§ 20. Применение законов сохранения в механике к движению системы тел

Определения и обозначения

Система тел — совокупность тел, которые рассматривают совместно, чтобы проследить обмен импульсом и энергией. Такой выбор удобен, когда тела взаимодействуют друг с другом: можно изучать не отдельное изменение, а общий результат их взаимодействия.

Замкнутая система — система, на которую внешние силы не действуют или действием которых можно пренебречь. Именно для такой системы применяют закон сохранения импульса; если внешняя сила существенна, общий импульс может измениться.

Импульс системы тел — векторная сумма импульсов всех входящих в неё тел. Если импульсы тел равны p₁, p₂ и далее, то pсист = p₁ + p₂ + …; каждый отдельный импульс может меняться, хотя их сумма остаётся постоянной.

Реактивное движение — движение тела, возникающее при отделении от него части массы с некоторой скоростью. Например, истекающий газ получает импульс в одну сторону, а ракета — в противоположную; это понятие помогает объяснить движение без отталкивания от опоры.

Как это устроено

Объединять взаимодействующие тела в систему удобно потому, что силы между ними являются внутренними. По третьему закону Ньютона они равны по модулю и противоположны по направлению, поэтому их общий вклад в изменение импульса системы взаимно компенсируется. Так легче увидеть сохранение полного импульса, даже если импульс каждого тела заметно изменился.

Для системы из двух тел запишем второй закон Ньютона для каждого: изменение импульса связано с импульсом действующих сил. При сложении уравнений силы взаимодействия исчезают как равные и противоположные, а остаются только внешние силы. Если их равнодействующая равна нулю или мала за время процесса, получаем p₁ + p₂ + … = const. Поэтому перед применением закона нужно проверить, насколько важны, например, трение, тяжесть и сопротивление среды.

При столкновении тела обмениваются импульсом, и скорости после удара могут стать другими, но сумма импульсов сохраняется для замкнутой системы. Отдача ружья объясняется тем же правилом: до выстрела импульс системы «ружьё — пуля» равен нулю, значит, после выстрела импульсы пули и ружья компенсируют друг друга. Ракета движется вперёд потому, что выбрасывает газы назад; импульс ракеты уравновешивает импульс газов.

При неупругом столкновении тела деформируются, нагреваются или издают звук, поэтому часть кинетической энергии переходит во внутреннюю энергию. Импульс при этом всё равно сохраняется, если внешнее воздействие мало, но механическая энергия системы уменьшается. Если тела после удара сцепились, их общая скорость находится из равенства суммарных импульсов до и после столкновения.

Одного закона сохранения может не хватить, если нужно найти несколько неизвестных. Тогда используют ещё один независимый закон: например, для упругого столкновения вместе с импульсом сохраняется кинетическая энергия. Для неупругого удара механическую энергию сохраняющейся считать нельзя, поэтому нужно выбрать другое известное условие — например, что после удара тела движутся вместе.

Применение законов сохранения к системе тел

Сначала выберите строку, которая соответствует описанной ситуации, и проверьте условие её применения. Затем запишите сохранение импульса как векторное равенство или выберите направление оси и расставьте знаки скоростей.

Разбор задач

Столкновение тележек

Условие. Две тележки массами 2 кг и 3 кг движутся навстречу со скоростями 4 м/с и 2 м/с, после столкновения сцепляются. Найти общую скорость. Положительное направление выберем по движению первой тележки.

1. После столкновения тележки движутся вместе, значит, у них одна скорость v; столкновение неупругое.
2. Начальный импульс равен 2 · 4 + 3 · (−2) = 2 кг·м/с. После удара он равен (2 + 3)v.
3. Из закона сохранения импульса: 5v = 2, поэтому v = 0,4 м/с. Положительный знак означает движение в выбранном направлении.

Ответ: 0,4 м/с в направлении первоначального движения первой тележки.

Отдача ружья

Условие. Пуля массой 10 г вылетает из ружья массой 4 кг со скоростью 400 м/с. До выстрела система покоилась; найти скорость отдачи ружья. Сопротивлением воздуха и внешним воздействием за короткое время выстрела пренебрежём.

1. Выберем положительное направление по движению пули и переведём её массу: 10 г = 0,01 кг.
2. Начальный импульс системы равен нулю. После выстрела 0,01 · 400 + 4v = 0.
3. Отсюда v = −1 м/с. Минус показывает, что ружьё движется против направления полёта пули.

Ответ: скорость отдачи ружья равна 1 м/с, направление противоположно движению пули.

Проверка упругости столкновения

Условие. Брусок массой 2 кг движется со скоростью 6 м/с и сталкивается с покоящимся бруском массой 1 кг. После удара первый брусок движется со скоростью 2 м/с в прежнем направлении. Найти скорость второго бруска и определить, было ли столкновение упругим.

1. Оба бруска включаем в систему. Внешним воздействием вдоль поверхности пренебрегаем, а положительным выбираем прежнее направление движения первого бруска.
2. По сохранению импульса: 2 · 6 = 2 · 2 + 1 · v₂. Получаем v₂ = 8 м/с.
3. Сравним кинетические энергии: до удара Eк = ½ · 2 · 6² = 36 Дж; после Eк = ½ · 2 · 2² + ½ · 1 · 8² = 36 Дж. Механическая энергия не уменьшилась, значит, в рамках условий задачи столкновение упругое.

Ответ: второй брусок движется со скоростью 8 м/с в прежнем направлении; столкновение упругое.

Типичные ошибки

• Сохраняют импульс одного тела, хотя при взаимодействии он изменяется. Так делают, забывая, что сила другого тела меняет его скорость; проверьте себя: в уравнении должны быть импульсы всех тел выбранной системы.

• Складывают импульсы как обычные положительные числа и теряют направления движения. Это происходит, когда не выбрана ось; задайте её заранее и записывайте скорости навстречу друг другу с противоположными знаками.

• Считают, что при любом столкновении сохраняется механическая энергия. Но при неупругом ударе она частично переходит во внутреннюю; сравните кинетическую энергию до и после и не приравнивайте их без условия упругости.

• Применяют сохранение импульса, не проверив внешние силы. Трение или сопротивление могут изменить импульс системы; оцените их действие за время процесса и используйте закон только тогда, когда им допустимо пренебречь.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны понятия импульса тела и второй закон Ньютона: они объясняют, как силы меняют импульс. Также важно знать условия закона сохранения импульса и различать упругое и неупругое взаимодействия, связанные с сохранением механической энергии. Эти идеи пригодятся при дальнейшем изучении реактивного движения, баллистики, столкновений и более сложных механических систем.

Что запомнить

• Систему тел выбирают так, чтобы удобно учитывать их взаимодействие.
• В замкнутой системе полный импульс сохраняется.
• Полный импульс системы равен векторной сумме импульсов всех её тел.
• При столкновении нужно учитывать направления движения тел.
• При неупругом столкновении импульс сохраняется, а механическая энергия уменьшается.
• Реактивное движение возникает благодаря сохранению импульса системы тела и отделившейся массы.
• Перед решением задачи нужно определить систему, внешние силы и подходящие законы сохранения.