"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 3 частях)", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.; под ред. Орлова В.А. (ч. 1); Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И., под ред. Орлова В.А. (ч. 2); Генденштейн Л.Э., Кошкина А.В., Левиев Г.И. (ч. 3)
Неравномерное движение по окружности в вертикальной плоскости — это движение тела по круговой траектории, при котором меняется не только направление, но и модуль скорости. Такое движение возникает под действием силы тяжести: при спуске тело обычно ускоряется, а при подъёме замедляется. Для решения задач используют разложение ускорения, закон сохранения энергии и второй закон Ньютона в радиальном направлении.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Неравномерное движение по окружности — движение по круговой траектории, при котором модуль скорости изменяется. Буквой v обозначают мгновенную скорость, R — радиус окружности. Это понятие нужно, чтобы учитывать одновременно изменение направления и величины скорости.
Нормальное ускорение — составляющая ускорения, направленная к центру окружности и изменяющая направление скорости. Его модуль равен aₙ = v²/R. Оно показывает, какое ускорение требуется телу для движения по кривой.
Тангенциальное ускорение направлено по касательной к траектории и изменяет модуль скорости. Его обычно обозначают aₜ. Если тело разгоняется или замедляется, одного нормального ускорения для описания движения недостаточно.
Центростремительная сила — равнодействующая сил, направленная к центру и обеспечивающая нормальное ускорение. Это не особый вид силы, а результат сложения проекций натяжения, тяжести, реакции опоры и других реальных сил. Для неё используют соотношение Fцс = mv²/R.
В вертикальной окружности высота тела всё время меняется, поэтому меняется и его потенциальная энергия. При спуске потенциальная энергия уменьшается и переходит в кинетическую, из-за чего скорость обычно возрастает. При подъёме происходит обратное превращение, поэтому тело замедляется, если внешние потери и дополнительные силы отсутствуют.
Скорость в каждый момент направлена по касательной, потому что касательная задаёт мгновенное направление движения по окружности. Сила тяжести может иметь составляющую вдоль этой касательной, и именно она изменяет модуль скорости. Поэтому ускорение складывается из нормальной части, отвечающей за поворот скорости, и тангенциальной части, отвечающей за разгон или торможение.
Скорость в разных точках удобно находить законом сохранения механической энергии. Если трением можно пренебречь, сумма кинетической и потенциальной энергий постоянна: ½mv² + mgh = const. Значит, разность высот можно связать с разностью квадратов скоростей, не расписывая движение по времени.
Натяжение нити или реакцию опоры находят отдельно от скорости, записывая второй закон Ньютона вдоль радиуса. Сначала выбирают положительное направление к центру, затем складывают проекции всех реальных сил на него. Получается уравнение ΣFᵣ = mv²/R, где правая часть задаёт необходимую радиальную равнодействующую.
В верхней точке нельзя автоматически считать, что тело продолжает двигаться по окружности. Для нити требуется T ≥ 0, а для опоры N ≥ 0, поскольку нить не толкает тело, а опора не притягивает его. Если расчёт даёт отрицательное значение, контакт потерян и прежнее уравнение уже неприменимо.
| Положение тела | Направление к центру | Радиальное уравнение для тела на внутренней стороне окружности | Изменение скорости при движении |
|---|---|---|---|
| Нижняя точка | Вертикально вверх | T − mg = mv²/R | При движении к нижней точке скорость увеличивается; в самой точке сила тяжести перпендикулярна скорости. |
| Боковая точка | Горизонтально к центру | T или N = mv²/R, если сила тяжести не имеет радиальной проекции | При движении вниз скорость увеличивается, при движении вверх — уменьшается; тяжесть направлена по касательной. |
| Верхняя точка | Вертикально вниз | T + mg = mv²/R или N + mg = mv²/R | При подъёме до верхней точки скорость уменьшается; после неё при спуске начинает увеличиваться. |
Сначала определите направление к центру в выбранной точке, а затем проверьте, какие силы направлены туда. Формулы для верхней и нижней точек различаются именно из-за этого, хотя правая часть в обоих случаях равна mv²/R.
Изменение скорости определяйте по направлению движения и высоте: при уменьшении высоты кинетическая энергия возрастает. Таблица описывает тело на внутренней стороне окружности; для другой ситуации направления сил нужно анализировать заново.
Условие: тело массы m движется по вертикальной окружности радиуса R, его скорость в нижней точке равна v. Найти натяжение нити T.
Ответ: T = m(g + v²/R). Натяжение больше силы тяжести, потому что нить должна не только удерживать тело, но и создавать радиальное ускорение.
Условие: тело без трения проходит вертикальную окружность; скорость в нижней точке v₀. Найти скорость v₁ и реакцию опоры N в верхней точке.
Ответ: v₁ = √(v₀² − 4gR), N = m(v₁²/R − g), если контакт с опорой сохраняется. Дополнительно требуется N ≥ 0.
Условие: груз на нити движется по вертикальной окружности. Найти минимальную скорость v₀ в нижней точке, при которой нить натянута на всём пути.
Ответ: минимальная скорость в нижней точке равна √(5gR). При большей скорости натяжение в верхней точке будет положительным.
Считать центростремительную силу дополнительной силой — ошибка, потому что это равнодействующая уже действующих сил. Её не добавляют к тяжести и натяжению второй раз. Проверьте себя: в радиальном уравнении должны стоять только реальные силы.
Записывать одно уравнение в верхней и нижней точках нельзя без анализа направлений. В нижней точке тяжесть направлена от центра, а в верхней — к центру, поэтому знаки меняются. Нарисуйте стрелку к центру и расставьте проекции.
Нормальное ускорение часто принимают за полное. Оно отвечает только за изменение направления скорости, тогда как при разгоне или торможении есть ещё тангенциальная составляющая. Если меняется модуль скорости, проверьте наличие aₜ.
Нельзя считать, что тело при любой начальной скорости пройдёт верхнюю точку. При слишком малой скорости нить провисает или тело отрывается от опоры. Проверьте условие T ≥ 0 или N ≥ 0 и возможность достижения нужной высоты.
Для решения задач нужны второй закон Ньютона и умение раскладывать силы на проекции. Нормальное и тангенциальное ускорения связывают тему с криволинейным движением. Закон сохранения механической энергии позволяет находить скорость через высоту без вычисления времени.
Эти методы применяются при изучении движения спутников, движения по кривым траекториям и условий отрыва тела от опоры. Та же идея радиальной равнодействующей используется в разных задачах, даже если вместо нити действуют реакция поверхности или гравитация.
Почему при движении по окружности тело ускоряется, даже если его скорость направлена по касательной?
Ускорение показывает изменение вектора скорости, а не только его модуля. При движении по окружности направление скорости непрерывно меняется, поэтому появляется нормальное ускорение, направленное к центру.
Чем нормальное ускорение отличается от центростремительной силы?
Нормальное ускорение — характеристика движения тела, равная по модулю v²/R. Центростремительная сила — равнодействующая реальных сил в радиальном направлении, создающая это ускорение.
Как меняется скорость тела при движении по вертикальной окружности?
При движении вниз сила тяжести обычно увеличивает модуль скорости, а при движении вверх — уменьшает его. Точное значение в разных точках находят по закону сохранения механической энергии.
Почему в верхней точке нить может провиснуть?
Для движения по окружности в верхней точке нужна определённая радиальная сила. Если силы тяжести недостаточно для создания ускорения v²/R, требуемое натяжение получилось бы отрицательным, а нить не может толкать тело, поэтому она провисает.
Как определить натяжение нити или силу реакции опоры в разных точках окружности?
Сначала выбирают радиальное направление к центру и находят скорость в нужной точке. Затем записывают второй закон Ньютона: сумма проекций реальных сил на это направление равна mv²/R.
§ 33. Неравномерное движение по окружности в вертикальной плоскости
