§ 34. Движение системы тел

Определения и обозначения

Система тел — выбранная совокупность взаимодействующих тел. В одну систему можно включить, например, человека и тележку или только тележку: выбор зависит от того, какое движение нужно описать. Если тела включены вместе, их взаимодействие можно учитывать как внутреннее.

Внутренние и внешние силы различают относительно выбранной системы. Внутренние силы действуют между её телами, а внешние возникают со стороны тел, не включённых в систему. Чтобы определить вид силы, сначала обозначьте состав системы, затем выясните, входит ли в него тело, которое эту силу создаёт.

Центр масс — точка, положение которой задаётся распределением масс тел системы. Для двух тел на одной прямой xц.м. = (m₁x₁ + m₂x₂)/(m₁ + m₂). Это взвешенное среднее координат: положение центра масс сильнее смещено к телу большей массы.

Импульс системы тел — векторная сумма импульсов всех её тел: p = p₁ + p₂ + … = Σmᵢvᵢ. Импульсы складываются векторно, потому что каждый имеет направление и может быть направлен противоположно другим. Поэтому для движения по прямой скорости учитывают со знаками.

Как это устроено

Состав системы выбирают под конкретный вопрос. Если нужно понять, как движется тележка вместе с человеком, удобно включить в систему оба тела: силы их взаимодействия окажутся внутренними. Тогда можно сосредоточиться на внешних воздействиях и движении всей системы, не разбирая каждое взаимодействие по отдельности.

Внутренние силы возникают попарно: если одно тело действует на другое, второе действует на первое с равной по модулю и противоположной по направлению силой. По второму закону Ньютона эти силы вызывают противоположные изменения импульсов, которые при сложении для системы взаимно уничтожаются. Поэтому внутренние силы способны перераспределять движение между телами, но изменение суммарного импульса системы связано с внешними силами.

Связь импульса системы с центром масс получается прямо из определения. Для тел массами mᵢ и скоростями vᵢ суммарный импульс равен Σmᵢvᵢ, а скорость центра масс — Σmᵢvᵢ / Σmᵢ. Если обозначить общую массу через M, получаем p = Mvц.м.: импульс системы такой же, как у тела общей массы, движущегося со скоростью центра масс.

За промежуток времени изменение суммарного импульса системы равно импульсу результирующей внешней силы: Δp = Fвнешн.Δt, если сила постоянна. Поскольку p = Mvц.м. и общая масса не меняется, внешняя сила определяет изменение скорости центра масс. Значит, для описания движения системы в целом можно рассматривать её центр масс как точку, движущуюся под действием результирующей внешней силы.

Если результирующая внешних сил равна нулю, суммарный импульс не меняется, а вместе с ним сохраняется и скорость центра масс. Это не означает, что неподвижны все тела: они могут перемещаться относительно друг друга, например при отталкивании или переходе человека по тележке. Неизменным остаётся движение центра масс системы.

Величины и законы, описывающие движение системы тел

Сначала определите, какой объект вас интересует: отдельное тело, центр масс или система целиком. Для системы используйте её суммарный импульс и выясните, есть ли результирующая внешняя сила. Таблица помогает отделить изменение движения отдельных тел от движения системы в целом.

Разбор задач

Координата центра масс

Условие. Два тела массами 2 кг и 3 кг находятся на одной прямой в точках с координатами 0 м и 4 м. Найдите координату центра масс системы. Поскольку тела лежат на одной прямой, достаточно работать с координатами и массами. Центр масс должен оказаться ближе к телу массой 3 кг.

1. Запишем формулу: xц.м. = (m₁x₁ + m₂x₂)/(m₁ + m₂).
2. Подставим данные: xц.м. = (2·0 + 3·4)/(2 + 3) м.
3. Вычислим: xц.м. = 12/5 м = 2,4 м. Координата между 0 м и 4 м и смещена к более массивному телу, что подтверждает результат.

Ответ: xц.м. = 2,4 м.

Скорость центра масс

Условие. Два тела движутся по одной прямой: массы 1 кг и 2 кг, скорости 6 м/с и −1 м/с. Требуется найти скорость центра масс. Отрицательная скорость означает движение против выбранного положительного направления. Поэтому импульсы надо сложить с учётом знаков, а не только модулей.

1. Используем равенство p = Mvц.м., откуда vц.м. = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂).
2. Подставим данные: vц.м. = (1·6 + 2·(−1))/(1 + 2) м/с.
3. Найдём сумму импульсов и разделим на общую массу: vц.м. = 4/3 м/с. Положительный знак показывает, что центр масс движется в выбранном положительном направлении.

Ответ: 4/3 м/с в положительном направлении.

Человек на тележке

Условие. Тележка с человеком движется по гладкой горизонтальной поверхности. Человек переходит к другому краю тележки, а внешним горизонтальным воздействием можно пренебречь. Нужно определить, как изменится положение тележки. Рассмотрим человека и тележку как единую систему: по горизонтали на неё не действует результирующая внешняя сила.

1. При отсутствии результирующей внешней силы положение центра масс по горизонтали не меняется.
2. Пусть масса человека m, масса тележки M, а человек сместился относительно тележки на расстояние d. Если тележка переместилась на Δx, перемещение человека относительно земли равно Δx + d.
3. Неизменность центра масс означает MΔx + m(Δx + d) = 0. Отсюда Δx = −md/(M + m): тележка перемещается в сторону, противоположную переходу человека.

Ответ: тележка сместится навстречу исходному движению человека относительно неё; её перемещение по модулю равно md/(M + m).

Типичные ошибки

Считать внутренние силы отсутствующими. Они действуют на тела системы, но компенсируются только при подсчёте изменения её суммарного импульса. Ошибка возникает из-за смешения движения отдельных тел с движением системы целиком. Проверьте себя: если система включает оба взаимодействующих тела, учитывайте обе силы взаимодействия как пару.

Классифицировать силу без указания границ системы. Сила не является внутренней или внешней сама по себе: это зависит от того, включён ли в систему источник силы. Такую ошибку допускают, забывая сначала определить состав системы. Чтобы проверить решение, подпишите все тела системы и для каждой силы назовите тело, которое её создаёт.

Складывать импульсы как обычные числа. Импульс — вектор, поэтому противоположно направленные импульсы частично или полностью компенсируются. Ошибка появляется, когда учитывают только модули скоростей. Выберите ось и укажите знак каждой скорости до сложения.

Считать, что при нулевой внешней силе неподвижны все тела. Сохраняется скорость центра масс, а не обязательно скорость каждого тела. Можно неверно принять движение системы как целого за движение её частей. Проверьте, не движутся ли тела относительно центра масс: внутреннее перемещение возможно и без изменения движения системы в целом.

Связь с другими темами

Для изучения системы тел нужны понятия импульса тела, второй и третьей законов Ньютона, а также правила сложения векторов. Они помогают понять, почему внутренние силы компенсируются, а результат действия внешних сил определяет изменение суммарного импульса. Закон движения центра масс связан с законом сохранения импульса: при отсутствии внешней результирующей импульс системы сохраняется.

Эти идеи применяют при разборе столкновений, отдачи и движения тележки с человеком. В задачах о реактивном движении они позволяют проследить, как изменение движения одной части системы связано с движением другой. Удобный выбор системы превращает сложное взаимодействие отдельных тел в задачу о движении центра масс.

Что запомнить

• Состав системы выбирают в соответствии с задачей.
• Внутренние силы — силы взаимодействия тел внутри выбранной системы.
• Импульс системы равен векторной сумме импульсов её тел.
• Суммарный импульс системы равен произведению общей массы на скорость центра масс.
• Изменение импульса системы определяется результирующей внешних сил.
• При нулевой результирующей внешних сил скорость центра масс постоянна.