"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 3 частях)", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.; под ред. Орлова В.А. (ч. 1); Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И., под ред. Орлова В.А. (ч. 2); Генденштейн Л.Э., Кошкина А.В., Левиев Г.И. (ч. 3)
Движение тела по окружности в вертикальной плоскости отличается от равномерного: сила тяжести при подъёме уменьшает скорость, а при спуске увеличивает её. Поэтому в каждой точке окружности меняются скорость, натяжение нити или реакция опоры. Главные инструменты анализа — закон сохранения механической энергии и второй закон Ньютона, записанный вдоль радиуса. Они позволяют находить скорость, силы и минимальное условие полного оборота.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Неравномерное движение по окружности в вертикальной плоскости — движение, при котором скорость тела меняет модуль, а её направление непрерывно поворачивается. Оно возникает, например, у груза на нити, движущегося по вертикальному кругу. Разбор такого движения нужен, чтобы находить скорость и силы в разных точках траектории.
Центростремительное ускорение — составляющая ускорения, направленная к центру окружности; её модуль равен aц = v²/R. Здесь v — мгновенная скорость, а R — радиус окружности. Эта формула показывает, какая радиальная равнодействующая необходима телу для движения по круговой траектории.
Сила натяжения нити — сила, с которой нить действует на тело вдоль нити. Она направлена от тела к точке крепления и потому в разных местах окружности по-разному соотносится с силой тяжести. По натяжению проверяют, остаётся ли нить натянутой.
Критическая скорость в верхней точке — минимальная скорость, при которой тело проходит верхнюю точку, не теряя контакта с окружностью или не провисая на нити. В предельном случае натяжение либо реакция опоры равны нулю. Это понятие помогает найти условие полного оборота.
Скорость меняется потому, что сила тяжести совершает работу. Во время подъёма перемещение частично направлено против силы тяжести, поэтому потенциальная энергия увеличивается, а кинетическая уменьшается. При спуске происходит обратное: потенциальная энергия переходит в кинетическую, и тело ускоряется.
Связь скорости с высотой удобно получать из закона сохранения механической энергии: mv₁²/2 + mgh₁ = mv₂²/2 + mgh₂. Уровень, от которого отсчитывают высоту, можно выбрать произвольно, поскольку в расчёте важна разность высот. Для гладкой окружности без сопротивления эта сумма остаётся постоянной.
Чтобы записать второй закон Ньютона радиально, проводят ось к центру окружности. Сумма проекций всех сил на эту ось должна равняться mv²/R, потому что именно такая равнодействующая создаёт центростремительное ускорение. Сначала выбирают положительное направление, затем со знаками проецируют натяжение, реакцию опоры и силу тяжести.
Натяжение нити и реакция опоры меняются по окружности не случайно. Скорость зависит от высоты, а проекция силы тяжести на радиальное направление в верхней, нижней и боковой точках различна. Поэтому для одного и того же тела эти силы нельзя считать постоянными.
Для прохождения верхней точки без потери контакта ищут предельный случай. На нити это T = 0, а для тела на опоре — N = 0, поскольку нить и опора не могут «толкать» тело в противоположную сторону. Тогда необходимое центростремительное ускорение создаёт сама сила тяжести: mg = mv²/R, откуда v = √(gR).
| Положение тела | Направление к центру | Радиальное уравнение | Особенность |
|---|---|---|---|
| Верхняя точка | Вниз | T + mg = mv²/R | Сила тяжести и натяжение направлены к центру |
| Нижняя точка | Вверх | T − mg = mv²/R | Натяжение превышает силу тяжести |
| Боковая точка | Горизонтально к центру | T = mv²/R | Сила тяжести перпендикулярна радиусу |
Таблицу используют после того, как определены силы, действующие на тело, и выбрано направление к центру. Затем подставляют известную скорость в нужной точке и находят натяжение или реакцию опоры. Для опоры вместо T записывают N, а сила реакции не может иметь отрицательного значения.
Условие. Тело отпускают без начальной скорости с высоты h₀ над нижней точкой гладкой окружности радиуса R. Найти скорость внизу. Сопротивлением пренебречь.
Ответ: v = √(2gh₀). Чем больше перепад высот, тем больше скорость в нижней точке.
Условие. Груз массой m движется на нити по вертикальной окружности радиуса R и имеет в нижней точке скорость v. Найти натяжение нити. Направление к центру здесь совпадает с направлением вверх.
Ответ: T = m(g + v²/R).
Условие. Груз движется на нити радиуса R. Найти минимальную скорость в нижней точке, при которой он совершит полный оборот, не теряя натяжения. Сопротивлением пренебречь.
Ответ: минимальная скорость в нижней точке равна √(5gR); при меньшей скорости нить провиснет в верхней части траектории.
Считать скорость постоянной. Так ошибаются, перенося свойства равномерного движения по окружности на вертикальный случай. Сила тяжести меняет энергию тела, поэтому сравнивайте высоты и проверяйте скорость законом сохранения энергии.
Приравнивать центростремительную силу отдельной силе. Центростремительной силы как особой дополнительной силы нет: к центру направлена равнодействующая. Записывайте сумму проекций всех реальных сил и приравнивайте её к mv²/R.
Путаться в знаках проекций. Ошибка появляется, если направление оси меняют внутри одного уравнения или не учитывают направление силы тяжести. Нарисуйте ось к центру, подпишите стрелки сил и только после этого ставьте знаки.
Получать отрицательное натяжение. В предельной точке нельзя считать отрицательное T допустимым: нить не толкает тело. Условие потери контакта — T = 0; отрицательный результат означает, что контакт уже нарушился.
Для решения задач нужны второй закон Ньютона, разложение сил на проекции и формула центростремительного ускорения. Закон сохранения механической энергии связывает скорость с изменением высоты и часто упрощает расчёты.
Тема продолжает изучение криволинейного движения и помогает анализировать движение в петле, работу аттракционов и условия отрыва тела от опоры. Она также показывает, как взаимодействуют динамический и энергетический методы.
Почему тело замедляется при подъёме и ускоряется при спуске?
При подъёме сила тяжести направлена против перемещения и совершает отрицательную работу, поэтому кинетическая энергия уменьшается. При спуске сила тяжести направлена по перемещению и увеличивает кинетическую энергию тела.
Почему центростремительное ускорение есть, даже если скорость в данный момент не меняется?
Скорость — векторная величина, поэтому её изменение включает изменение направления. При движении по окружности направление скорости постоянно поворачивается, а значит, возникает центростремительное ускорение aц = v²/R.
Как определить направление силы натяжения нити в верхней и нижней точках?
Нить может только тянуть тело, поэтому сила натяжения направлена вдоль нити от тела к точке крепления. В верхней и нижней точках это направление совпадает с направлением к центру окружности.
Что означает условие нулевого натяжения нити в верхней точке?
Это предельный случай, когда нить только перестаёт провисать и уже не действует на тело с заметной силой. Если расчёт даёт отрицательное натяжение, такой режим невозможен: тело теряет контакт с нитью раньше.
Как понять, что тело потеряло контакт с опорой?
Контакт сохраняется, пока сила реакции опоры неотрицательна. Если расчёт требует отрицательной реакции, опора не может толкать тело в нужном направлении, поэтому тело отрывается.
§ 33. Неравномерное движение по окружности в вертикальной плоскости
