3. Соскальзывание с полусферы

Определения и обозначения

Соскальзывание с полусферы — движение тела по внешней поверхности неподвижной гладкой полусферы под действием силы тяжести. Гладкой называют поверхность, на которой нет силы трения, поэтому механическая энергия тела сохраняется. Такая модель помогает понять движение по криволинейной поверхности, не отвлекаясь на трение.

Угол отрыва — угол α между вертикалью и радиусом, проведённым к телу в момент прекращения контакта с полусферой. Его отсчитывают от верхней точки: там α = 0, а при движении вниз угол растёт. Этот угол показывает положение тела, в котором нужно проверить условие отрыва.

Сила реакции опоры N — сила, с которой поверхность действует на тело перпендикулярно поверхности. Пока тело соприкасается с полусферой, эта сила направлена от неё, вдоль радиуса наружу. Она не постоянна: её величина зависит от скорости тела и его положения.

Условие отрыва — равенство нулю силы реакции опоры в момент, когда тело перестаёт давить на поверхность. Поверхность может толкать тело, но не может притягивать его обратно, поэтому N не бывает отрицательной. Равенство N = 0 позволяет найти границу, после которой движение по полусфере невозможно.

Как это устроено

Угол удобно отсчитывать от вертикали, потому что радиус к телу тогда образует с вертикалью тот же угол α. Высота тела над центром полусферы равна R cos α, где R — радиус. Поэтому при спуске от вершины тело теряет высоту R(1 − cos α), а не длину дуги Rα: именно вертикальное изменение высоты определяет изменение потенциальной энергии.

На гладкой поверхности трения нет, а сила реакции опоры перпендикулярна перемещению вдоль поверхности и работы не совершает. Поэтому уменьшение потенциальной энергии превращается в увеличение кинетической энергии. Если скорость в верхней точке равна v₀, то на угле α получаем ½mv² = ½mv₀² + mgR(1 − cos α), или v² = v₀² + 2gR(1 − cos α).

Чтобы тело двигалось по дуге радиуса R, его ускорение должно быть направлено к центру полусферы и иметь величину v²/R. Вдоль радиуса действуют две силы: составляющая тяжести mg cos α направлена к центру, а реакция опоры N — от центра. Поэтому для ускорения к центру важна не одна сила тяжести, а равнодействующая этих сил.

Запишем второй закон Ньютона вдоль радиуса, считая направление к центру положительным: mg cos α − N = mv²/R. Отсюда N = mg cos α − mv²/R. Если подставить скорость, найденную из энергии, выражение для N зависит только от угла и начальной скорости: N = mg(3 cos α − 2) − mv₀²/R.

Пока тело прижато к поверхности, реакция опоры положительна. На границе контакта она обращается в ноль: если вычисления дальше дают N < 0, это потребовало бы от поверхности тянуть тело, чего она не может сделать. Для старта из покоя получаем из N = 0 равенство cos α = 2/3, а затем из энергии — v = √(2gR/3).

Движение тела по полусфере до и в момент отрыва

В таблице сначала выберите положение тела, а затем используйте формулу скорости и соответствующее условие для реакции опоры. Для проверки момента отрыва ищите положение, в котором N становится равной нулю, а не отрицательной. После этой границы строки для движения по полусфере уже неприменимы.

Разбор задач

Задача 1. Небольшое тело начинает скользить без начальной скорости с вершины гладкой полусферы радиуса R. Найти угол, при котором тело потеряет контакт с поверхностью.

1. Запишем сохранение энергии от вершины до угла α: v² = 2gR(1 − cos α).
2. В радиальном направлении mg cos α − N = mv²/R. На границе отрыва N = 0, поэтому v² = gR cos α.
3. Приравняем выражения для v²: 2gR(1 − cos α) = gR cos α. После сокращения получаем cos α = 2/3.

Ответ: α = arccos(2/3), примерно 48°.

Задача 2. Тело соскальзывает с вершины гладкой полусферы радиуса R. Определить скорость тела и высоту над центром полусферы в момент отрыва.

1. При старте из покоя используем результат условия N = 0: cos α = 2/3. Высота над центром равна проекции радиуса на вертикаль: h = R cos α.
2. Следовательно, в момент отрыва h = 2R/3. Это высота именно над центром, а не над нижним краем полусферы.
3. Из закона сохранения энергии v² = 2gR(1 − cos α). Подставляя cos α = 2/3, получаем v² = 2gR/3.

Ответ: v = √(2gR/3), h = 2R/3.

Задача 3. Тело начинает движение с вершины полусферы с начальной скоростью v₀. Исследовать, произойдёт ли отрыв, и найти угол отрыва, если он возможен.

1. Скорость на угле α найдём из энергии: v² = v₀² + 2gR(1 − cos α). Подставим её в радиальное уравнение и положим N = 0.
2. Получаем cos α = (2 + v₀²/(gR))/3. Чтобы угол был реальным и тело сохраняло контакт в начале, необходимо 0 ≤ cos α ≤ 1, что здесь сводится к v₀² ≤ gR.
3. Если v₀² < gR, отрыв происходит при α = arccos((2 + v₀²/(gR))/3). При v₀² = gR контакт теряется уже в начальной точке; при v₀² > gR тело не может оставаться прижатым к поверхности с самого начала.

Ответ: при v₀² < gR угол отрыва задаётся формулой выше; при v₀² ≥ gR отрыва от поверхности происходит уже при старте.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что N = mg cos α. Так можно рассуждать, если ускорения в радиальном направлении нет, но при движении по окружности оно равно v²/R и направлено к центру. Проверьте себя подстановкой в закон Ньютона: разность сил вдоль радиуса должна давать mv²/R.

Ошибка: считать, что тело отрывается, когда его скорость становится равной нулю. Скорость при спуске с вершины, наоборот, возрастает, а контакт определяется величиной силы реакции опоры. Проверка проста: найдите N из радиального уравнения и ищите момент, когда N = 0.

Ошибка: подменять перепад высоты длиной дуги Rα или брать его равным Rα при вычислении энергии. Потенциальная энергия зависит от вертикального положения, поэтому перепад от вершины равен R(1 − cos α). Подставьте α = 0: правильный перепад должен быть нулевым.

Ошибка: после отрыва продолжать использовать уравнение движения по полусфере. Оно предполагает, что тело движется по окружности радиуса R и на него действует реакция опоры, а после отрыва этого контакта нет. Дальше рассматривайте движение под действием тяжести, как полёт тела по баллистической траектории.

Связь с другими темами

Для решения нужны закон сохранения механической энергии, второй закон Ньютона и формула центростремительного ускорения v²/R. Также важно уметь разлагать силу тяжести на радиальную и касательную составляющие. Эти приёмы применяются к движению по наклонным и криволинейным поверхностям, а также при разборе невесомости и орбитального движения.

Сила реакции опоры связана с ощущаемой нагрузкой и понятием перегрузки: её изменение показывает, насколько сильно поверхность давит на тело. Условие N = 0 помогает анализировать отрыв не только на полусфере, но и в других задачах о потере контакта с опорой. При этом после отрыва движение нужно описывать уже без силы реакции.

Что запомнить

• До отрыва тело движется по внешней поверхности полусферы, а сила реакции опоры направлена от поверхности.
• Скорость тела до отрыва находят из закона сохранения механической энергии.
• В радиальном направлении центростремительное ускорение равно v²/R.
• Отрыв происходит при N = 0, а не при v = 0.
• Для старта с вершины без начальной скорости cos α = 2/3.
• Скорость в момент отрыва равна √(2gR/3).
• После отрыва тело движется только под действием силы тяжести.