4. Соскальзывание с полусферы

Определения и обозначения

Полусфера и её радиус. Полусфера — половина шара, а в этой задаче тело движется по её внешней гладкой поверхности. Радиус полусферы обозначим R: он равен радиусу окружности, по которой движется тело. Это расстояние нужно для записи центростремительного ускорения и связи угла с высотой.

Угол отклонения. Угол θ — это угол между вертикальным радиусом к телу в начальном положении и радиусом к телу в выбранный момент. В верхней точке θ = 0, а по мере спуска угол увеличивается. По нему можно определить, насколько тело опустилось, поэтому он удобен для расчёта скорости и положения.

Сила реакции опоры. Это сила, с которой поверхность действует на тело перпендикулярно поверхности. На внешней стороне полусферы она направлена от центра, обозначается N и не может быть отрицательной. С её помощью учитывают действие поверхности во втором законе Ньютона.

Потеря контакта. Это момент, когда тело перестаёт соприкасаться с полусферой. Граница контакта соответствует условию N = 0: поверхность уже не толкает тело, но ещё не должна была бы его тянуть. Условие позволяет найти угол, при котором движение по поверхности заканчивается.

Как это устроено

На тело при скольжении действуют сила тяжести и реакция опоры. Поверхность гладкая, поэтому сила трения отсутствует и не превращает часть механической энергии во внутреннюю. Именно поэтому можно рассматривать изменение потенциальной энергии как источник увеличения скорости тела.

Скорость в выбранной точке находят по закону сохранения механической энергии. Если тело начинает движение из покоя, потеря потенциальной энергии mgh равна кинетической энергии mv²/2, откуда v² = 2gh. При отсчёте угла от вертикали падение по высоте равно h = R(1 − cos θ), поэтому скорость зависит от положения на полусфере.

Для движения по окружности телу требуется ускорение, направленное к центру полусферы. Второй закон Ньютона нужно спроецировать на радиус, направленный внутрь: составляющая тяжести к центру равна mg cos θ, а реакция опоры направлена противоположно. Поэтому уравнение имеет вид mg cos θ − N = mv²/R, где правая часть — масса, умноженная на центростремительное ускорение.

По мере спуска меняются обе части радиального баланса. Составляющая силы тяжести к центру становится меньше, а скорость и требуемое центростремительное ускорение растут. Чтобы обеспечить этот баланс, реакция опоры уменьшается; если расчёт даёт ей отрицательное значение, это означает не реальную «тянущую» силу, а то, что контакт уже невозможен.

Для определения отрыва одновременно используют энергетическое уравнение и уравнение проекций сил. При N = 0 из второго уравнения следует v² = gR cos θ, а энергия связывает v и θ. Для старта из покоя получается cos θ = 2/3, то есть тело отрывается при угле примерно 48° от вертикали; скорость в этот момент равна √(2gR/3).

Движение тела по внешней поверхности полусферы

В таблице θ отсчитывается от вертикали, а N — сила реакции опоры. Для старта из покоя скорость в промежуточном положении задаётся формулой v = √(2gR(1 − cos θ)). Значения в строке «После отрыва» относятся уже к движению вне поверхности: реакция опоры там равна нулю.

Сначала определите строку по положению тела, затем используйте соответствующее условие контакта. В промежуточной точке для проверки подставьте угол в формулу для N: положительный результат означает, что тело ещё касается полусферы. Нулевое значение указывает границу отрыва.

Разбор задач

Скорость после опускания на высоту h

Условие. Тело без начальной скорости соскальзывает с вершины гладкой полусферы радиуса R. Требуется найти скорость после потери высоты h, пока тело не оторвалось. Высота здесь означает вертикальное перемещение вниз, а не радиус полусферы.

1. Выберем начальный уровень потенциальной энергии в вершине. Начальная кинетическая энергия равна нулю, потому что тело стартует из покоя.
2. Запишем сохранение энергии: mgh = mv²/2. Масса сокращается, поэтому v² = 2gh.
3. Извлечём корень: v = √(2gh). Радиус R отдельно в ответ не входит, если уже известна высота h; он нужен, чтобы связать высоту с углом положения.

Ответ: v = √(2gh), пока сохраняется контакт с поверхностью.

Угол отрыва при старте из покоя

Условие. Тело начинает скользить без начальной скорости с вершины гладкой полусферы радиуса R. Нужно найти угол, при котором реакция опоры обращается в ноль. Угол отсчитывается от вертикали.

1. По энергии после опускания на h = R(1 − cos θ) получаем v² = 2gR(1 − cos θ).
2. Спроецируем второй закон Ньютона к центру: mg cos θ − N = mv²/R. В точке отрыва N = 0, поэтому v² = gR cos θ.
3. Приравняем выражения для v²: 2gR(1 − cos θ) = gR cos θ. После сокращения получаем cos θ = 2/3.
4. Следовательно, θ = arccos(2/3) ≈ 48°. Подстановка в энергетическую формулу даёт скорость отрыва v = √(2gR/3).

Ответ: θ ≈ 48° от вертикали; скорость в точке отрыва равна √(2gR/3).

Отрыв при ненулевой начальной скорости

Условие. Тело начинает движение с вершины гладкой полусферы радиуса R со скоростью v₀. Нужно выяснить, произойдёт ли отрыв до края, и найти его угол, если тело сначала сохраняет контакт. Край полусферы соответствует θ = 90°.

1. Энергия даёт v² = v₀² + 2gR(1 − cos θ), поскольку начальная кинетическая энергия уже не равна нулю.
2. Условие N = 0 в радиальном уравнении означает v² = gR cos θ. Приравнивая выражения, находим cos θ = 2/3 + v₀²/(3gR).
3. Для отрыва при θ > 0 косинус должен быть меньше 1, то есть v₀² < gR. Тогда θ = arccos(2/3 + v₀²/(3gR)), и отрыв произойдёт до края.
4. Если v₀² = gR, реакция равна нулю уже в вершине. Если v₀² > gR, тело не может сохранять контакт с поверхностью с самого начала.

Ответ: при v₀² < gR угол отрыва задаётся найденной формулой; при v₀² ≥ gR контакт теряется уже в начальной точке или сразу после неё.

Типичные ошибки

Приравнивать силу тяжести к центростремительной силе. Так делают, потому что знают формулу mv²/R и ищут силу, которая «создаёт» ускорение. Но к центру направлена равнодействующая радиальных проекций: mg cos θ − N = mv²/R. Проверьте себя: учитывает ли ваше уравнение реакцию опоры и её направление?

Неверно направлять реакцию опоры. Иногда её рисуют к центру, перенося привычное представление о силе притяжения. На внешней стороне сферы поверхность толкает тело от центра; проверьте направление, представив, куда направлена сила со стороны поверхности на тело.

Считать, что тело теряет контакт при отрицательной реакции. Отрицательное значение трактуют как силу, с которой поверхность тянет тело, хотя опора тянуть не может. Отрыв начинается при N = 0, а отрицательный результат указывает, что выбранное движение по поверхности уже невозможно. Проверка проста: реакция до отрыва должна быть неотрицательной.

Считать потерей высоты весь радиус. Такая подстановка возможна из-за того, что траектория имеет радиус R, но вертикальное падение зависит от положения тела. При угле θ оно равно R(1 − cos θ), а не R в любой точке. Проверьте крайние случаи: в вершине потеря высоты нулевая, а у края она равна R.

Связь с другими темами

Для разбора нужны закон сохранения механической энергии, второй закон Ньютона и разложение силы на проекции. Энергия связывает высоту и скорость, а второй закон объясняет, как силы обеспечивают движение по окружности. Та же логика пригодится при изучении центростремительного ускорения, невесомости и условий отрыва тела от поверхности: нужно выяснить, какие силы действуют и может ли опора сохранять контакт.

Что запомнить

• На гладкой полусфере сила трения не учитывается.
• Скорость при спуске связывают с потерей высоты через закон сохранения механической энергии.
• Для движения по окружности равнодействующая радиальных сил направлена к центру.
• Реакция опоры при движении по внешней поверхности направлена от центра.
• Условие начала отрыва — нулевая реакция опоры.
• После отрыва тело движется под действием силы тяжести.