"Физика. Базовый и углубленный уровни (в 2 частях) ", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.
Пружинный маятник — это груз, соединённый с пружиной и колеблющийся около положения равновесия. Такие системы помогают описывать повторяющееся движение и понимать, от чего зависит его темп. При малых колебаниях сила упругости пропорциональна смещению и направлена обратно ему, поэтому движение становится гармоническим. Период определяется массой груза и жёсткостью пружины: тяжёлый груз колеблется медленнее, а более жёсткая пружина — быстрее. В вертикальной системе сила тяжести сдвигает равновесие, но не меняет период.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Пружинный маятник — тело, соединённое с пружиной и способное совершать колебания около положения равновесия. Положение равновесия — место, где силы уравновешены и тело без толчка остаётся в покое. Колебания возникают, когда груз смещают из этой точки и отпускают. Эта модель помогает изучать повторяющиеся движения.
Жёсткость пружины — величина k, характеризующая сопротивление пружины деформации; измеряется в Н/м. Чем больше k, тем сильнее нужно растянуть или сжать пружину для того же смещения. Значение жёсткости позволяет сравнивать пружины и рассчитывать действующую силу. В формулах важно переводить величины в единицы СИ.
Сила упругости — сила, возникающая при деформации пружины и направленная против смещения её конца. Она может тянуть груз при растяжении и толкать его при сжатии. Именно эта сила возвращает смещённый груз к равновесию. При расчёте направления удобно сначала указать, куда смещён груз.
Закон Гука — соотношение для силы упругости: Fупр = −kx, где x — смещение от положения равновесия. Модуль силы равен произведению жёсткости на модуль смещения, а знак минус задаёт направление. Закон применим, пока деформация не слишком велика и пружина сохраняет упругие свойства. Он позволяет связать движение тела с его смещением.
Когда конец пружины смещают, расстояние между её витками меняется: пружина растягивается или сжимается. Внутренние силы стремятся вернуть витки к исходному состоянию, поэтому на груз действует сила упругости. Она направлена в сторону равновесия, то есть противоположно смещению. Если груз находится справа от равновесия, сила тянет его влево, а при смещении влево направлена вправо.
Если трения нет, на горизонтальный груз вдоль направления движения действует только сила упругости. По закону Гука её модуль прямо пропорционален смещению, а направление всегда обращено к равновесию. Поэтому при большом отклонении груз получает сильное ускорение к центру, а около центра ускорение становится меньше. Такая зависимость силы от смещения и создаёт гармонические колебания.
Из второго закона Ньютона ma = Fупр и закона Гука Fупр = −kx следует ma = −kx. После деления на массу получаем уравнение a = −(k/m)x: ускорение пропорционально смещению и направлено противоположно ему. Для такого движения период равен T = 2π√(m/k). Формула применима к идеальной пружине и малым колебаниям, когда закон Гука выполняется.
Масса и жёсткость задают, насколько быстро меняется движение: тяжёлый груз труднее разогнать, поэтому его период больше. Жёсткая пружина создаёт большую возвращающую силу при том же смещении, и груз быстрее возвращается, поэтому период меньше. Амплитуда — наибольшее отклонение от равновесия — в формулу не входит. Это верно для малых колебаний, когда сила остаётся пропорциональной смещению.
В горизонтальной системе груз обычно движется по опоре, и вертикальные силы тяжести и реакции опоры уравновешены. В вертикальной системе груз растягивает пружину, пока сила упругости не уравновесит тяжесть; поэтому новое положение равновесия находится ниже. Если отсчитывать смещение от этой точки, постоянная сила тяжести уже учтена в равновесии. При колебаниях остаётся зависимость возвращающей силы от отклонения, поэтому период не меняется.
| Величина | Обозначение | Соотношение | Единица измерения |
|---|---|---|---|
| Смещение от равновесия | x | координата относительно равновесия | м |
| Сила упругости | Fупр | Fупр = −kx | Н |
| Жёсткость пружины | k | k = |Fупр|/|x| | Н/м |
| Период колебаний | T | T = 2π√(m/k) | с |
| Частота колебаний | ν | ν = 1/T | Гц |
Сначала определите, какую величину требуется найти, затем выберите соответствующее соотношение. Перед подстановкой переведите массу в килограммы, смещение — в метры, а жёсткость запишите в Н/м. Знак минус учитывайте при определении направления силы, а для её модуля используйте положительные значения.
Задача 1. Пружину растянули на 4 см, её жёсткость равна 200 Н/м. Найдите модуль силы упругости. Нужно использовать закон Гука, но для модуля силы не требуется учитывать направление. Важно сначала перевести сантиметры в метры.
Ответ: модуль силы упругости равен 8 Н. Если бы требовалось указать направление, его следовало бы выбрать противоположным смещению груза. Результат в ньютонах согласуется с единицами произведения Н/м на м.
Задача 2. Груз массой 0,5 кг колеблется на пружине жёсткостью 200 Н/м. Найдите период и частоту колебаний. Период вычисляется по массе и жёсткости, а частота показывает число колебаний за секунду. Поэтому сначала находим период, затем берём обратную величину.
Ответ: T ≈ 0,314 с, ν ≈ 3,18 Гц. Проверка смысла результата: частота больше одного герца, значит, за секунду происходит несколько колебаний. Для расчёта использованы масса в килограммах и жёсткость в Н/м.
Задача 3. Груз на вертикальной пружине колеблется; m = 0,4 кг, k = 100 Н/м. Найдите период и объясните, изменится ли он при учёте силы тяжести. Вертикальное расположение меняет положение, около которого происходят колебания. Однако при отсчёте смещения от этого положения период вычисляется обычным способом.
Ответ: период приблизительно равен 0,40 с; учёт силы тяжести период не изменяет. Тяжесть растягивает пружину и сдвигает равновесие, но около нового равновесия возвращающая сила зависит от отклонения так же, как прежде. Поэтому не нужно добавлять g в формулу периода.
Записывают Fупр = kx без минуса и теряют направление силы. Так бывает, если закон используют только для вычисления модуля и забывают, что сила возвращает груз. Проверьте себя: при положительном смещении сила должна быть направлена обратно, значит, в записи с координатой нужен минус.
Подставляют в закон Гука длину пружины вместо смещения от равновесия. Длина сама по себе не показывает, насколько груз отклонился от положения, где силы уравновешены. Найдите равновесную длину и вычтите её из текущей; полученное смещение переведите в метры.
Считают, что большая масса увеличивает частоту. Путаница возникает потому, что период и частота описывают один ритм, но связаны как взаимно обратные величины. По формуле T = 2π√(m/k) рост массы увеличивает период, а ν = 1/T при этом уменьшается.
Добавляют ускорение свободного падения в формулу периода вертикального маятника. Сила тяжести действительно действует на груз, но в равновесии она компенсируется силой упругости; при колебании важна сила относительно нового равновесия. Проверьте формулу T = 2π√(m/k): g в ней нет, а учёт тяжести нужен для положения равновесия.
Для изучения пружинного маятника нужны закон Гука, второй закон Ньютона и понятия равновесия и смещения. Закон Гука задаёт силу, а второй закон Ньютона связывает её с ускорением тела. Затем эту модель используют при изучении гармонических колебаний и энергии колебательного движения. Понимание периода и частоты также пригодится при разборе резонанса — резкого усиления колебаний при подходящем внешнем воздействии.
Почему пружина возвращает груз к положению равновесия?
При растяжении или сжатии пружина деформируется и возникает сила упругости. Она направлена против деформации, поэтому толкает или тянет груз обратно к положению равновесия.
Что означает знак минус в законе Гука?
Знак минус показывает, что сила упругости направлена противоположно смещению x. Если груз сместить вправо, сила будет направлена влево, и наоборот.
От чего зависит период колебаний груза на пружине?
Период задаётся формулой T = 2π√(m/k), поэтому зависит от массы груза m и жёсткости пружины k. При большей массе период увеличивается, а при большей жёсткости уменьшается.
Почему период пружинного маятника не зависит от амплитуды?
При малых колебаниях сила упругости пропорциональна смещению, а значит, движение описывается одним и тем же уравнением при разных амплитудах. Поэтому время одного полного колебания остаётся одинаковым.
Меняется ли период вертикального пружинного маятника из-за силы тяжести?
Нет, если колебания происходят около нового положения равновесия и пружина подчиняется закону Гука. Сила тяжести растягивает пружину и сдвигает равновесие, но период по-прежнему равен T = 2π√(m/k).
2. Системы с пружиной
