§ 34. Движение системы тел

Определения и обозначения

Система тел — выбранная для рассмотрения совокупность тел. Например, можно изучать только платформу или платформу вместе с человеком. Выбор системы зависит от задачи: удачно выбранные границы позволяют не учитывать лишние взаимодействия.

Внутренние силы — силы взаимодействия между телами, входящими в систему. Если человек толкает платформу, сила человека на платформу и сила платформы на человека внутренние для системы «человек и платформа». Такие силы могут заметно менять движение каждого тела.

Внешние силы — силы, действующие на тела системы со стороны тел, в неё не входящих. Для системы «человек и платформа» сила трения со льдом будет внешней, если лёд в систему не включён. Именно внешние силы определяют движение системы как целого.

Центр масс — точка, положение которой определяется распределением масс тел системы. Для двух тел на одной координатной оси: xц.м. = (m₁x₁ + m₂x₂)/(m₁ + m₂). Чем больше масса тела, тем сильнее его координата влияет на положение центра масс.

Как это устроено

Разделение сил на внутренние и внешние помогает выбрать удобный способ описания движения. Для отдельного тела приходится учитывать силы со стороны всех соседей, а для системы можно объединить несколько тел и рассматривать их общее движение. Одна и та же сила меняет название при изменении границ системы: сила платформы на человека внешняя для человека, но внутренняя для системы «человек и платформа».

Внутренние силы действуют попарно в соответствии с третьим законом Ньютона. Если тело 1 действует на тело 2 силой, тело 2 действует на тело 1 равной по модулю и противоположной по направлению силой. Поэтому при сложении уравнений для всех тел пары сокращаются, хотя в каждом отдельном уравнении остаются и могут менять ускорения частей системы.

Для каждого тела записывают второй закон Ньютона: mᵢaᵢ = Fᵢ. Затем складывают такие уравнения для всех тел системы; внутренние силы исчезают из суммы, а внешние складываются в равнодействующую. Поскольку сумма mᵢaᵢ равна Mац.м., получается уравнение движения центра масс: Mа_ц.м. = F_внешн., или а_ц.м. = F_внешн./M.

Если равнодействующая внешних сил равна нулю, ускорение центра масс также равно нулю. Значит, его скорость не меняется: при начальной нулевой скорости центр масс покоится, а при ненулевой движется равномерно и прямолинейно. Это не запрещает телам двигаться относительно друг друга, потому что внутренние силы могут менять их скорости, сохраняя общее движение центра масс.

Такой подход удобен при разлёте, отдаче и отталкивании. Внутреннее взаимодействие перераспределяет импульсы между частями, но без внешней горизонтальной силы не сдвигает центр масс. Поэтому, зная массы и перемещение одной части, можно найти перемещение другой или проверить результат по сохранению положения центра масс.

Силы в системе тел и их влияние на движение

Сначала укажите границы системы, а затем классифицируйте каждую силу относительно этих границ. Для движения центра масс учитывайте только внешние силы, а для движения отдельного тела — все силы, действующие именно на него.

Таблица особенно полезна при проверке рассуждений: если сила внутренней пары не сократилась в уравнении всей системы, значит, какое-то тело или сила учтены неполно.

Разбор задач

Задача 1. Два тела массами 2 кг и 3 кг расположены на одной прямой. Их координаты равны 0 м и 4 м. Найдём координату центра масс. Масса второго тела больше, поэтому результат должен оказаться ближе к координате 4 м.

1. Запишем формулу: xц.м. = (m₁x₁ + m₂x₂)/(m₁ + m₂).
2. Подставим данные: xц.м. = (2 · 0 + 3 · 4)/(2 + 3) = 12/5 = 2,4 м.
3. Проверим смысл результата: 2,4 м действительно ближе к телу массой 3 кг, находящемуся в точке 4 м.

Ответ: xц.м. = 2,4 м.

Задача 2. Два конькобежца массами 50 кг и 75 кг отталкиваются на гладком льду. Нужно определить отношение модулей их ускорений. Горизонтальной внешней силой можно пренебречь, но во время толчка каждый конькобежец действует на другого.

1. Силы взаимодействия равны по модулю: F₁ = F₂ = F, хотя направлены в противоположные стороны.
2. По второму закону Ньютона ускорения имеют модули a₁ = F/50 и a₂ = F/75.
3. Разделим выражения: a₁/a₂ = (F/50)/(F/75) = 75/50 = 1,5. Меньшая масса получает большее ускорение.

Ответ: a₁ : a₂ = 3 : 2, или a₁/a₂ = 1,5.

Задача 3. Платформа массой M движется по гладкому горизонтальному рельсу. Человек массой m перемещается относительно платформы на расстояние l. Найдём смещение платформы, если внешними горизонтальными силами можно пренебречь. Горизонтальная координата центра масс системы не изменяется.

1. Пусть платформа сместилась на Δx, а человек относительно земли — на Δx + l, если он пошёл вперёд относительно платформы.
2. Неизменность координаты центра масс даёт MΔx + m(Δx + l) = 0.
3. Раскроем скобки: (M + m)Δx = −ml, поэтому Δx = −ml/(M + m). Минус показывает, что платформа движется в сторону, противоположную движению человека.

Ответ: модуль смещения платформы равен |Δx| = ml/(M + m), направление противоположно движению человека.

Типичные ошибки

Считать внутренние силы равными нулю. Они не исчезают физически, а компенсируются только при сложении уравнений для всей системы. Проверьте себя: для отдельного тела внутренняя сила должна остаться в списке действующих сил.

Называть силу внутренней или внешней без указания системы. Такое название зависит от выбранных границ, поэтому одна сила может иметь разный статус. Сначала выпишите состав системы, затем определяйте, входят ли оба взаимодействующих тела в неё.

Усреднять координаты без учёта масс. Простое среднее подходит только для одинаковых масс, иначе центр масс окажется не там. Проверьте результат: он должен быть ближе к более массивному телу.

Считать неподвижными все тела при нулевой равнодействующей. Нулевое ускорение относится к центру масс, а не обязательно к каждой части. Проверьте, не могут ли тела двигаться относительно друг друга под действием внутренних сил.

Связь с другими темами

Для решения задач о системе тел нужны второй и третий законы Ньютона, а также понятия силы, массы и ускорения. Второй закон связывает равнодействующую с ускорением, а третий объясняет компенсацию внутренних сил.

Движение центра масс тесно связано с законом сохранения импульса. Поэтому этот подход полезен при столкновениях, отдаче, взрывах и разделении тел, когда внутренние взаимодействия быстро меняют скорости частей системы.

Что запомнить

• Внутренние силы действуют между телами системы, внешние — со стороны тел вне системы.
• Внутренние силы попарно компенсируются при рассмотрении движения системы в целом.
• Равнодействующая внешних сил определяет ускорение центра масс системы.
• Если равнодействующая внешних сил равна нулю, центр масс покоится или движется равномерно и прямолинейно.
• Положение центра масс зависит от масс тел и их координат.
• Относительное движение тел может меняться, даже если центр масс движется равномерно.