направление определяем геометрически. Шаги решения:
Ответ. Модуль скорости равен v = ωR. Вектор скорости направлен по касательной к окружности в сторону движения точки; значения R и ω задают модуль, но сами по себе не заменяют построение направления.
Условие. Тело равномерно проходит четверть окружности. Нужно сравнить направления его мгновенной скорости в начале и конце участка и выяснить, изменилась ли скорость. Равномерность означает, что модуль скорости остаётся одинаковым. Положение конечной точки смещено относительно начальной на четверть полного оборота.
Решение. В каждой точке скорость направлена по собственной касательной. За четверть оборота радиус-вектор поворачивается на прямой угол, и вместе с ним меняется направление перпендикулярной ему касательной. Значит, касательные в начале и конце участка также перпендикулярны друг другу. Разберём сравнение:
Ответ. Направления мгновенной скорости в начале и конце четверти окружности различны и перпендикулярны. Модуль скорости не изменился, но вектор скорости изменился.
Направлять скорость вдоль радиуса. Радиус указывает от центра к телу, тогда как скорость при движении по окружности направлена по касательной. Эту ошибку допускают, потому что радиус часто изображён на схеме заметнее других линий. Проверьте себя: касательная и радиус в точке тела должны образовывать прямой угол.
Не учитывать сторону движения по касательной. Касательная задаёт линию, но по ней можно направить вектор в две противоположные стороны. Если выбрать стрелку без учёта хода движения, она может показывать не туда, куда перемещается тело. Проверьте направление по стрелке движения или по описанию вращения.
Считать, что при равномерном движении скорость не меняется. При равномерном движении по окружности постоянен модуль, но направление вектора меняется вместе с касательной. Путаница возникает, если словом «скорость» называют только числовое значение. Проверьте себя: сравните векторы в двух разных точках, а не только их длины.
Путать угловую скорость с линейной. Угловая скорость ω описывает изменение угла поворота, а линейная скорость v — движение вдоль окружности. Они имеют разный смысл и связаны формулой v = ωR, а не являются одной и той же величиной. Проверьте, что в ответе на вопрос о направлении указана касательная, а при расчёте модуля учтён радиус.
Для понимания направления скорости нужно помнить, что скорость — векторная величина, а её направление связано с перемещением за малый промежуток времени. Также пригодится умение проводить радиус-вектор и касательную и знание, что они перпендикулярны в точке касания. Перемена направления скорости приводит к ускорению даже при постоянном её модуле. Это наблюдение понадобится при изучении ускорения при движении по окружности и центростремительного ускорения.
Почему мгновенная скорость направлена по касательной, а не по хорде?
За конечный промежуток времени перемещение тела направлено по хорде между начальной и конечной точками. Если уменьшать промежуток времени, эти точки сближаются, а направление хорды приближается к направлению касательной. В пределе именно касательная задаёт направление мгновенной скорости.
Как определить, в какую сторону направлена скорость по касательной?
Сначала проведите касательную в точке, где находится тело: она задаёт линию возможного направления. Затем посмотрите, в какую сторону тело движется по окружности. Вектор скорости направлен вдоль касательной именно в эту сторону.
Почему скорость меняется при равномерном движении по окружности?
При равномерном движении за равные промежутки времени тело проходит одинаковые дуги, поэтому модуль скорости постоянен. Но касательная в каждой точке окружности направлена по-разному. Значит, меняется направление вектора скорости, а следовательно, меняется сама скорость как вектор.
Всегда ли скорость перпендикулярна радиусу-вектору?
При движении по окружности мгновенная скорость направлена по касательной, а касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Поэтому вектор скорости перпендикулярен радиусу-вектору тела. Это утверждение относится к движению по окружности и не является общим правилом для любой траектории.
Как связаны линейная и угловая скорости?
Линейная скорость v показывает, как быстро тело перемещается вдоль окружности, а угловая скорость ω — как быстро поворачивается радиус-вектор. Их модули связаны формулой v = ωR, где R — радиус окружности. Направление линейной скорости при этом определяют отдельно: по касательной и по ходу движения.
2. Направление мгновенной скорости при движении по окружности
