2. Отскок мяча от наклонной плоскости

Определения и обозначения

Наклонная плоскость — поверхность, образующая угол с горизонтом. Направление вдоль неё называют тангенциальным, а перпендикулярное поверхности — нормальным. Такое разделение позволяет выбрать удобные оси именно для анализа удара.

Скорость до и после удара — векторные величины, описывающие движение мяча непосредственно перед столкновением и сразу после него. У них есть модуль и направление, поэтому сравнивать нужно не только числовые значения. По изменению этих векторов определяют результат отскока.

Нормальная и тангенциальная составляющие скорости — части вектора скорости, направленные соответственно перпендикулярно плоскости и вдоль неё. Их находят разложением одного вектора по двум взаимно перпендикулярным направлениям. Это нужно потому, что при гладком ударе эти составляющие изменяются по-разному.

Коэффициент восстановления e показывает, во сколько раз модуль нормальной скорости после удара меньше её модуля до удара: |vₙ после| = e|vₙ до|. При e = 1 удар абсолютно упругий, а при e < 1 часть механической энергии переходит во внутреннюю энергию и деформацию. Коэффициент не задаёт тангенциальную составляющую для гладкой поверхности.

Как это устроено

Скорость удобно разложить на нормальную и тангенциальную, потому что плоскость действует на мяч в разных направлениях неодинаково. Сила удара направлена почти перпендикулярно поверхности, а вдоль гладкой плоскости сила трения отсутствует. Поэтому вместо сложного изменения одного вектора рассматривают две простые составляющие.

При ударе о гладкую плоскость тангенциальная составляющая не меняется: поверхность не сообщает мячу ускорения вдоль себя. Нормальная составляющая, наоборот, меняет направление, поскольку мяч перестаёт двигаться в сторону плоскости и начинает удаляться от неё. При неупругом ударе её модуль дополнительно уменьшается из-за деформации мяча и поверхности.

Чтобы получить направление после отскока, сначала выбирают нормаль, направленную от плоскости, и считают нормальную скорость до удара отрицательной. Тогда для упругого удара достаточно заменить знак этой составляющей, а для неупругого записать vₙ после = −e vₙ до. Тангенциальную составляющую оставляют прежней и складывают два получившихся вектора.

При абсолютно упругом ударе сохраняется модуль скорости, поэтому прямоугольный треугольник её составляющих до и после удара имеет одинаковые стороны по длине. Меняется только знак нормальной стороны, а тангенциальная остаётся прежней. Следовательно, углы с нормалью равны: угол падения равен углу отражения.

При неупругом ударе нормальная составляющая становится меньше, а тангенциальная остаётся прежней. Поэтому угол между новой скоростью и нормалью обычно увеличивается: мяч движется более скользяще вдоль плоскости. Наклон поверхности влияет на горизонтальную и вертикальную составляющие через поворот выбранных осей: если α — угол плоскости с горизонтом, то для u = |vₙ до| имеем vₓ = vτ cos α − eu sin α и vᵧ = vτ sin α + eu cos α.

Изменение составляющих скорости при отскоке от гладкой наклонной плоскости

В таблице сначала находят строку с нужной составляющей, а затем используют её изменение для построения скорости после удара. Знаки нормальной составляющей зависят от выбранного направления оси, поэтому особенно надёжно сравнивать направления «к плоскости» и «от плоскости». Формула для модуля после удара получается по теореме Пифагора.

Разбор задач

Задача 1

Мяч движется со скоростью 10 м/с и перпендикулярно ударяется о гладкую горизонтальную поверхность. Требуется найти скорость сразу после абсолютно упругого удара. Направление движения изменится, но потерь энергии нет.

1. Так как мяч движется перпендикулярно поверхности, вся скорость является нормальной: vₙ до = 10 м/с.
2. Для абсолютно упругого удара e = 1, поэтому модуль нормальной скорости сохраняется, а знак меняется: vₙ после = −vₙ до.
3. Получаем v после = 10 м/с, но в направлении от поверхности, то есть вертикально вверх.

Ответ: скорость мяча после удара равна 10 м/с и направлена вертикально вверх. Тангенциальной составляющей нет, поэтому дополнительных вычислений не требуется.

Задача 2

Мяч налетает на плоскость со скоростью v под углом β к нормали, а плоскость наклонена к горизонту на угол α. Нужно найти направление и горизонтальную составляющую после абсолютно упругого отскока. Обозначим u = v cos β и vτ = v sin β.

1. Выбираем оси вдоль плоскости и по внешней нормали. До удара нормальная часть направлена к поверхности и имеет модуль u, а тангенциальная часть равна vτ.
2. При e = 1 нормальная часть разворачивается, а тангенциальная сохраняется. Поэтому угол отражения к нормали равен β.
3. Единичный вектор вдоль плоскости имеет горизонтальную проекцию cos α, а нормальный — −sin α. После сложения составляющих получаем vₓ после = vτ cos α − u sin α.
4. Подставляя исходные значения, имеем vₓ после = v(sin β cos α − cos β sin α) = v sin(β − α). Вертикальную составляющую можно найти аналогично: vᵧ после = v(sin β sin α + cos β cos α) = v cos(β − α).

Ответ: направление определяется углом β к нормали, а горизонтальная составляющая равна v sin(β − α) при выбранном направлении наклона. Если оси или направление наклона выбраны иначе, знак проекции изменится, но физическое направление останется тем же.

Задача 3

Мяч падает на плоскость с известными составляющими скорости и коэффициентом восстановления e < 1. Требуется определить скорость после удара и дальность до следующего столкновения. Пусть плоскость проходит через точку удара и имеет уравнение y = x tg α.

1. Разлагаем скорость до удара на vτ и нормальную составляющую, модуль которой обозначим u. После удара получаем тангенциальную часть vτ и нормальную часть eu, направленную от плоскости.
2. Находим горизонтальную и вертикальную компоненты: vₓ = vτ cos α − eu sin α, vᵧ = vτ sin α + eu cos α. Модуль скорости равен √(vₓ² + vᵧ²).
3. Далее мяч движется как тело, брошенное под углом: x = vₓt, y = vᵧt − gt²/2. Для следующего пересечения с плоскостью приравниваем y к x tg α.
4. Кроме нулевого момента удара получаем t = 2(vᵧ − vₓ tg α)/g. Горизонтальная дальность равна Lₓ = vₓt, а расстояние вдоль плоскости — L = Lₓ/cos α.

Ответ: сначала применяют коэффициент восстановления только к нормальной составляющей, затем используют движение по горизонтали и вертикали. Формулы для времени и дальности справедливы, если найденное время положительно и мяч действительно пересекает плоскость в рассматриваемой области.

Типичные ошибки

Меняют знак всей скорости. Так поступают, если не выбирают оси, связанные с плоскостью. Проверка проста: при гладком ударе проекция вдоль поверхности должна остаться прежней.

Считают, что модуль скорости сохраняется всегда. Это свойство только абсолютно упругого удара, а при e < 1 нормальная часть теряет энергию. Проверьте условие задачи и сравните квадраты скоростей до и после.

Путают угол с поверхностью и угол с нормалью. Эти углы в сумме дают 90°, но формула отражения относится к углам с нормалью. Перед решением подпишите, от какой линии отсчитывается данный угол.

Неверно используют знак наклона. Ошибка появляется, когда направление осей не согласовано с ростом координаты y или с углом α. Нарисуйте единичные направления вдоль плоскости и по нормали, а затем проверьте знаки горизонтальной и вертикальной проекций.

Связь с другими темами

Для решения таких задач нужны сложение и разложение векторов, проекции на оси и уравнения движения тела под действием силы тяжести. Эти навыки позволяют перейти от геометрии отскока к вычислениям.

Тема связана с законами сохранения энергии и импульса, столкновениями и движением по наклонной плоскости. Она также применяется в задачах о прыжках, мячах, спортивных снарядах и последовательных отскоках.

Что запомнить

• Скорость при ударе удобно раскладывать на составляющие вдоль плоскости и по нормали к ней.
• При ударе о гладкую плоскость тангенциальная составляющая скорости не изменяется.
• Нормальная составляющая после удара меняет направление.
• При абсолютно упругом ударе модуль скорости сохраняется.
• При неупругом ударе нормальная составляющая уменьшается по модулю.
• Для абсолютно упругого удара угол падения равен углу отражения.
• Наклон плоскости изменяет связь между составляющими скорости в выбранной системе координат.