"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 3 частях)", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.; под ред. Орлова В.А. (ч. 1); Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И., под ред. Орлова В.А. (ч. 2); Генденштейн Л.Э., Кошкина А.В., Левиев Г.И. (ч. 3)
При равномерном движении по окружности тело сохраняет постоянный модуль скорости, но всё время меняет её направление. Поэтому оно движется с ускорением, которое называют центростремительным: ускорение направлено к центру окружности и перпендикулярно мгновенной скорости. Его модуль можно найти по формулам a = v²/r или a = ω²r, связывающим ускорение с линейной, угловой скоростью и радиусом.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равномерное движение по окружности — движение по окружности с постоянным модулем скорости. Направление скорости при этом меняется: в каждой точке вектор скорости направлен по касательной, а касательные в разных точках имеют разные направления. Это понятие нужно, чтобы отличать постоянство модуля скорости от постоянства всей скорости.
Ускорение при равномерном движении по окружности — изменение вектора скорости за единицу времени. Оно возникает даже тогда, когда числовое значение скорости не меняется, потому что меняется её направление. Ускорение показывает, насколько быстро поворачивается вектор скорости.
Центростремительное ускорение — ускорение, направленное к центру окружности. Его модуль равен a = v²/r, а также a = ω²r, где v — линейная скорость, r — радиус, ω — угловая скорость. Эти формулы позволяют найти ускорение по тем величинам, которые известны в условии.
В каждой точке окружности тело движется по касательной, поэтому вектор скорости направлен вдоль своей касательной. В двух близких точках модули скоростей могут быть одинаковыми, но направления различаются. Следовательно, векторы скоростей не равны, а их разность и есть изменение скорости.
Рассмотрим малый промежуток времени Δt: тело перемещается по небольшой дуге, а конец вектора скорости поворачивается на такой же малый угол. Вектор изменения скорости Δv направлен внутрь образовавшегося треугольника. При уменьшении Δt это направление всё точнее совпадает с направлением к центру окружности, поэтому ускорение направлено туда же.
Треугольник, составленный из двух близких радиусов, подобен треугольнику, составленному из векторов скоростей. Поэтому отношение изменения скорости к скорости равно отношению перемещения по дуге к радиусу: Δv/v = Δs/r. Разделив обе части на Δt и учитывая, что Δs/Δt = v, получаем a/v = v/r, то есть a = v²/r.
Линейная скорость связана с угловой скоростью формулой v = ωr. Если подставить её в выражение a = v²/r, получится a = (ωr)²/r = ω²r. При фиксированной линейной скорости увеличение радиуса уменьшает ускорение, а при фиксированной угловой скорости увеличение радиуса увеличивает ускорение.
Центростремительное ускорение перпендикулярно мгновенной скорости, потому что скорость направлена по касательной, а радиус — к центру. Перпендикулярная составляющая ускорения не увеличивает и не уменьшает модуль скорости. Она только непрерывно изменяет направление вектора скорости.
| Величина | Обозначение | Связь с другими величинами | Единица СИ | Направление |
|---|---|---|---|---|
| Линейная скорость | v | v = ωr | м/с | По касательной |
| Радиус окружности | r | r = v/ω | м | От центра к точке |
| Угловая скорость | ω | ω = v/r | рад/с | Вдоль оси вращения |
| Ускорение | a | a = v²/r = ω²r | м/с² | К центру окружности |
Сначала определите, какие величины известны в задаче, и выберите подходящую связь. Если дана линейная скорость, используйте a = v²/r, а если угловая — a = ω²r. Направление ускорения во всех случаях проверяйте отдельно: оно направлено к центру.
Условие: тело движется по окружности радиусом 2 м со скоростью 4 м/с. Найдите модуль ускорения.
Ответ: 8 м/с².
Условие: точка вращается с угловой скоростью 3 рад/с на расстоянии 0,5 м от оси. Найдите её ускорение.
Ответ: 4,5 м/с².
Условие: два тела движутся по окружностям разных радиусов с одинаковой линейной скоростью. Сравните их ускорения.
Ответ: большее ускорение имеет тело, движущееся по окружности меньшего радиуса.
Считать ускорение равным нулю. Так ошибаются, потому что связывают ускорение только с изменением числового значения скорости. Проверьте направление векторов скорости: если оно изменяется, ускорение не равно нулю.
Направлять ускорение по касательной. Касательная задаёт направление скорости, а не центростремительного ускорения. Проверьте себя: при равномерном движении по окружности ускорение должно быть направлено к центру.
Использовать a = v²r вместо a = v²/r. Такая запись даёт неверную зависимость от радиуса и неправильную размерность. Подставьте единицы: только v²/r даёт м/с².
Смешивать v и ω. Линейная скорость измеряется в м/с, а угловая — в рад/с, поэтому для них применяются разные формы формулы. Сначала выпишите данную величину и её единицу, затем выберите a = v²/r или a = ω²r.
Для понимания темы нужны определение ускорения как изменения вектора скорости, свойства векторов и представление о равномерном движении. Она связана с периодом и частотой обращения, угловой скоростью и другими характеристиками движения по окружности. Центростремительное ускорение понадобится при изучении сил, обеспечивающих движение по окружности, а также движения планет и спутников.
Почему тело ускоряется, если его скорость по модулю не меняется?
Скорость — это вектор, поэтому она определяется не только модулем, но и направлением. При движении по окружности направление скорости постоянно меняется, значит, меняется и сама скорость, а тело имеет ускорение.
Куда направлено ускорение при движении по окружности?
При равномерном движении по окружности ускорение направлено к центру окружности. Оно перпендикулярно мгновенной скорости, направленной по касательной.
Как получить формулу a = v²/r?
За малый промежуток времени направление скорости изменяется на тот же угол, на который тело перемещается по окружности. Из подобия треугольников для перемещения и изменения скорости получают Δv/v = Δs/r, а после деления на Δt и подстановки Δs/Δt = v получается a = v²/r.
Как связаны линейная и угловая скорости с ускорением?
Линейная и угловая скорости связаны формулой v = ωr. Подстановка этой связи в a = v²/r даёт формулу a = ω²r.
Как изменится ускорение, если увеличить радиус окружности?
При постоянной линейной скорости ускорение уменьшится, потому что a = v²/r: оно обратно пропорционально радиусу. При постоянной угловой скорости ускорение, наоборот, увеличится, поскольку a = ω²r.
3. Ускорение при равномерном движении по окружности
