"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 3 частях)", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.; под ред. Орлова В.А. (ч. 1); Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И., под ред. Орлова В.А. (ч. 2); Генденштейн Л.Э., Кошкина А.В., Левиев Г.И. (ч. 3)
«Мёртвая петля» — вертикальная круговая траектория, на которой направление скорости тела постоянно меняется. Чтобы тело не оторвалось от направляющей, его движение должно быть достаточно быстрым: в каждой точке равнодействующая сил должна обеспечивать нужное центростремительное ускорение. Скорость и силу реакции опоры находят с помощью второго закона Ньютона и закона сохранения механической энергии. Эти правила помогают определить, пройдёт ли тело петлю и при каких условиях оно потеряет контакт с направляющей.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
«Мёртвая петля» — вертикальная круговая траектория, по которой движется тело. Её радиус обозначим R, а скорость тела в выбранной точке — v. Чтобы тело оставалось на траектории, нужно выяснить, какие силы действуют на него и могут ли они обеспечить движение по окружности.
Центростремительное ускорение — ускорение, направленное к центру окружности; при движении по петле его модуль равен aц = v²/R. Оно меняет направление скорости тела, даже если модуль скорости в данный момент не меняется. Эта формула показывает, почему при большем радиусе или меньшей скорости необходимое ускорение меньше.
Сила реакции опоры — сила, с которой направляющая действует на тело перпендикулярно своей поверхности. Для движения по внутренней стороне петли она направлена от поверхности к телу. Если тело перестаёт прижиматься к направляющей, реакция становится равной нулю; направляющая не может тянуть тело к себе.
Механическая энергия — сумма кинетической и потенциальной энергий: E = mv²/2 + mgh, где h — высота относительно выбранного уровня. При отсутствии потерь эта сумма сохраняется в разных точках петли. Закон энергии нужен, чтобы связать скорости на разных высотах, не прослеживая движение по всей траектории.
Сначала выберем систему отсчёта, связанную с Землёй, и будем рассматривать тело в отдельных точках петли. Скорость в каждой точке направлена по касательной к окружности, поэтому при движении по дуге её направление меняется. Ускорение, отвечающее за это изменение, всегда направлено к центру и имеет модуль v²/R; значит, направление сил важно сравнивать именно с направлением к центру.
По второму закону Ньютона равнодействующая сил равна произведению массы на ускорение. Если записать закон только вдоль радиуса, направив ось к центру, получим уравнение для центростремительного ускорения: сумма проекций сил на эту ось равна mv²/R. Такой выбор оси упрощает решение: силы, направленные к центру, берутся со знаком «плюс», а направленные от центра — со знаком «минус».
В верхней точке петли центр находится под телом. Поэтому и сила тяжести mg, и сила реакции направляющей N направлены к центру, если тело движется по внутренней стороне петли. Уравнение имеет вид mg + N = mv²/R. При контакте N не может быть отрицательной: минимальная скорость наверху соответствует предельному случаю N = 0, откуда mg = mv²/R и v = √(gR).
Скорость тела меняется при подъёме и спуске, потому что меняется его высота и, следовательно, потенциальная энергия. Если сопротивлением и трением можно пренебречь, сохраняется сумма mv²/2 + mgh. Между нижней и верхней точками высота увеличивается на 2R, поэтому часть кинетической энергии превращается в потенциальную, а скорость наверху становится меньше.
Чтобы проверить, пройдёт ли тело петлю, сначала определяют его скорость в верхней точке по энергии и сравнивают с √(gR). Если скорость меньше, необходимой для контакта не хватает; если равна или больше, условие контакта в верхней точке выполнено. Силу реакции в заданной точке находят после определения скорости: подставляют её в уравнение Ньютона вдоль радиуса и учитывают проекцию силы тяжести. В боковой точке эта проекция может быть нулевой или ненулевой — это зависит от высоты точки относительно центра.
| Характеристика | Нижняя точка | Верхняя точка |
|---|---|---|
| Направление центростремительного ускорения | Вверх, к центру | Вниз, к центру |
| Направление силы тяжести относительно центра | От центра | К центру |
| Уравнение второго закона Ньютона к центру | N − mg = mv²/R | N + mg = mv²/R |
| Условие контакта с направляющей | N ≥ 0 | N ≥ 0; предельный случай N = 0 |
| Связь скорости с высотой по закону сохранения энергии | mvниж²/2 + mghниж = E | mvверх²/2 + mghверх = E |
В таблице ось для уравнения Ньютона направлена к центру, поэтому знак силы зависит от того, в какую сторону она действует. Для сравнения скоростей в разных точках выберите один и тот же уровень отсчёта высоты. В боковой точке составьте отдельное радиальное уравнение, не перенося в него автоматически знаки из верхней или нижней точки.
Задача 1. Тело движется по внутренней стороне вертикальной петли радиуса R. Найдём минимальную скорость в верхней точке, при которой тело не теряет контакт с направляющей. Вверху центр петли расположен ниже тела, и сила тяжести направлена к центру. На границе отрыва реакция направляющей равна нулю.
Ответ: минимальная скорость в верхней точке равна √(gR).
Задача 2. Тело без потерь скользит по петле радиуса R. Найдём наименьшую скорость в нижней точке, при которой оно проходит верхнюю точку без отрыва. Сначала определим необходимую скорость наверху из условия контакта, а затем учтём, что при подъёме на высоту 2R скорость уменьшается. Такой порядок отделяет условие движения по окружности от изменения скорости из-за высоты.
Ответ: минимальная скорость в нижней точке — √(5gR), если потерями энергии можно пренебречь.
Задача 3. Тело проходит петлю радиуса R с заданной скоростью v0 в нижней точке. Найдём его скорость и силу реакции в боковой точке на высоте h над нижней. Сначала скорость нужно связать с высотой: без этого в радиальное уравнение Ньютона останется неизвестное значение v. Для боковой точки примем, что высота отсчитывается от нижней точки, а сила тяжести перпендикулярна радиусу.
Ответ: v = √(v0² − 2gh), N = m(v0² − 2gh)/R при указанных условиях и отсутствии потерь.
Считать центростремительное ускорение отдельной силой — неверно: ускорение описывает изменение движения, а создают его реальные силы. Такую путаницу допускают из-за слова «центростремительное» в названии. Проверка проста: в уравнении Ньютона должны стоять силы, а ускорение — в правой части, например ΣFрадиал = mv²/R.
Направлять силу тяжести к центру во всех точках петли тоже нельзя: тяжесть всегда направлена вертикально вниз, а её направление относительно центра зависит от положения тела. Ошибка возникает, если помнить только схему верхней точки. Нарисуйте стрелки силы тяжести и радиуса в выбранной точке и сравните их направления.
Приравнивать реакцию к нулю во всех точках — значит без основания считать, что тело всюду теряет контакт. Нулевую реакцию используют для предельного случая отрыва, чаще всего при поиске минимальной скорости наверху. В остальных расчётах находите N из второго закона Ньютона, а затем проверяйте, что при контакте N ≥ 0.
Нельзя считать скорость неизменной при подъёме или применять закон сохранения энергии, забывая об условиях. Подъём увеличивает потенциальную энергию, поэтому без подвода энергии кинетическая обычно уменьшается; трение и сопротивление могут вызвать потери. Для самопроверки сравните высоты и скорости, а закон сохранения применяйте только при отсутствии потерь механической энергии.
Для анализа петли нужны второй закон Ньютона, разложение сил по выбранным направлениям и формула центростремительного ускорения. Они позволяют составить уравнение движения в каждой точке и проверить, сохраняется ли контакт с направляющей. Без закона сохранения механической энергии пришлось бы отдельно выяснять скорость на каждой высоте.
Потенциальная энергия зависит от высоты, поэтому важно уметь переводить перепад высот в изменение энергии. Тот же способ рассуждения применяют при движении по криволинейным траекториям, поиске момента отрыва от опоры и разборе движения на аттракционах. Во всех этих случаях сравнивают требуемое ускорение с тем, которое может обеспечить равнодействующая сил.
Почему тело не падает в верхней точке петли?
Если тело движется по внутренней стороне петли достаточно быстро, его скорость направлена по касательной, а ускорение — к центру окружности. Силы тяжести и реакции направляющей вместе обеспечивают это ускорение, поэтому тело продолжает двигаться по дуге.
Что именно создаёт центростремительное ускорение?
Его создаёт равнодействующая реальных сил, направленных к центру или имеющих составляющую в этом направлении. В петле это сила тяжести и сила реакции направляющей; центростремительное ускорение само по себе не является силой.
Почему в верхней точке сила реакции может быть равна нулю?
Сила реакции направлена от поверхности к телу и не может тянуть тело к направляющей. В предельном случае тело ещё движется по окружности, но направляющая уже не давит на него: реакция равна нулю, а центростремительное ускорение обеспечивает сила тяжести.
Как найти минимальную скорость, чтобы пройти петлю?
Сначала в верхней точке используют предельное условие контакта N = 0 и получают vверх,min = √(gR). Затем по сохранению механической энергии связывают скорость наверху со скоростью внизу: vниз,min = √(5gR), если потерь нет.
Можно ли применять закон сохранения энергии, если направляющая действует на тело?
Да, если нет потерь, например из-за трения. Сила реакции направлена перпендикулярно поверхности, а скорость тела — по касательной, поэтому реакция не совершает работы и не меняет механическую энергию.
2. Движение по «мёртвой петле»
