"Физика. Базовый и углубленный уровни (в 2 частях) ", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.
«Мёртвая петля» — вертикальная круговая траектория, по которой вагонетка или другое тело движется, не отрываясь от направляющей. Чтобы понять, почему тело удерживается на петле и как найти нужную скорость, рассматривают силы в направлении к центру окружности и применяют второй закон Ньютона. Затем закон сохранения механической энергии связывает скорости в разных точках. Этот разбор помогает вычислить минимальные скорости и объяснить, почему на петле меняется ощущаемый вес.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Мёртвая петля — вертикальная круговая траектория, по которой тело движется, не теряя контакта с направляющей. Направляющей может быть, например, рельс, по которому едет вагонетка. Это понятие нужно, чтобы рассматривать движение тела по замкнутой дуге и проверять, при каких условиях оно не оторвётся.
Центростремительное ускорение — ускорение, направленное к центру окружности; при движении по кругу его модуль равен v²/R, где v — скорость, а R — радиус траектории. Даже если модуль скорости постоянен, её направление меняется, поэтому есть ускорение. Эта формула помогает определить, какой должна быть равнодействующая сил в каждой точке петли.
Сила реакции опоры — сила, с которой направляющая действует на тело перпендикулярно своей поверхности. Её обозначают N; направление зависит от того, где находится тело, а величина связана с тем, насколько сильно оно прижато к направляющей. Реакцию учитывают, чтобы проверить сохранение контакта: направляющая может толкать тело, но не может тянуть его к себе.
Перегрузка — отношение силы, с которой тело действует на опору, к силе тяжести. Она показывает, насколько изменяется ощущаемый вес: при сильном прижатии к опоре он кажется больше, а при уменьшении давления — меньше. В задаче о петле перегрузка меняется вместе с реакцией опоры и скоростью тела.
При движении по окружности направление скорости непрерывно меняется, поэтому тело получает ускорение к центру. По второму закону Ньютона равнодействующая сил должна иметь такое же направление, а её радиальная составляющая равна mv²/R. Значит, недостаточно просто перечислить силы: нужно спроецировать их на радиус окружности и выбрать положительное направление к центру. Это позволяет составить уравнение для каждой точки траектории.
В верхней точке центр петли находится под телом, поэтому направление к центру — вниз. Сила тяжести направлена туда же, и при сохранении контакта туда же направлена реакция направляющей. Для тела массой m уравнение имеет вид mg + N = mv²/R. Контакт возможен только при N ≥ 0: если расчёт дал бы отрицательную реакцию, направляющая должна была бы тянуть тело, чего сделать не может.
Предельный случай возникает тогда, когда тело движется по петле на самой малой скорости, при которой ещё не теряет контакт в верхней точке. Направляющая в этот миг не давит на тело, поэтому N = 0, а центростремительное ускорение создаёт только тяжесть. Подставив это условие в радиальное уравнение, получаем mg = mv²/R; масса сокращается, и минимальная скорость наверху равна v = √(gR). При большей скорости реакция положительна, и контакт сохраняется.
Чтобы найти скорость в другой точке, можно связать её с верхней точкой законом сохранения механической энергии, если потерями на трение пренебречь. При подъёме из нижней точки в верхнюю тело набирает высоту 2R, а его потенциальная энергия увеличивается на 2mgR. На столько же уменьшается кинетическая энергия, поэтому скорость наверху меньше скорости внизу. Здесь важно использовать именно диаметр петли: нижняя и верхняя точки разделены высотой 2R.
По мере движения изменяются и направление тяжести относительно радиуса, и скорость тела, поэтому меняется сила реакции направляющей. Сила, с которой тело давит на опору, связана по модулю с реакцией опоры, а её отношение к mg характеризует перегрузку. В верхней точке предельной траектории N = 0, и тело не давит на направляющую. Такое состояние называют невесомостью; оно не означает, что сила тяжести исчезла.
В таблице направление к центру принято за положительное, а значения минимальных скоростей относятся к предельному движению, когда в верхней точке N = 0. Для боковой и нижней точек скорости получены из сохранения механической энергии относительно верхней точки. Чтобы составить уравнение для иной ситуации, сначала установите направление к центру, затем учтите проекции всех сил на это направление.
| Положение | Направление к центру | Уравнение для радиальных сил | Минимальная скорость при сохранении контакта |
|---|---|---|---|
| Нижняя точка | Вверх | N − mg = mv²/R | √(5gR) для минимального прохождения всей петли |
| Верхняя точка | Вниз | N + mg = mv²/R | √(gR) |
| Боковая точка | Горизонтально к центру | N = mv²/R | √(3gR) для минимального прохождения всей петли |
Тело движется по петле радиусом R. Найдём минимальную скорость наверху, при которой оно не оторвётся от направляющей. Искомый случай предельный: направляющая перестаёт давить на тело, но контакт ещё не потерян.
В верхней точке направим ось к центру петли, то есть вниз. На тело действуют сила тяжести mg и реакция N; обе направлены к центру. Записываем второй закон Ньютона для радиального направления: mg + N = mv²/R.
Для минимальной скорости полагаем N = 0: это граница, ниже которой направляющая не сможет обеспечить движение по окружности. Тогда mg = mv²/R. Сокращаем массу и умножаем на R, получая v² = gR.
Извлекаем квадратный корень, поскольку скорость — положительная величина. Получаем v_min = √(gR). Если скорость выше, то N становится положительной; если ниже, контакт в верхней точке не сохранится.
Ответ: v_min = √(gR).
Тело проходит верхнюю точку петли радиусом R с минимальной скоростью для сохранения контакта. Найдём скорость в нижней точке. Сопротивлением воздуха и трением пренебрегаем, поэтому механическая энергия сохраняется.
Верхняя точка расположена на высоте 2R над нижней. При движении вниз потенциальная энергия уменьшается на mg · 2R = 2mgR, а кинетическая энергия возрастает на такую же величину. Записываем связь: ½mv_низ² = ½mv_верх² + 2mgR.
Умножаем равенство на 2/m, чтобы выразить квадрат скорости: v_низ² = v_верх² + 4gR. По условию скорость наверху минимальна, поэтому из предыдущего условия контакта v_верх = √(gR), а значит v_верх² = gR.
Подставляем это значение: v_низ² = gR + 4gR = 5gR. Берём положительный корень. Полученная скорость соответствует предельному прохождению петли без отрыва в верхней точке.
Ответ: v_низ = √(5gR).
Вагонетка должна пройти петлю радиусом R без отрыва от направляющей. Требуется определить минимальную скорость в нижней точке. Считаем, что потерь энергии нет, поэтому сначала найдём минимально допустимую скорость наверху, а затем перенесём результат в нижнюю точку.
В верхней точке условие контакта требует N ≥ 0. Для минимального случая N = 0, поэтому mg = mv_верх²/R и v_верх² = gR. Это скорость, при которой вагонетка едва остаётся на траектории в наиболее критической точке.
От нижней точки до верхней вагонетка поднимается на высоту 2R. По закону сохранения энергии кинетическая энергия внизу равна кинетической энергии наверху плюс прирост потенциальной энергии: ½mv_низ² = ½mv_верх² + 2mgR.
После сокращения массы и умножения на 2 получаем v_низ² = v_верх² + 4gR. Подставляем v_верх² = gR и извлекаем корень: v_низ = √(5gR). При большей начальной скорости контакт будет сохраняться с запасом.
Ответ: минимальная скорость внизу равна √(5gR).
Первая ошибка — направлять центростремительное ускорение по ходу движения. Её допускают, потому что смешивают направление скорости с направлением ускорения; при движении по окружности скорость направлена по касательной, а ускорение — к центру. Проверьте себя: нарисуйте радиус к телу и направьте ускорение вдоль него к центру петли.
Вторая ошибка — считать реакцию опоры равной силе тяжести во всех точках. В действительности силы вместе создают требуемую равнодействующую, а их проекции зависят от положения тела; например, внизу N − mg = mv²/R. Чтобы проверить запись, сложите проекции сил и убедитесь, что результат направлен к центру и равен mv²/R.
Третья ошибка — приравнивать N к нулю в верхней точке при любом движении. Нулевую реакцию используют только для предельной минимальной скорости: если тело движется быстрее, направляющая давит на него, и N > 0. Перед подстановкой N = 0 спросите себя, действительно ли в задаче требуется найти минимальную скорость или рассмотреть момент потери контакта.
Четвёртая ошибка — считать высоту подъёма от нижней точки к верхней равной R. Это расстояние по вертикали составляет диаметр петли, то есть 2R, поэтому изменение потенциальной энергии равно 2mgR. Самопроверка проста: нижняя точка находится на R ниже центра, верхняя — на R выше, значит перепад между ними равен R + R.
Для разбора петли нужны второй закон Ньютона, выбор направления оси и проекции сил на это направление. Центростремительное ускорение показывает, какая равнодействующая требуется для движения по окружности, а сила реакции помогает проверить, остаётся ли тело на направляющей. Эти идеи применяются и при анализе поворотов, вращения и движения по криволинейным траекториям.
Закон сохранения механической энергии позволяет находить скорость в одной точке, если известна скорость в другой и перепад высот. Перегрузка связывает реакцию опоры с ощущаемым весом, поэтому тема перекликается с движением лифта и аттракционов. В обоих случаях меняется давление тела на опору, хотя сила тяжести может оставаться прежней.
Почему вагонетка не падает в верхней точке петли?
Вагонетка движется по окружности, поэтому в верхней точке ей нужно центростремительное ускорение, направленное вниз, к центру петли. Это ускорение создают сила тяжести и, если вагонетка прижата к направляющей, её реакция. При достаточной скорости вагонетка продолжает двигаться по дуге, а не падает.
Куда направлена сила реакции опоры в верхней точке?
Для тела внутри петли направляющая действует на вагонетку перпендикулярно поверхности, в сторону центра окружности. В верхней точке это направление — вниз. Сила реакции не может тянуть вагонетку к направляющей, поэтому её величина не бывает отрицательной.
Почему в верхней точке минимальная скорость определяется условием N = 0?
На предельной минимальной скорости вагонетка едва сохраняет контакт с направляющей. Реакция опоры в этот момент исчезает, а центростремительное ускорение обеспечивает одна сила тяжести. Поэтому из уравнения mg = mv²/R получается v = √(gR).
Как найти скорость вагонетки внизу, если известна скорость наверху?
Если сопротивлением пренебречь, используют закон сохранения механической энергии. При движении вниз на высоту 2R потенциальная энергия уменьшается на 2mgR, а кинетическая увеличивается на ту же величину. Поэтому v_низ² = v_верх² + 4gR.
Почему при движении по петле меняется ощущаемый вес?
Ощущаемый вес связан с силой, с которой тело давит на опору, а она зависит от положения и скорости тела. Для движения по окружности результирующая сил должна обеспечивать центростремительное ускорение, поэтому реакция опоры меняется. В верхней точке при предельной скорости реакция равна нулю, и возникает невесомость.
2. Движение по «мёртвой петле»
