3. Соскальзывание с полусферы

Определения и обозначения

Полусфера — выпуклая опорная поверхность, по которой скользит тело; её радиус обозначают R, а центр — O. В этой задаче поверхность задаёт форму участка траектории до отрыва. Радиус R понадобится, чтобы выразить высоту и центростремительное ускорение.

Угол отклонения α — угол между вертикалью, проведённой через центр полусферы, и радиусом, проведённым от центра к телу. В вершине α = 0, а по мере скольжения вниз угол растёт. Такое обозначение позволяет находить положение тела и его высоту через тригонометрические проекции.

Сила реакции опоры N — сила, с которой поверхность действует на тело перпендикулярно своей поверхности. На полусфере она направлена от поверхности, а не вдоль неё. Эта сила вместе с тяжестью определяет, может ли тело продолжать двигаться по окружности.

Отрыв от поверхности — момент, когда реакция опоры становится равной нулю и тело начинает свободное движение. Пока контакт сохраняется, N не может быть отрицательной: поверхность не способна притягивать тело к себе. Поэтому нулевое значение N служит условием начала отрыва.

Как это устроено

Удобно выбрать ось, направленную вертикально вверх, а начало отсчёта высоты поместить в центр полусферы. Угол α отсчитывают от вертикального радиуса через вершину к радиусу, соединяющему центр с телом, поэтому положение тела задаётся однозначно. При таком выборе вертикальная проекция радиуса равна R cos α. Угол растёт при скольжении вниз, а высота тела относительно центра становится меньше.

На гладкой поверхности нет трения, поэтому механическая энергия сохраняется: уменьшение потенциальной энергии переходит в кинетическую. При повороте радиуса на угол α тело опускается на Δh = R − R cos α = R(1 − cos α). Если его отпустили с вершины без начальной скорости, то mgΔh = mv²/2, откуда v² = 2gR(1 − cos α). Если в начале была скорость v₀, добавляется начальная кинетическая энергия и получается v² = v₀² + 2gR(1 − cos α).

Теперь рассмотрим силы вдоль радиуса к центру. Центростремительное ускорение, то есть ускорение, изменяющее направление скорости при движении по окружности, равно v²/R и направлено к центру. Проекция силы тяжести на это направление равна mg cos α, а реакция опоры направлена в противоположную сторону. Поэтому второй закон Ньютона записывается так: mg cos α − N = mv²/R. Знаки следуют из выбранного направления оси, а не из того, какая сила кажется большей.

Контакт возможен, только если поверхность давит на тело или, в предельном случае, перестаёт давить: N ≥ 0. По мере скольжения скорость растёт, значит, для движения по окружности требуется всё большее центростремительное ускорение. В некотором положении силы уже не могут обеспечить его при положительной реакции, и тело отделяется от поверхности. Граница контакта определяется равенством N = 0, которое нужно объединить с уравнением движения.

Для старта из покоя подставим v² = 2gR(1 − cos α) в радиальное уравнение и положим N = 0. Получится mg cos α = 2mg(1 − cos α), откуда cos α = 2/3. До этого положения тело движется по поверхности по окружности; после него реакция равна нулю, и тело летит свободно под действием тяжести. Угол отрыва не означает, что тело мгновенно меняет скорость: меняется характер дальнейшего движения.

Движение тела по полусфере и условие отрыва

Сначала по углу находят изменение высоты и скорость, затем подставляют скорость в радиальное уравнение. Если требуется проверить контакт, вычисляют N: положительное значение означает, что тело ещё прижато к поверхности, а нулевое указывает на отрыв. Формула для угла cos α = 2/3 относится к старту из покоя с вершины гладкой полусферы.

Разбор задач

Скорость при заданном угле

Тело отпускают без начальной скорости с вершины гладкой полусферы радиуса R. Требуется найти скорость при угле α, пока тело не оторвалось. Поскольку поверхность гладкая, трение не совершает работу, и потеря потенциальной энергии целиком переходит в кинетическую. Нужно сначала определить, насколько тело опустилось, а затем применить закон сохранения энергии.

1. Из геометрии при отсчёте угла от вертикали: Δh = R(1 − cos α).
2. Записываем сохранение энергии: mgΔh = mv²/2.
3. Сокращаем массу и подставляем высоту: v² = 2gR(1 − cos α).
4. Берём положительный корень, так как тело движется вниз: v = √(2gR(1 − cos α)).

Ответ: v = √(2gR(1 − cos α)). Формула верна только до отрыва, поскольку после него тело уже не движется по поверхности полусферы.

Угол отрыва при старте из покоя

Тело скользит без начальной скорости с вершины гладкой полусферы. Нужно узнать, в каком положении поверхность перестанет давить на него. Отрыв нельзя найти только из энергии: она даёт скорость, но не показывает, сохраняется ли контакт. Поэтому к энергетическому уравнению добавляем второй закон Ньютона в направлении к центру.

1. Из закона сохранения энергии: v² = 2gR(1 − cos α).
2. Записываем радиальное уравнение: mg cos α − N = mv²/R.
3. В момент отрыва N = 0, поэтому mg cos α = mv²/R.
4. Подставляем выражение для скорости: cos α = 2(1 − cos α), откуда 3 cos α = 2.

Ответ: cos α = 2/3, то есть α ≈ 48°. До этого угла тело сохраняет контакт, а после начинает свободный полёт.

Горизонтальный запуск с начальной скоростью

Тело запускают горизонтально с вершины полусферы со скоростью v₀. Нужно определить, произойдёт ли отрыв до заданного угла α₁, и найти его положение, если оно наступит раньше. Начальная кинетическая энергия меняет скорость на всём участке, поэтому сначала включаем v₀ в энергетическое уравнение. Затем проверяем реакцию опоры на заданном участке и ищем первое положение, где она обращается в ноль.

1. По энергии v² = v₀² + 2gR(1 − cos α).
2. Из радиального уравнения получаем N = mg cos α − mv²/R.
3. Подстановка скорости даёт N/m = 3g cos α − 2g − v₀²/R.
4. Если в начале N = m(g − v₀²/R) ≤ 0, контакт не сохраняется уже у вершины. Иначе находим корень N = 0: cos αотр = (2 + v₀²/(gR))/3.
5. Сравниваем αотр с α₁: если αотр ≤ α₁, отрыв произошёл до заданного угла; если αотр > α₁, до него тело ещё касается полусферы.

Ответ: при начальном контакте отрыв происходит при cos αотр = (2 + v₀²/(gR))/3, если этот угол не превосходит заданный. При v₀² ≥ gR контакт у вершины уже не может сохраняться.

Типичные ошибки

Считать, что тело отрывается при N = mg, — неверно: равенство сил тяжести и реакции не является критерием потери контакта. Ошибка возникает из-за попытки описать отрыв простым сравнением сил. Проверка: реакция показывает, действует ли поверхность; отрыв начинается при N = 0.

Неверный знак в радиальном уравнении меняет результат. Его часто допускают, не задав направление проекции: центростремительное ускорение направлено к центру, а реакция полусферы — от центра. Проверяйте каждую силу относительно выбранной оси; при оси к центру должно получиться mg cos α − N = mv²/R.

Подстановка Δh = R sin α вместо R(1 − cos α) — геометрическая ошибка. Она появляется, если перепутать угол, отсчитываемый от вертикали, с углом от горизонтали. Проверка: при α = 0 тело находится на вершине и потеря высоты должна быть нулевой; R sin 0 = 0, но для промежуточных углов решающей остаётся вертикальная проекция радиуса R cos α.

Продолжать применять уравнение движения по окружности после отрыва нельзя. Уравнение использует реакцию опоры и ускорение v²/R, связанные с движением по поверхности. После N = 0 тело движется только под действием тяжести; проверка проста: в расчёте дальнейшего полёта не должно оставаться силы реакции.

Связь с другими темами

Для разбора нужны закон сохранения механической энергии, второй закон Ньютона и умение раскладывать силу на проекции. Полезно повторить центростремительное ускорение v²/R и движение тела по окружности: именно они помогают составить уравнение вдоль радиуса. Тот же подход применяют для тел на выпуклых участках дороги и при анализе движения по другим криволинейным поверхностям. В каждом случае ищут момент, когда нормальная сила контакта становится нулевой.

Что запомнить

• На гладкой поверхности механическая энергия сохраняется.
• При движении по окружности центростремительное ускорение равно v²/R и направлено к центру.
• Сила реакции опоры перпендикулярна поверхности.
• До отрыва реакция опоры неотрицательна.
• Условие отрыва от поверхности — N = 0.
• Для старта из покоя с вершины гладкой полусферы cos α отрыва = 2/3.