1. Гладкая горка и шайба

Определения и обозначения

Гладкая горка — поверхность, на которой трением пренебрегают; на шайбу действуют сила тяжести и сила реакции опоры. Это упрощение позволяет не учитывать сопротивление скольжению и сосредоточиться на изменении направления движения. Слово «гладкая» здесь означает отсутствие трения в модели, а не обязательно ровную поверхность.

Сила реакции опоры — сила, с которой поверхность действует на соприкасающееся с ней тело; она направлена перпендикулярно поверхности. Обозначим её N. Зная направление этой силы, можно составить второй закон Ньютона и выяснить, насколько сильно опора поддерживает шайбу.

Вес тела — сила, с которой тело вследствие притяжения к Земле действует на опору или подвес; вес не всегда равен силе тяжести. Силу тяжести mg Земля прикладывает к шайбе, а вес шайба прикладывает к опоре. Различать эти силы нужно, чтобы правильно описать действие тела на поверхность.

Невесомость — состояние, при котором тело не действует на опору или подвес, то есть его вес равен нулю. Например, после отрыва шайба уже не давит на горку, хотя сила тяжести продолжает действовать на неё. Это понятие помогает отличить отсутствие веса от исчезновения притяжения Земли.

Как это устроено

На шайбу, скользящую по гладкой горке, действуют сила тяжести и реакция опоры: трения в модели нет. Сила тяжести направлена вертикально вниз, а реакция — перпендикулярно поверхности. Поэтому изменение движения определяется равнодействующей именно этих двух сил. Такой набор сил позволяет связать форму горки и скорость шайбы с её ускорением.

На криволинейном участке направление скорости меняется, даже если её модуль остаётся постоянным. Для такого изменения нужно ускорение, направленное к центру кривизны; при движении по окружности его модуль равен v²/R. Второй закон Ньютона требует, чтобы равнодействующая сил имела то же направление и была равна произведению массы на ускорение. Поэтому нельзя искать реакцию опоры, рассматривая только вертикальное равновесие.

На вершине выпуклой горки центр кривизны находится ниже шайбы. Сила тяжести направлена к центру, а реакция опоры — от него, поэтому эти силы направлены противоположно. Если выбрать направление вниз, к центру, за положительное, получим mg − N = mv²/R. При ненулевой скорости часть силы тяжести обеспечивает ускорение, и реакция опоры оказывается меньше mg.

При увеличении скорости шайбе требуется большее центростремительное ускорение, то есть большее значение равнодействующей в сторону центра. В уравнении mg − N = mv²/R это означает, что N уменьшается. Реакция не может стать отрицательной: поверхность способна толкать шайбу, но не притягивать её. Поэтому при достижении N = 0 контакт прекращается, и шайба продолжает движение уже без действия опоры.

Вес шайбы при контакте связан с реакцией опоры: шайба давит на поверхность с силой, равной ей по модулю и противоположной по направлению. Это следует из третьего закона Ньютона и объясняет, почему на выпуклом участке вес меньше силы тяжести. В момент отрыва реакция становится нулевой, а вместе с ней исчезает и сила давления шайбы на горку. Сила тяжести при этом не исчезает: она продолжает ускорять шайбу.

Силы и вес шайбы на выпуклой горке

В таблице N — модуль реакции опоры, P — модуль веса, а направление ускорения указано относительно центра кривизны. На участке движения применяйте второй закон Ньютона вдоль радиуса: к центру направлено ускорение v²/R. Сопоставляя строки, можно проследить, как уменьшение N приводит к отрыву.

Разбор задач

1. Шайба покоится на горизонтальной гладкой поверхности. Определите реакцию опоры и вес шайбы массой m.

1. На шайбу действуют сила тяжести mg вниз и реакция N вверх. Так как шайба покоится, её ускорение по вертикали равно нулю.
2. Запишем второй закон Ньютона: N − mg = 0. Отсюда N = mg.
3. По третьему закону Ньютона шайба давит на опору с силой, равной N по модулю. Следовательно, P = N = mg.

Ответ: реакция опоры равна mg, вес шайбы равен mg.

2. Шайба движется по вершине выпуклой горки радиуса R со скоростью v. Найдите реакцию опоры и вес шайбы.

1. Выберем направление вниз, к центру кривизны. Ускорение шайбы направлено туда и равно v²/R.
2. Силы вдоль этого направления: mg направлена вниз, а N — вверх. Поэтому mg − N = mv²/R, откуда N = m(g − v²/R).
3. При контакте модуль веса равен модулю реакции: P = N. Полученное значение применимо, пока N неотрицательна; отрицательное значение означало бы, что контакт уже невозможен.

Ответ: N = P = m(g − v²/R), пока шайба соприкасается с горкой.

3. Шайба скользит без трения с вершины сферической горки радиуса R, начиная из состояния покоя. Найдите высоту над вершиной, на которой шайба потеряет контакт с горкой.

1. При движении вниз вертикальное снижение от вершины обозначим h. Из сохранения механической энергии: mgh = mv²/2, поэтому v² = 2gh.
2. Пусть θ — угол между радиусом к шайбе и вертикалью вверх. Тогда h = R(1 − cos θ). В направлении к центру второй закон Ньютона даёт mg cos θ − N = mv²/R.
3. В момент отрыва N = 0. Подставляя v² = 2gR(1 − cos θ), получаем g cos θ = 2g(1 − cos θ), откуда cos θ = 2/3.
4. Тогда h = R(1 − 2/3) = R/3. Это вертикальное расстояние вниз от вершины, пройденное к моменту отрыва.

Ответ: шайба теряет контакт после снижения на R/3 от вершины горки.

Типичные ошибки

Путать силу тяжести и вес. Ошибка возникает потому, что в покое на горизонтальной поверхности их модули совпадают. Но сила тяжести действует на шайбу, а вес — это сила действия шайбы на опору. Проверь себя: укажи, к какому телу приложена каждая сила.

Направлять реакцию опоры к центру кривизны на вершине. Так можно подумать, если смешать направление ускорения и направление силы опоры. Реакция перпендикулярна поверхности и направлена от неё, то есть на вершине выпуклой горки — вверх. Проверь направление, мысленно отметив, в какую сторону поверхность может толкать шайбу.

Приравнивать реакцию к силе тяжести при движении по кривой. Это верно для покоя на горизонтальной поверхности, но не для движения с центростремительным ускорением. На вершине выпуклой горки mg − N = mv²/R. Проверь себя: если скорость ненулевая, равнодействующая должна быть направлена к центру.

Считать реакцию положительной после отрыва. Такая ошибка означает, что опоре приписывают способность тянуть шайбу. На самом деле контакт возможен только при N ≥ 0, а при отрыве N = 0. Если расчёт дал отрицательное значение, используй условие отрыва вместо этого результата.

Связь с другими темами

Для разбора движения по горке нужны второй закон Ньютона, третий закон Ньютона, понятия силы тяжести и равнодействующей. Второй закон связывает силы с ускорением, а третий помогает понять связь реакции опоры с весом тела. Здесь также используется движение по окружности: ускорение направлено к центру и зависит от скорости и радиуса траектории.

Идея пригодится при изучении веса тела, перегрузки и невесомости. В разных ситуациях опора действует на тело с разной силой, поэтому вес может отличаться от силы тяжести. Условие N = 0 описывает отсутствие давления на опору и служит границей между движением с контактом и свободным полётом.

Что запомнить

• На гладкой горке трением пренебрегают.
• Реакция опоры перпендикулярна поверхности.
• При движении по криволинейной траектории равнодействующая сил обеспечивает центростремительное ускорение.
• На вершине выпуклой горки реакция опоры меньше силы тяжести.
• Отрыв от поверхности начинается при нулевой реакции опоры.
• Вес тела может отличаться от силы тяжести и при потере контакта становится равен нулю.