"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 3 частях)", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.; под ред. Орлова В.А. (ч. 1); Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И., под ред. Орлова В.А. (ч. 2); Генденштейн Л.Э., Кошкина А.В., Левиев Г.И. (ч. 3)
Система тел — несколько объектов, движение которых удобно изучать вместе. Для такой системы различают внутренние силы взаимодействия её частей и внешние силы со стороны окружающих тел. Главный инструмент темы — центр масс, точка, движущаяся так, будто к ней приложена равнодействующая внешних сил. Это позволяет находить движение всей системы, не разбирая подробно поведение каждого тела.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система тел — выбранная совокупность тел, движение которой рассматривают как единое целое. Например, при столкновении двух тел системой можно считать оба тела сразу. Такой выбор помогает заменить несколько связанных движений описанием всей системы.
Внутренние силы — силы взаимодействия между телами, входящими в систему. Если одно тело толкает другое, возникает такая пара сил, направленных в противоположные стороны. Для всей системы эти силы попарно компенсируются, хотя отдельные тела они разгоняют или тормозят.
Внешние силы действуют на систему со стороны тел, которые в неё не включены. К ним могут относиться сила тяжести, реакция опоры или сопротивление воздуха. Их равнодействующая определяет, как движется система в целом.
Центр масс — точка, положение которой является средним взвешенным положением тел системы: r⃗цм = (m₁r⃗₁ + m₂r⃗₂ + …) / M, где M — общая масса. Чем больше масса тела, тем сильнее оно влияет на положение этой точки. Центр масс нужен, чтобы описывать движение сложной системы одним уравнением.
Внутренние силы удобно отделять от внешних, потому что внутри системы они возникают парами. По третьему закону Ньютона силы действия и противодействия равны по модулю и противоположны по направлению. Поэтому внутренние силы могут перераспределять движение между частями системы, но не сообщают системе в целом дополнительный импульс.
Запишем второй закон Ньютона для каждого тела и сложим полученные уравнения. Сумма произведений масс на ускорения превращается в Mа⃗цм, потому что ускорение центра масс является средним с весами, равными массам. Внутренние силы сократятся, и останется уравнение Mа⃗цм = ΣF⃗внеш.
Положение центра масс зависит и от расположения тел, и от их масс. Если два тела находятся на одной прямой, точка ближе к более массивному телу, потому что его вклад в взвешенное среднее больше. При одинаковых массах центр масс находится посередине, а при неравных массах он смещается к тяжёлому телу.
Когда равнодействующая внешних сил равна нулю, из уравнения Mа⃗цм = 0 следует а⃗цм = 0. Значит, скорость центра масс не изменяется. При этом отдельные тела могут двигаться, пружины — разжиматься, а тела — сталкиваться, поскольку внутренние силы меняют их скорости попарно.
Импульс системы равен сумме импульсов всех тел: p⃗сист = Σmᵢv⃗ᵢ = Mv⃗цм. Поэтому закон изменения импульса записывается как Δp⃗сист = ΣF⃗внешΔt для постоянной внешней силы или как производная импульса, равная равнодействующей внешних сил. Такой подход позволяет не находить движение каждого тела, если требуется только общий результат.
| Что рассматриваем | Определение или формула | От чего зависит |
|---|---|---|
| Общая масса системы | M = m₁ + m₂ + … | От масс всех включённых тел |
| Положение центра масс | r⃗цм = Σmᵢr⃗ᵢ / M | От масс и радиус-векторов тел |
| Импульс системы | p⃗сист = Σmᵢv⃗ᵢ = Mv⃗цм | От масс и скоростей тел |
| Ускорение центра масс | Mа⃗цм = ΣF⃗внеш | От равнодействующей внешних сил |
| Условие постоянства скорости центра масс | ΣF⃗внеш = 0, тогда v⃗цм = const | От отсутствия равнодействующей внешних сил |
Сначала определите, какие тела входят в систему, а затем выберите подходящую строку таблицы. Для положения центра масс нужны координаты, для его движения — внешние силы, а для импульса — скорости тел. Векторные величины складывают с учётом направлений.
Условие: два тела массами 2 кг и 6 кг расположены на одной прямой на расстоянии 4 м. Найдите положение центра масс относительно тела массой 2 кг. Начало координат удобно поместить в это тело.
Ответ: центр масс находится на расстоянии 3 м от тела массой 2 кг в сторону тела массой 6 кг. Он расположен ближе к более массивному телу, что можно заранее использовать для проверки результата.
Условие: тележки массами 3 кг и 2 кг движутся навстречу со скоростями 4 м/с и 1 м/с. Направление движения первой тележки выберем положительным. Требуется найти скорость центра масс.
Ответ: скорость центра масс равна 2 м/с и направлена в сторону движения первой тележки. Складывать модули скоростей здесь нельзя, потому что тележки движутся в противоположных направлениях.
Условие: на систему из двух соединённых тел общей массой 5 кг действует внешняя сила 15 Н вправо. Внутренние силы взаимодействия тел равны по модулю 8 Н. Найдите ускорение центра масс.
Ответ: ускорение центра масс равно 3 м/с² вправо. Внутренние силы могут менять ускорения самих тел, но не ускорение системы как целого.
Включают внутренние силы в равнодействующую всей системы. Так происходит, когда силы рассматривают по отдельности, не проверяя, между какими телами они действуют. Проверьте: если оба тела входят в систему, их силы взаимодействия должны стоять парами и сократиться.
Находят центр масс как обычное среднее координат. Такое правило верно только для тел одинаковой массы, поэтому оно часто даёт неверный результат. Проверьте себя формулой xцм = Σmᵢxᵢ / M и убедитесь, что точка ближе к более массивному телу.
Складывают модули импульсов, не учитывая направления скоростей. Импульс является вектором, поэтому встречные движения дают противоположные знаки. Выберите положительное направление и поставьте минус перед скоростью тела, движущегося навстречу.
Считают, что при нулевой внешней силе неподвижны все тела. Нулевое ускорение относится к центру масс, а не обязательно к каждой части системы. Проверьте, о какой величине спрашивается: отдельные тела могут двигаться, пока скорость центра масс остаётся постоянной.
Для изучения движения системы нужны второй закон Ньютона, понятие импульса тела и правило сложения векторов. Без этих идей трудно объяснить, почему силы складываются именно так и почему направление скорости имеет значение. Повторите их, если возникают трудности с формулами или знаками.
Центр масс используется в задачах о столкновениях, отдаче и движении связанных тел. Закон изменения импульса системы помогает находить результат взаимодействия без подробного описания каждого тела. Эти идеи напрямую ведут к законам сохранения импульса.
Как выбрать, какие тела включить в систему?
В систему включают тела, движение которых нужно рассматривать совместно. Выбор зависит от задачи: например, при столкновении удобно объединить оба тела, чтобы силы их взаимодействия стали внутренними.
Почему внутренние силы не влияют на движение системы в целом?
Внутренние силы возникают попарно: тела действуют друг на друга с равными по модулю и противоположными по направлению силами. Поэтому их векторная сумма для всей системы равна нулю, хотя движение отдельных частей они могут заметно менять.
Как найти центр масс нескольких тел на одной прямой?
Нужно выбрать начало координат и использовать формулу xцм = (m₁x₁ + m₂x₂ + …) / (m₁ + m₂ + …). Координаты складывают с учётом знаков, а более массивное тело сильнее влияет на положение центра масс.
Может ли центр масс находиться вне самих тел системы?
Да, может. Например, центр масс двух тел, расположенных на концах отрезка, находится между ними, а у кольца или полого объекта может оказаться в пустом пространстве.
Что происходит с центром масс системы, если внешние силы уравновешены?
Если равнодействующая внешних сил равна нулю, ускорение центра масс равно нулю. Его скорость сохраняется, даже если тела системы движутся относительно друг друга или сталкиваются.
§ 34. Движение системы тел
