"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 3 частях)", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.; под ред. Орлова В.А. (ч. 1); Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И., под ред. Орлова В.А. (ч. 2); Генденштейн Л.Э., Кошкина А.В., Левиев Г.И. (ч. 3)
Пружина сопротивляется растяжению и сжатию силой упругости. Чем больше её жёсткость, тем сильнее нужно воздействовать для той же деформации. Закон Гука связывает силу с удлинением или сжатием: F = kx. Несколько пружин можно заменить одной эквивалентной: при параллельном соединении складываются жёсткости, а при последовательном — обратные жёсткости.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Деформация пружины — изменение её длины по сравнению с недеформированным состоянием. Удлинение или сжатие обозначают буквой x и измеряют в метрах. Эта величина показывает, насколько изменилась длина пружины.
Сила упругости — сила, возникающая при деформации пружины и направленная против неё. Её модуль обозначают Fупр и измеряют в ньютонах. По этой силе можно определить, как пружина действует на прикреплённое тело.
Жёсткость пружины — коэффициент k, который характеризует сопротивление пружины деформации. Единица жёсткости — Н/м: такая величина показывает силу, приходящуюся на один метр деформации. Чем больше k, тем труднее растянуть или сжать пружину.
Эквивалентная жёсткость — жёсткость одной пружины, заменяющей систему пружин и действующей так же. Её обозначают kэкв. Это позволяет решать задачу о нескольких пружинах как задачу об одной.
При растяжении витки пружины удаляются друг от друга, а при сжатии сближаются. Внутренние силы взаимодействия стремятся уменьшить это изменение и вернуть пружину к исходной длине. Поэтому сила упругости всегда направлена противоположно деформации: при растяжении она направлена к середине пружины, при сжатии — от неё.
В пределах упругой деформации модуль силы пропорционален изменению длины: F = kx. Это означает, что при увеличении деформации в два раза сила также увеличивается в два раза, если жёсткость не меняется. При выборе оси для проекции записывают Fупр,x = −kx: знак «минус» показывает направление силы против положительного направления деформации.
При параллельном соединении концы пружин прикреплены к одним и тем же опорам. Поэтому каждая пружина получает одинаковую деформацию x. Силы от отдельных пружин действуют одновременно и складываются: F = F₁ + F₂ = k₁x + k₂x, откуда kэкв = k₁ + k₂.
При последовательном соединении пружины расположены одна за другой. Если промежуточное соединение невесомо и покоится, натяжение передаётся через него, поэтому силы в пружинах имеют одинаковые модули. Полная деформация равна сумме деформаций: x = x₁ + x₂, где x₁ = F/k₁ и x₂ = F/k₂; значит, 1/kэкв = 1/k₁ + 1/k₂.
Чтобы заменить систему одной пружиной, сначала определяют вид соединения и находят kэкв. Затем всю систему рассматривают как пружину с этой жёсткостью и применяют F = kэквx или x = F/kэкв. В сложной системе формулы используют последовательно: сначала объединяют очевидные параллельные или последовательные участки, затем находят общую жёсткость.
| Свойство | Одна пружина | Параллельное соединение | Последовательное соединение |
|---|---|---|---|
| Связь силы с деформацией | F = kx | F = (k₁ + k₂)x | F = kэквx |
| Одинаковая ли деформация у пружин | — | Да: x₁ = x₂ | Нет: x = x₁ + x₂ |
| Одинакова ли сила в пружинах | — | Нет: F = F₁ + F₂ | Да: F₁ = F₂ = F |
| Эквивалентная жёсткость | k | kэкв = k₁ + k₂ | 1/kэкв = 1/k₁ + 1/k₂ |
| Что складывается при соединении | — | Жёсткости | Обратные жёсткости |
Таблица помогает сначала определить, какая величина одинакова в системе: деформация или сила. После этого выбирают формулу для kэкв. Полученную систему можно заменить одной эквивалентной пружиной и использовать обычный закон Гука.
Задача 1. Пружину жёсткостью 200 Н/м растянули на 3 см. Найдём модуль силы упругости. Нужно привести деформацию к единицам СИ.
Ответ: модуль силы упругости равен 6 Н. В направлении сила будет противоположна растяжению.
Задача 2. Пружины жёсткостью 100 Н/м и 150 Н/м соединены параллельно. Найдём жёсткость системы и силу для растяжения на 2 см. Одинаковая деформация позволяет сложить жёсткости.
Ответ: kэкв = 250 Н/м, необходимая сила равна 5 Н. Отдельные пружины при этом дают силы 2 Н и 3 Н, сумма которых равна общей силе.
Задача 3. Пружины жёсткостью 120 Н/м и 240 Н/м соединены последовательно, а система растягивается силой 12 Н. В последовательной цепи сила в обеих пружинах одинакова, поэтому можно найти их деформации отдельно.
Ответ: эквивалентная жёсткость равна 80 Н/м, удлинение системы — 0,15 м, или 15 см. Более мягкая пружина растягивается сильнее.
Сантиметры в формуле. Подстановка x в сантиметрах нарушает согласованность единиц и обычно увеличивает или уменьшает ответ в 100 раз. Ошибку допускают, потому что длина дана привычной единицей. Перед вычислением проверьте, что x выражено в метрах, если k указана в Н/м.
Неверное направление силы. Иногда силу упругости направляют туда же, куда и деформацию, забывая о её возвращающем характере. Это происходит при механической записи проекций без выбора оси. Проверьте знак: в записи Fупр,x = −kx сила должна иметь направление, противоположное x.
Сложение жёсткостей при последовательном соединении. Такая формула относится к параллельной схеме, где деформации одинаковы. В последовательной схеме одинаковы силы, а деформации складываются, поэтому складываются обратные жёсткости. Полезная проверка: жёсткость последовательной системы должна быть меньше каждой из исходных жёсткостей.
Одинаковые силы при параллельном соединении. Общая сила распределяется между ветвями, поэтому силы отдельных пружин обычно различны. Ошибка возникает из-за смешения свойств последовательной и параллельной схем. Сначала спросите себя, что соединено общими концами: тогда деформация одинакова, а силы складываются.
Для задач о пружинах нужны понятия силы, равнодействующей, проекции вектора и условия равновесия тела. Именно равновесие позволяет определить, как силы распределяются между пружинами. Без выбора направления оси трудно правильно записать знак силы упругости.
Закон Гука и эквивалентная жёсткость используются при изучении колебаний груза на пружине. Жёсткость системы влияет на частоту колебаний: более жёсткая система возвращает груз к положению равновесия быстрее. Поэтому способы соединения пружин важны и для колебательных задач.
Деформированная пружина обладает запасённой энергией. Эта энергия связана с потенциальной энергией упругой деформации и зависит от жёсткости и величины деформации. При отпускании пружины она может переходить в кинетическую энергию тела.
Почему сила упругости направлена против деформации?
Деформация изменяет форму или длину пружины, а внутренние силы стремятся вернуть её в исходное состояние. Поэтому при растяжении сила направлена внутрь пружины, а при сжатии — наружу.
Что показывает жёсткость пружины?
Жёсткость показывает, какая сила нужна для деформации пружины на единицу длины. Чем больше k, тем труднее растянуть или сжать пружину.
Когда закон Гука перестаёт выполняться?
Закон Гука справедлив в пределах упругой деформации, когда после снятия нагрузки пружина возвращается к исходной длине. При слишком большой деформации зависимость силы от удлинения может стать нелинейной, а пружина — необратимо изменить форму.
Почему при параллельном соединении пружин их жёсткости складываются?
При параллельном соединении все пружины растягиваются или сжимаются на одну и ту же величину. Каждая создаёт свою силу, поэтому общая сила равна сумме сил, а коэффициенты при одинаковой деформации складываются.
Как найти жёсткость системы пружин, соединённых последовательно?
Для последовательного соединения используют формулу 1/kэкв = 1/k₁ + 1/k₂ + … . При таком соединении сила в пружинах одинакова, а их деформации складываются.
2. Системы с пружиной
