"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.; под редакцией Орлова В.А.
Система тел — несколько взаимодействующих тел, движение которых изучают совместно. Для такой системы особенно важны закон изменения импульса, закон сохранения импульса, сохранение механической энергии и движение центра масс. Эти законы позволяют сравнивать состояние тел до и после столкновения, взрыва или отдачи, даже если подробное описание взаимодействия неизвестно. Главное — правильно выбрать систему и учесть направления скоростей и действие внешних сил.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система тел — выбранная совокупность взаимодействующих тел, движение которой рассматривают совместно. Например, это могут быть две тележки при столкновении или снаряд и его осколки. Такое объединение позволяет применить общий закон к нескольким телам.
Импульс системы — векторная сумма импульсов всех тел: p⃗сист = p⃗1 + p⃗2 + … . Импульс каждого тела равен произведению его массы на скорость, поэтому при сложении обязательно учитывают направления. Эта величина нужна, чтобы описывать движение всей системы одним уравнением.
Замкнутая система тел — система, на которую результирующая внешних сил равна нулю или которыми можно пренебречь. Внутренние силы между телами при этом остаются возможными. Для замкнутой системы полный импульс не изменяется.
Центр масс — точка, положение которой определяется распределением масс тел системы и которая движется под действием результирующей внешней силы. У тяжёлого тела вклад в положение центра масс больше, чем у лёгкого. Это понятие заменяет сложное движение системы движением одной условной точки.
Для каждого тела по второму закону Ньютона изменение импульса равно сумме действующих на него сил. Если сложить такие уравнения для всех тел системы, внутренняя сила первого тела на второе и внутренняя сила второго на первое уничтожаются, потому что они равны по модулю и противоположны по направлению. То же происходит с каждой парой внутренних сил, поэтому изменение импульса системы определяется только результирующей внешних сил.
Получается закон изменения импульса: Δp⃗сист = F⃗внешΔt. Если внешняя сила равна нулю, то Δp⃗сист = 0 и p⃗сист = const, то есть действует закон сохранения импульса. Поскольку импульс является вектором, равенство нужно проверять отдельно по выбранным осям: например, pₓ до = pₓ после и pᵧ до = pᵧ после. Знаки скоростей показывают направления, поэтому противоположное движение нельзя записывать двумя положительными числами.
Центр масс подчиняется уравнению Mа⃗ц.м. = F⃗внеш, где M — масса всей системы. Оно имеет тот же вид, что и второй закон Ньютона для одного тела, масса которого равна сумме масс системы. Поэтому внутренние взаимодействия могут сильно менять скорости отдельных тел, но не влияют на движение центра масс.
Механическая энергия системы складывается из кинетической и потенциальной энергий. Она сохраняется, если действуют только консервативные силы, например сила тяжести или упругости, а трением и деформациями можно пренебречь. При сближении тел потенциальная энергия может уменьшаться и превращаться в кинетическую, а при удалении — наоборот.
При столкновении, разлёте осколков или отдаче сравнивают состояния системы до и после короткого взаимодействия. Для самого удара часто применяют сохранение импульса, а для последующего движения — сохранение механической энергии. Нужно заранее определить состав системы, внешние силы и этап, к которому относится каждое уравнение.
| Рассматриваемая величина | Условие сохранения или применения | Математическая запись | Практический вывод |
|---|---|---|---|
| Импульс системы | Результирующая внешних сил равна нулю или её импульсом пренебрегают | p⃗сист = const; Δp⃗сист = F⃗внешΔt | Можно связать скорости тел до и после взаимодействия |
| Механическая энергия системы | Нет потерь на трение, неупругую деформацию и другие необратимые процессы | Eк₁ + Eп₁ = Eк₂ + Eп₂ | Можно найти скорость, высоту или энергию на другом этапе |
| Движение центра масс | Учитывается результирующая внешняя сила системы | Mа⃗ц.м. = F⃗внеш | Сложное движение системы заменяется движением одной точки |
Сначала определите, какая величина сохраняется и на каком промежутке времени. Затем запишите векторное уравнение по осям или энергетическое равенство между двумя состояниями. Если процесс состоит из этапов, закон для каждого этапа выбирают отдельно.
Таблица не означает, что все три закона нужно применять одновременно. Например, при неупругом ударе импульс может сохраняться, а механическая энергия — нет; после удара энергия может сохраняться при подъёме тела.
Две тележки массами 2 кг и 3 кг движутся навстречу со скоростями 4 м/с и 2 м/с и после удара сцепляются. Выберем направление движения первой тележки за положительное: тогда скорость второй равна −2 м/с.
Ответ: общая скорость тележек равна 0,4 м/с в направлении движения тележки массой 2 кг.
Снаряд массой 10 кг покоится и взрывается. Осколок массой 4 кг летит вправо со скоростью 15 м/с, второй имеет массу 6 кг. Внешним импульсом за короткое время взрыва пренебрегаем.
Ответ: скорость второго осколка равна 10 м/с влево.
Пуля массой 20 г летит со скоростью 400 м/с и застревает в бруске массой 2 кг. После удара система должна подняться на высоту 0,2 м. Данные позволяют показать два этапа, но также обнаруживают несогласованность условия.
Ответ: скорость пули равна 400 м/с; сразу после удара скорость системы около 3,96 м/с, поэтому для подъёма на 0,2 м условие требует уточнения.
Импульс системы нельзя находить как сумму модулей импульсов, если тела движутся в разные стороны. Направления задаются знаками или векторами, поэтому встречные импульсы вычитаются. Проверка проста: выберите положительную ось и подпишите знак каждой скорости.
Закон сохранения импульса нельзя применять автоматически при наличии внешних сил. Ошибка возникает, когда систему выбирают слишком узко и не замечают действия опоры, стены или трения извне. Проверьте, равен ли внешнему импульсу нулю его вклад за рассматриваемое время.
При неупругом столкновении механическая энергия не сохраняется, хотя импульс может сохраняться. Часть энергии уходит на деформацию, нагрев и звук. Если тела слипаются или появляется заметная деформация, сначала используйте импульс, а не энергетическое равенство.
Нельзя смешивать состояния системы до и после взаимодействия или исключать тело, получившее импульс. Из-за этого в уравнении оказываются разные составы системы и несопоставимые величины. Перед решением запишите состав системы и явно назовите начальное и конечное состояния.
До изучения темы нужны второй закон Ньютона, понятие импульса тела, работа силы и закон сохранения механической энергии. Эти знания превращаются в инструменты для анализа системы из нескольких тел.
Законы сохранения применяются в задачах о столкновениях, отдаче оружия, реактивном движении и взрывах. Они позволяют решать задачу даже тогда, когда сила взаимодействия меняется очень быстро и неизвестна.
Центр масс используется при изучении движения твёрдого тела, вращения и механики космических аппаратов. Через него удобно отделять движение всей системы от движения отдельных частей.
Почему внутренние силы не изменяют импульс всей системы?
Внутренние силы возникают парами: тела действуют друг на друга с равными по модулю и противоположными по направлению силами. Поэтому при сложении уравнений движения их общий вклад равен нулю, и полный импульс системы изменяется только из-за внешних сил.
Как выбрать тела, которые нужно включить в систему?
В систему включают все тела, взаимодействие которых нужно описать одним законом. Границу системы выбирают так, чтобы важные силы стали внутренними, а внешние силы либо отсутствовали, либо их импульсом можно было пренебречь.
Можно ли применять закон сохранения импульса при наличии трения?
Можно, если сила трения является внутренней силой выбранной системы, например при рассмотрении двух соприкасающихся тел вместе. Если трение действует со стороны тела, не входящего в систему, его влияние нужно учитывать как внешнее.
Почему при неупругом ударе импульс сохраняется, а механическая энергия — нет?
При неупругом ударе внешним импульсом часто можно пренебречь, поэтому сохраняется полный импульс. Часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию, звук и энергию деформации, так что механическая энергия не сохраняется.
Как понять, когда нужно использовать одновременно закон сохранения импульса и закон сохранения энергии?
Так поступают, если задача состоит из этапов с разными физическими процессами. Например, при попадании пули сначала используют закон сохранения импульса, а затем при подъёме общей системы — закон сохранения механической энергии.
§ 20. Применение законов сохранения в механике к движению системы тел
