"Физика (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.; под ред. Орлова В.А.
«Мёртвая петля» — вертикальная круговая траектория, по которой тело должно пройти полный оборот и не оторваться от опоры. При движении по петле скорость меняется: внизу она обычно больше, чем вверху, поскольку сила тяжести изменяет энергию тела. Главные инструменты решения задач — второй закон Ньютона, формула центростремительного ускорения и закон сохранения механической энергии. Особое внимание уделяют верхней точке, где контакт сохраняется при условии v²/R ≥ g.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Движение по окружности — движение тела по траектории в форме окружности; его ускорение направлено к центру. Это ускорение называют центростремительным и обозначают aц.
Мёртвая петля — вертикальная круговая траектория, которую тело проходит целиком, не теряя контакта с опорой. Радиус петли обозначают R, скорость тела — v.
Центростремительное ускорение — ускорение при движении по окружности, направленное к центру: aц = v²/R. Оно показывает, насколько быстро меняется направление скорости.
Невесомость — состояние, при котором опора не действует на тело, хотя сила тяжести продолжает действовать. В задачах это означает, что сила реакции опоры N равна нулю.
При движении по петле сила тяжести всё время направлена вертикально вниз, а направление к центру окружности меняется. Поэтому в разных точках часть силы тяжести меняет скорость по величине, а часть поддерживает изменение её направления. При подъёме сила тяжести уменьшает скорость, при спуске — увеличивает её. В боковой точке сила тяжести направлена по касательной и сильнее всего влияет именно на величину скорости.
Для каждой точки выбирают направление к центру петли и применяют второй закон Ньютона: сумма сил в этом направлении равна maц, где aц = v²/R. Внизу к центру направлена сила реакции опоры, а сила тяжести направлена от центра: N − mg = mv²/R. Сбоку радиальная составляющая силы тяжести равна нулю, поэтому N = mv²/R. Вверху и реакция опоры, и сила тяжести направлены к центру: N + mg = mv²/R.
Верхняя точка наиболее трудна для прохождения, потому что тело может потерять контакт с опорой именно там. Реакция опоры не может быть отрицательной: опора способна толкать тело, но не притягивать его. Поэтому из уравнения N = m(v²/R − g) получаем v²/R ≥ g. При равенстве N = 0, а при большем значении ускорения опора продолжает давить на тело.
Скорости в разных точках связывает закон сохранения механической энергии. При подъёме на высоту тело приобретает потенциальную энергию mgh, поэтому кинетическая энергия уменьшается. Для минимального прохождения петли вверху берут v² = gR, а разность высот между низом и верхом равна 2R. Подстановка в закон энергии позволяет найти начальную скорость или высоту, с которой тело нужно отпустить.
В верхней точке при минимальной скорости реакция опоры равна нулю, поэтому тело испытывает невесомость. Это не означает исчезновения силы тяжести: она по-прежнему направлена вниз и обеспечивает нужное центростремительное ускорение. Внизу сила реакции больше силы тяжести, поскольку опора должна не только уравновесить mg, но и сообщить телу ускорение к центру. Поэтому давление на опору там максимально.
| Характеристика | Нижняя точка | Боковая точка | Верхняя точка |
|---|---|---|---|
| Направление центростремительного ускорения | Вверх, к центру | Горизонтально, к центру | Вниз, к центру |
| Направление силы тяжести относительно центра | От центра | По касательной | К центру |
| Уравнение второго закона Ньютона | N − mg = mv²/R | N = mv²/R | N + mg = mv²/R |
| Скорость по сравнению с другими точками | Обычно максимальная | Промежуточная | Обычно минимальная |
| Сила реакции опоры | N = m(v²/R + g) | N = mv²/R | N = m(v²/R − g) |
| Условие сохранения контакта с опорой | N ≥ 0 | N ≥ 0 | v²/R ≥ g |
Таблицу удобно использовать после изображения сил в выбранной точке. Сначала определите направление к центру, затем оставьте в уравнении только радиальные составляющие сил. Для проверки результата оцените знак N: отрицательная реакция означает, что контакт невозможен.
Условие: тело движется в верхней точке петли радиусом 2 м со скоростью 5 м/с. Нужно найти центростремительное ускорение и проверить контакт с опорой.
Ответ: центростремительное ускорение равно 12,5 м/с². Условие контакта выполнено, так как v²/R ≥ g. Реакция опоры положительна: N = m(12,5 − 9,8) = 2,7m.
Условие: масса тела 0,5 кг, радиус петли 1 м, скорости в нижней и верхней точках равны соответственно vн и vв. Найдём реакции опоры в этих точках.
Ответ: Nн = 0,5(vн² + 9,8) Н, а Nв = 0,5(vв² − 9,8) Н. Величины скоростей нужно подставлять в м/с. Если Nв < 0, тело не может сохранять контакт с опорой в верхней точке.
Условие: тело отпускают без начальной скорости с высоты h над нижней точкой гладкой петли радиусом R. Нужно найти минимальную высоту.
Ответ: минимальная высота равна h = 2,5R над нижней точкой. Если отпустить тело ниже, скорости вверху не хватит для сохранения контакта. Сопротивлением и потерями энергии здесь пренебрегают.
Ошибка 1. Считать, что в верхней точке сила тяжести направлена от центра. Так бывает из-за привычного представления о направлении «вниз», но центр петли тоже находится ниже тела. Проверьте себя, проведя мысленно радиус от тела к центру.
Ошибка 2. Принимать v²/R = g за обязательное условие. Это только предельный случай, при котором N = 0; при большей скорости контакт сохраняется с положительной реакцией. После решения найдите N и проверьте, не получилось ли N > 0.
Ошибка 3. Применять закон энергии без учёта разности высот. Скорость меняется потому, что меняется потенциальная энергия, поэтому одинаковыми скорости внизу и вверху быть не могут. Сначала укажите нулевой уровень и вычислите высоту каждой точки.
Ошибка 4. Путать реакцию опоры с весом и считать, что невесомость отменяет силу тяжести. Невесомость означает N = 0, тогда как mg продолжает действовать. Проверьте, какая именно сила входит в выбранное уравнение Ньютона.
До изучения петли нужны второй закон Ньютона, движение по окружности, центростремительное ускорение и закон сохранения механической энергии. Эти знания помогают анализировать движение на криволинейных участках дорог, в аттракционах и на орбитах. Позже те же идеи применяются к движению в поле тяжести и задачам на неравномерное движение по окружности.
Почему тело не падает с верхней части петли?
В верхней точке сила тяжести направлена к центру петли и помогает создавать центростремительное ускорение. Если скорость достаточно велика и выполняется условие v²/R ≥ g, тело сохраняет контакт с опорой.
Обязательно ли в верхней точке возникает невесомость?
Нет. Невесомость возникает только в предельном случае, когда v²/R = g и реакция опоры равна нулю. При большей скорости опора действует на тело, поэтому невесомости нет.
Почему скорость в нижней точке больше, чем в верхней?
При подъёме тело увеличивает потенциальную энергию, поэтому его кинетическая энергия и скорость уменьшаются. При спуске происходит обратное превращение энергии.
Как определить минимальную высоту, с которой нужно отпустить тело?
Сначала в верхней точке задают предельную скорость v² = gR. Затем используют закон сохранения механической энергии между начальной точкой и верхом петли; для гладкой петли при отпускании без начальной скорости получается h = 5R/2.
Чем сила реакции опоры отличается от веса тела?
Сила реакции опоры — это действие опоры на тело, а вес — сила, с которой тело действует на опору или подвес. В верхней точке реакция может стать нулевой, но сила тяжести при этом не исчезает.
2. Движение по «мёртвой петле»
