"Физика. Базовый и углубленный уровни (в 2 частях) ", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.
При движении по вертикальной окружности скорость тела меняется и по направлению, и по модулю: при подъёме оно обычно замедляется, а при спуске ускоряется. На тело действуют сила тяжести и натяжение нити или реакция направляющей. Их направления относительно центра зависят от положения, поэтому радиальное уравнение нужно записывать отдельно для каждой точки. Закон сохранения энергии связывает скорости в разных точках, а условие натяжения помогает понять, сможет ли тело пройти всю окружность.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Неравномерное движение по окружности — движение, при котором меняется модуль скорости; её направление тоже непрерывно меняется. Поэтому тело может ускоряться даже тогда, когда движется по окружности, не сходя с неё. Это понятие нужно, чтобы учитывать сразу изменение скорости и поворот её вектора.
Центростремительное ускорение направлено к центру окружности и по модулю равно aц = v²/R, где v — скорость, а R — радиус. Оно показывает, насколько быстро меняется направление скорости тела. Эта формула помогает составить уравнение движения вдоль радиуса.
Натяжение нити — сила, с которой нить действует на прикреплённое к ней тело. При движении по вертикальной окружности величина натяжения зависит от скорости тела и его положения. Зная натяжение, можно проверить, остаётся ли нить натянутой.
Сила реакции опоры — сила, с которой направляющая действует на тело. Если тело движется по внутренней стороне направляющей, реакция опоры может быть направлена к центру и участвовать в создании центростремительного ускорения. Это понятие нужно, когда вместо нити тело удерживает траектория.
Скорость — вектор, поэтому для ускорения не обязательно, чтобы менялся её численный модуль. При движении по окружности в каждой точке скорость направлена по касательной, а касательная всё время поворачивается. Из-за этого скорость меняется по направлению, и возникает ускорение к центру; чем больше скорость и меньше радиус, тем оно больше.
В вертикальной плоскости сила тяжести всегда направлена вниз, но направление к центру окружности меняется вместе с положением тела. В нижней точке тяжесть направлена от центра, в верхней — к нему, а сбоку она перпендикулярна радиусу. Поэтому вклад тяжести в радиальное движение не одинаков во всех точках, и натяжение нити или реакция опоры меняются.
Второй закон Ньютона связывает равнодействующую сил с ускорением тела. Для движения по окружности его записывают вдоль радиуса: проекция равнодействующей на направление к центру равна mv²/R. Сначала выбирают рассматриваемую точку и направление к центру, затем учитывают проекции сил со знаками; подставлять одно уравнение для разных точек нельзя.
Скорость в разных точках можно связать законом сохранения механической энергии, если сопротивлением воздуха пренебрегают. При подъёме тело набирает потенциальную энергию за счёт кинетической, поэтому замедляется; при спуске происходит обратное. Натяжение идеальной нити не совершает работы, так как направлено вдоль нити, а перемещение тела в данный момент — по касательной.
Чтобы тело завершило оборот на нити, нить должна оставаться натянутой. Она может тянуть тело, но не может толкать его, поэтому натяжение должно быть неотрицательным. На границе полного оборота натяжение в верхней точке равно нулю: тело проходит её с минимально возможной скоростью, а при меньшей скорости нить провисает раньше.
В таблице направление к центру выбрано положительным, поэтому знак каждой силы зависит от того, куда она направлена в данной точке. Скорость в последней строке связана с разностью высот и законом сохранения энергии. Чтобы решить задачу, найдите нужную точку, выберите соответствующее уравнение и подставьте скорость именно в этой точке.
| Положение тела | Направление к центру | Радиальное уравнение | Скорость при движении без сопротивления |
|---|---|---|---|
| Нижняя точка | Натяжение — к центру, сила тяжести — от центра | T − mg = mv²/R | — |
| Боковая точка | Сила тяжести перпендикулярна радиусу | T = mv²/R | — |
| Верхняя точка | Натяжение и сила тяжести — к центру | T + mg = mv²/R | — |
| Нижняя и верхняя точки | Разность высот равна 2R | — | vниж² = vверх² + 4gR |
Тело движется по окружности радиуса R со скоростью v. Требуется найти натяжение нити в нижней точке, где нить направлена к центру, а сила тяжести — в противоположную сторону. Ищем натяжение из второго закона Ньютона вдоль радиуса.
Ответ: натяжение нити в нижней точке равно m(v²/R + g). Оно больше силы тяжести, потому что результирующая сила должна быть направлена к центру.
Тело без сопротивления воздуха проходит нижнюю и верхнюю точки окружности. Известна скорость vниж внизу; нужно найти скорость наверху и натяжение нити там. Сначала находим скорость по энергии, затем применяем второй закон Ньютона в верхней точке.
Ответ: vверх = √(vниж² − 4gR), T = m(vниж²/R − 5g). Формулы применимы, если тело действительно достигает верха и нить не провисает.
Нужно найти минимальную скорость тела в нижней точке, чтобы оно совершило полный оборот на лёгкой нерастяжимой нити радиуса R. В предельном случае нить вверху только перестаёт быть натянутой. Поэтому положим натяжение в верхней точке равным нулю.
Ответ: минимальная скорость внизу равна √(5gR). При меньшей скорости условие натяжения нарушится до завершения оборота.
Считать центростремительное ускорение отдельной силой — ошибка: ускорение описывает изменение скорости, а не взаимодействие тел. Её допускают, потому что выражение mv²/R часто появляется рядом с силами в уравнении. Проверка простая: в записи второго закона Ньютона слева должны стоять реальные силы, а ускорение — справа.
Складывать силы в радиальном уравнении одинаково для всех точек нельзя. Так ошибаются, если запоминают формулу, не рисуя направления сил: проекция тяжести меняет знак при переходе от низа к верху. Перед вычислениями выберите направление к центру и отметьте, какие силы направлены туда, а какие — от него.
Натяжение нити не постоянно на всей окружности: оно зависит и от скорости, и от проекции силы тяжести на радиус. Если считать натяжение одним и тем же, легко получить противоречие с уравнениями в верхней и нижней точках. Проверьте результат, отдельно записав второй закон Ньютона для каждой точки, где требуется найти силу.
Отрицательное натяжение нельзя считать допустимым ответом для движения на нити. Такой результат означает, что нить должна была бы толкать тело, хотя она способна только тянуть. При проверке полного оборота убедитесь, что T ≥ 0 в верхней точке; если вышло T < 0, нить провисает и предположение о движении по окружности неверно.
Для решения задач нужны второй закон Ньютона, умение раскладывать силы на направления и формула центростремительного ускорения aц = v²/R. Закон сохранения механической энергии позволяет находить скорость тела при переходе между точками разной высоты. Эти знания применяются вместе: энергия даёт скорость, а радиальное уравнение — силу натяжения или реакцию опоры. Тема помогает разбирать движение по петле и маятника, а также выяснять, когда тело теряет контакт с направляющей.
Почему при движении с постоянной по модулю скоростью тело всё равно ускоряется?
Ускорение возникает, когда меняется скорость — векторная величина, у которой есть и модуль, и направление. На окружности направление скорости непрерывно меняется, поэтому появляется центростремительное ускорение, направленное к центру.
Почему натяжение нити меняется при движении по окружности?
Натяжение должно вместе с составляющей силы тяжести обеспечивать необходимое центростремительное ускорение. И скорость тела, и направление силы тяжести относительно радиуса меняются при движении, поэтому меняется и натяжение.
Как выбрать положительное направление для уравнения сил?
Для радиального уравнения удобно считать положительным направление к центру окружности. Затем проецируют на него все силы: направленные к центру берут со знаком плюс, направленные от центра — со знаком минус.
Почему для полного оборота натяжение в верхней точке может быть равно нулю?
Нить тянет тело, но не может толкать его, поэтому натяжение не бывает отрицательным. В предельном случае полного оборота нить в верхней точке ещё не провисает, но уже не натянута: T = 0.
Можно ли применить закон сохранения энергии, если натяжение нити меняется?
Да, если сопротивлением воздуха можно пренебречь. Натяжение направлено перпендикулярно мгновенному перемещению тела и работы не совершает, поэтому полная механическая энергия сохраняется.
§ 33. Неравномерное движение по окружности в вертикальной плоскости
