1. Груз, подвешенный на нити и стержне

Определения и обозначения

Равновесие груза — состояние, при котором равнодействующая всех приложенных к нему сил равна нулю. Иначе говоря, силы компенсируют друг друга, поэтому груз не приобретает ускорения. Это условие помогает понять, какие уравнения нужно составить для решения задачи.

Натяжение нити — сила, с которой натянутая нить действует на груз. Она направлена вдоль нити от груза, потому что нить может только тянуть. Обозначение T используют, чтобы записать эту силу в уравнении равновесия.

Сила упругости стержня — сила, с которой стержень действует на груз вдоль своей оси. В зависимости от ситуации стержень может тянуть груз или толкать его, поэтому направление силы заранее не всегда очевидно. Это определение позволяет учитывать и растяжение, и сжатие стержня.

Невесомая нить или стержень — идеализированное тело, массой которого при расчёте пренебрегают. Тогда не нужно учитывать силу тяжести, действующую на саму нить или стержень. В задаче рассматривают только их действие на груз и силы, приложенные к нему.

Как это устроено

Если груз покоится, его ускорение равно нулю, а значит, по второму закону Ньютона равнодействующая сил тоже равна нулю. В простейшем случае на него действуют сила тяжести вниз и сила со стороны подвеса вверх. Эти силы должны быть равны по модулю и противоположны по направлению, иначе груз начал бы двигаться. При более сложном подвесе равновесие по-прежнему требует взаимной компенсации всех сил.

Нить передаёт усилие только вдоль своей длины: натяжение возникает, когда нить тянут с двух сторон. Если попытаться передать через неё толчок, гибкая нить провиснет, и усилие до груза не дойдёт. Поэтому силу натяжения на схеме проводят от груза вдоль нити к точке подвеса. Это правило помогает не ошибиться ещё до составления уравнений.

Стержень сохраняет форму лучше нити и способен передавать усилие в обоих направлениях вдоль оси. Растянутый стержень тянет груз, а сжатый — толкает его. Какое из этих действий нужно для равновесия, зависит от остальных сил и расположения опоры. Поэтому направление силы стержня определяют по условию задачи или проверяют по результату расчёта.

При наклонных нитях и стержнях силы направлены не вдоль горизонтали или вертикали, поэтому их удобно разложить на составляющие. Выбирают оси, например горизонтальную x и вертикальную y, а затем записывают условие равновесия отдельно для каждой оси: ΣFₓ = 0 и ΣFᵧ = 0. Горизонтальные составляющие могут взаимно компенсироваться, как и вертикальные. Такой способ превращает задачу с несколькими направлениями в систему уравнений.

Направление силы стержня можно сначала выбрать условно, например считать, что стержень растянут и тянет груз вдоль оси. Затем уравнения равновесия решают с этим предположением. Если вычисленная сила получилась положительной, принятое направление согласуется с ответом, а если отрицательной — действительная сила направлена противоположно. Значит, стержень в этом случае сжат, а не растянут.

Груз в равновесии на нити и стержне

Сначала определите, какие силы может передавать опора, и задайте их направления на схеме. Затем выберите оси и проверьте равновесие по проекциям. Отрицательный ответ не означает ошибку автоматически: он показывает, что действительное направление силы отличается от принятого.

Разбор задач

Задача 1. Груз на вертикальной нити

Груз массой 2 кг висит неподвижно на вертикальной нити. Нужно найти натяжение, если g = 10 Н/кг. На груз действуют сила тяжести вниз и натяжение нити вверх. Поскольку груз неподвижен, эти две силы уравновешивают друг друга.

1. Запишем силу тяжести: Fтяж = mg = 2 кг · 10 Н/кг = 20 Н.
2. По вертикальной оси условие равновесия имеет вид T − Fтяж = 0.
3. Отсюда T = Fтяж = 20 Н; других сил, которые могли бы изменить это равенство, в задаче нет.

Ответ: натяжение нити равно 20 Н.

Задача 2. Груз на двух одинаковых нитях

Груз массой 5 кг удерживается двумя одинаковыми нитями, каждая образует угол 30° с вертикалью. Требуется найти натяжение каждой нити при g = 10 Н/кг. Силы натяжения симметричны: их горизонтальные составляющие направлены в разные стороны и компенсируются. Вертикальные составляющие поддерживают груз против силы тяжести.

1. Сила тяжести груза равна mg = 5 · 10 = 50 Н.
2. Обозначим натяжение каждой нити через T. Её вертикальная составляющая равна T cos 30°.
3. Запишем равновесие по вертикали: 2T cos 30° = 50 Н. Горизонтальное уравнение выполняется благодаря симметрии.
4. Так как cos 30° = √3/2, получаем T = 50/(2 · √3/2) = 50/√3 ≈ 28,9 Н.

Ответ: натяжение каждой нити примерно 29 Н.

Задача 3. Груз удерживают нить и горизонтальный стержень

Груз массой 6 кг удерживается горизонтальным стержнем и нитью, образующей угол 30° с горизонталью. Для однозначного определения направления примем, что нить уходит от груза вверх и вправо, а стержень расположен слева от груза. Нужно найти силу в стержне и выяснить, растянут он или сжат. Вертикальную составляющую силы нити уравновешивает сила тяжести, а горизонтальную — стержень.

1. Сила тяжести равна mg = 6 · 10 = 60 Н. Обозначим натяжение нити через T, а силу стержня направим в расчёте влево.
2. По вертикали: T sin 30° − 60 = 0, поэтому T = 60/0,5 = 120 Н.
3. По горизонтали: T cos 30° − Fстерж = 0. Значит, Fстерж = 120 · √3/2 = 60√3 ≈ 104 Н.
4. Получилось положительное значение для выбранного направления влево. Стержень толкает груз, следовательно, он сжат.

Ответ: сила в стержне равна примерно 104 Н, стержень сжат.

Типичные ошибки

Направлять натяжение нити к грузу. Так можно ошибиться, если представлять нить как опору, которая толкает предмет. Но гибкая нить провисает при толчке, поэтому её сила направлена вдоль нити от груза. Проверьте стрелку на схеме: она должна показывать, куда натянутая нить тянет груз.

Считать, что стержень способен только растягиваться. Часто стержень мысленно сравнивают с нитью, но твёрдый стержень может передавать и сжатие. При сжатии он толкает груз, помогая уравновесить остальные силы. Проверка проста: установите, нужно ли в данной схеме тянуть груз или толкать его вдоль оси стержня.

Приравнивать натяжение весу груза в любой ситуации. Это верно для покоящегося груза на одной вертикальной нити, когда учитываются только две силы. При наклонных нитях вертикальную составляющую натяжения находят отдельно, а при нескольких опорах нужно учесть их вклад. Чтобы проверить себя, перечислите все силы и запишите уравнения по осям.

Не учитывать направление сил при разложении на проекции. Если неверно поставить знаки, составляющие могут сложиться вместо того, чтобы компенсироваться, или наоборот. Знаки зависят от выбранных осей: сила, направленная против положительного направления оси, имеет отрицательную проекцию. Нарисуйте оси и стрелки сил, а затем определяйте знак каждой составляющей по рисунку.

Связь с другими темами

Для решения таких задач нужны понятие силы, сила тяжести и условие равновесия тела. Сила тяжести находится по формуле Fтяж = mg, а равновесие означает, что сумма всех сил равна нулю. Эти знания позволяют перейти от описания ситуации к уравнениям и расчёту неизвестных сил.

Разложение сил на проекции используется и в задачах о равновесии на наклонной плоскости, и в системах с несколькими опорами. Там тоже выбирают оси и рассматривают равновесие по каждому направлению отдельно. Освоив этот приём на грузе, удерживаемом нитью и стержнем, легче разбирать более сложные схемы.

Что запомнить

• При равновесии равнодействующая сил, действующих на груз, равна нулю.
• Сила натяжения направлена вдоль нити и от груза.
• Нить может тянуть, но не может толкать.
• Стержень может быть растянут или сжат.
• Для наклонных сил удобно записывать равновесие по проекциям на оси.
• Отрицательное значение силы стержня указывает, что её направление противоположно принятому.