3. Неупругие столкновения

Определения и обозначения

Столкновение — кратковременное взаимодействие тел, при котором их скорости заметно изменяются. За это короткое время тела успевают обменяться импульсом, а их движение может резко поменяться. Понятие столкновения нужно, чтобы рассматривать взаимодействие как отдельное событие и сравнивать состояние системы до и после него.

Неупругий удар — столкновение, при котором часть механической энергии переходит во внутреннюю энергию тел и кинетическая энергия системы не сохраняется. Например, при ударе могут возникнуть деформация и нагрев, а часть энергии уйти на звук. Это определение помогает отличать неупругий удар от упругого, где кинетическая энергия системы сохраняется.

Абсолютно неупругий удар — столкновение, после которого тела движутся вместе с общей скоростью. Для решения задачи не нужно находить отдельные скорости тел: они одинаковы, потому что тела сцепились. Такой случай удобен для расчётов по закону сохранения импульса.

Импульс системы тел — векторная сумма импульсов всех тел системы; для замкнутой системы он сохраняется при столкновении. Импульс отдельного тела равен произведению его массы на скорость: p = mv, поэтому у него есть и величина, и направление. Это понятие позволяет связать движение тел до удара с их движением после него.

Как это устроено

Во время короткого столкновения тела действуют друг на друга большими силами, поэтому их скорости могут сильно измениться. При этом внешние силы обычно успевают сообщить системе небольшой импульс: время удара мало. Если этим внешним импульсом можно пренебречь, изменения импульсов тел внутри системы взаимно компенсируются, и суммарный импульс до и после удара одинаков.

При неупругом ударе кинетическая энергия не сохраняется, потому что движение тел сопровождается деформацией и другими процессами. Часть энергии движения переходит во внутреннюю энергию, звук и другие виды энергии. Энергия в целом не исчезает, но механическая энергия движения уменьшается, поэтому нельзя приравнивать кинетические энергии системы до и после удара.

При абсолютно неупругом ударе тела после столкновения имеют одну общую скорость. Сначала записывают суммарный импульс до удара, затем выражают импульс сцепившихся тел как (m₁ + m₂)v. Приравнивание этих величин даёт общую скорость; массы складываются, потому что после удара движется единое целое.

В одномерной задаче сначала выбирают положительное направление, например вправо. Тело, движущееся в эту сторону, получает положительную скорость, а движущееся влево — отрицательную. Поэтому встречное движение учитывается не сложением модулей импульсов, а их сложением со знаками: так закон сохранения отражает действительные направления движения.

Зная массы и скорости до абсолютно неупругого удара, можно после нахождения общей скорости сравнить кинетические энергии системы. Начальную энергию считают отдельно для каждого тела по формуле E = mv²/2 и складывают; конечную считают для общей массы и общей скорости. Их разность показывает уменьшение механической энергии, перешедшее во внутреннюю и другие формы.

Законы сохранения при разных видах столкновения

Сначала определите вид удара и проверьте, можно ли считать систему замкнутой на время столкновения. Затем выберите нужные законы: для всех трёх случаев используйте сохранение импульса, а сохранение кинетической энергии — только для упругого удара. Если тела сцепились, сразу задайте для них одну общую скорость после удара.

Разбор задач

Тележки движутся вместе после удара

Тележка массой 2 кг движется со скоростью 3 м/с и сталкивается с неподвижной тележкой массой 1 кг. После удара тележки движутся вместе. Найдите их скорость. Выберем направление движения первой тележки за положительное; вторая до удара покоится, поэтому её импульс равен нулю.

1. Поскольку тележки сцепились, после столкновения у них общая скорость v.
2. Применим сохранение импульса: 2 · 3 + 1 · 0 = (2 + 1)v.
3. Получаем 6 = 3v, следовательно, v = 2 м/с. Положительный знак означает, что тележки продолжают двигаться в первоначальном направлении первой тележки.

Ответ: 2 м/с в направлении движения первой тележки. Проверка: до удара система имела импульс 6 кг·м/с, после — 3 · 2 = 6 кг·м/с.

Тела движутся навстречу

Два тела массами 1 кг и 3 кг движутся навстречу со скоростями 4 м/с и 2 м/с соответственно. После абсолютно неупругого удара найдите общую скорость и направление движения. Примем направление движения первого тела за положительное, поэтому скорость второго тела будет отрицательной.

1. После столкновения тела сцепились, значит, их общая масса равна 1 + 3 = 4 кг.
2. Запишем импульсы со знаками: 1 · 4 + 3 · (−2) = 4v.
3. Суммарный импульс равен −2 кг·м/с, поэтому v = −2/4 = −0,5 м/с. Минус показывает, что тела движутся в направлении, противоположном выбранному положительному, то есть в первоначальном направлении второго тела.

Ответ: 0,5 м/с в направлении движения второго тела до столкновения. Большая масса второго тела перевесила по импульсу первое, поэтому направление общей скорости совпало с его движением.

Скорость и потеря механической энергии

Два тела массами 2 кг и 3 кг движутся навстречу со скоростями 5 м/с и 1 м/с. После столкновения они сцепляются. Определите общую скорость и количество механической энергии, перешедшей во внутреннюю. Направление движения первого тела выберем положительным, а значит, скорость второго равна −1 м/с.

1. По закону сохранения импульса 2 · 5 + 3 · (−1) = (2 + 3)v, откуда 7 = 5v и v = 1,4 м/с. Положительный знак показывает, что тела движутся в первоначальном направлении первого тела.
2. Начальная кинетическая энергия равна 2 · 5²/2 + 3 · 1²/2 = 26,5 Дж.
3. После удара кинетическая энергия сцепившихся тел равна 5 · 1,4²/2 = 4,9 Дж. Уменьшение механической энергии составляет 26,5 − 4,9 = 21,6 Дж.

Ответ: общая скорость 1,4 м/с в направлении первого тела; во внутреннюю и другие виды энергии перешло 21,6 Дж механической энергии. Проверка включает два этапа: сохранение импульса и сравнение кинетических энергий до и после удара.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что при неупругом ударе сохраняется кинетическая энергия. Её допускают, потому что путают сохранение энергии вообще с сохранением именно кинетической энергии движения. Проверьте вид удара: при неупругом часть энергии переходит в другие формы, а сохранение импульса применимо при пренебрежимо малом внешнем импульсе.

Ошибка: складывать модули импульсов тел, движущихся в противоположных направлениях. Так поступают, когда забывают, что импульс — векторная величина. Выберите ось и поставьте скорости встречных тел с разными знаками; получившийся знак общей скорости должен согласовываться с направлением результирующего импульса.

Ошибка: после абсолютно неупругого удара находить отдельные скорости сцепившихся тел. Отдельные скорости искать не нужно, потому что после удара тела движутся вместе и имеют одну скорость. Для проверки запишите в правой части уравнения импульсов общую массу, умноженную на одну скорость.

Ошибка: применять закон сохранения импульса, не проверив влияние внешних сил. Обычно это происходит из-за того, что столкновение считают автоматически замкнутой системой. Оцените внешний импульс за время удара: если он не мал по сравнению с импульсами тел, выбранную систему нельзя считать изолированной для этой задачи.

Связь с другими темами

Для разбора столкновений нужны понятие импульса тела, его направление и закон изменения импульса под действием силы. Также нужно уметь применять закон сохранения импульса в замкнутой системе и рассчитывать кинетическую энергию. Эти навыки помогают изучать реактивное движение, движение тел после взаимодействия и превращения механической энергии.

Что запомнить

• Импульс замкнутой системы сохраняется при столкновении.
• При неупругом ударе кинетическая энергия системы не сохраняется.
• Часть кинетической энергии переходит во внутреннюю энергию и другие виды энергии.
• При абсолютно неупругом ударе тела после столкновения движутся вместе.
• В задачах на импульс направление движения учитывают знаками.
• Общую скорость сцепившихся тел находят из закона сохранения импульса.