"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 3 частях)", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.; под ред. Орлова В.А. (ч. 1); Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И., под ред. Орлова В.А. (ч. 2); Генденштейн Л.Э., Кошкина А.В., Левиев Г.И. (ч. 3)
Равновесие тела — состояние, при котором оно покоится или движется равномерно и прямолинейно. Чтобы тело не получало поступательного ускорения, сумма действующих на него сил должна быть равна нулю. Но протяжённое тело может при этом вращаться, поэтому нужно учитывать и моменты сил. Их сумма тоже должна быть нулевой. Эти условия помогают находить неизвестные силы и реакции опор, а также проверять устойчивость простых конструкций — от рычага до балки.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равновесие тела — состояние, при котором тело сохраняет покой или движется равномерно и прямолинейно. Это означает, что скорость тела не меняется. Понятие нужно, чтобы определить, какие условия должны выполняться для неподвижных конструкций и тел, движущихся без ускорения.
Момент силы относительно точки — мера вращательного действия силы, равная произведению силы на её плечо: M = F·l. Здесь F — модуль силы, а l — плечо; момент показывает, насколько сильно сила стремится повернуть тело. Его используют при анализе рычагов, балок и других протяжённых тел.
Плечо силы — кратчайшее расстояние от точки вращения до линии действия силы. Линия действия — прямая, вдоль которой направлена сила, поэтому плечо всегда измеряют перпендикулярно к ней. Оно нужно для вычисления момента: чем больше плечо при той же силе, тем сильнее её вращательное действие.
Центр тяжести — точка приложения равнодействующей сил тяжести, действующих на тело. В расчётах силу тяжести можно считать приложенной именно в этой точке. Это упрощает определение её момента, например для однородной балки центр тяжести находится посередине.
По второму закону Ньютона равнодействующая сил сообщает телу ускорение: чем больше сила, тем больше ускорение при той же массе. Если тело не должно ускоряться поступательно, его ускорение равно нулю, а значит, равнодействующая тоже равна нулю. Поэтому для равновесия складывают все силы как векторы, учитывая их направления и составляющие. Например, сила тяжести может уравновешиваться направленной вверх реакцией горизонтальной опоры.
У протяжённого тела силы могут быть приложены в разных точках, и их действие зависит не только от величины и направления, но и от места приложения. Две равные противоположные силы не обязательно уравновешивают вращение: если их линии действия не совпадают, они могут поворачивать тело в разные стороны. Поэтому равенство сил контролирует поступательное движение, но само по себе не исключает вращения. Для этого отдельно учитывают моменты сил.
Чтобы задать знак момента, выбирают точку, относительно которой рассматривают вращение, и условливаются, какое направление считать положительным. Например, моменты против часовой стрелки можно считать положительными, а по часовой — отрицательными; допустимо выбрать наоборот, если делать это последовательно. Тогда момент каждой силы получает знак по направлению поворота, который она вызывает. Такое соглашение позволяет складывать моменты алгебраически и не путать их направления.
При вращательном равновесии тело не получает углового ускорения, поэтому вращательные действия сил должны взаимно компенсироваться. Для этого алгебраическая сумма моментов всех сил равна нулю: ΣM = 0. Это условие выполняется относительно любой точки, если соблюдается также равенство нулю суммы сил. Выбор точки меняет плечи отдельных сил, но для тела в равновесии итоговая сумма моментов останется нулевой.
Два условия равновесия превращают задачу о конструкции в систему уравнений. Сначала отмечают все силы, действующие на тело, затем записывают равенство нулю их суммы по выбранным направлениям и равенство нулю суммы моментов. Чтобы упростить второе уравнение, часто берут моменты относительно точки, через которую проходит линия действия неизвестной силы: её плечо и момент тогда равны нулю. Решив уравнения, находят реакции опор или другие неизвестные силы и проверяют, что их значения согласуются с обоими условиями.
| Ситуация | Условие | Физический смысл | Пример |
|---|---|---|---|
| Поступательное равновесие | Сумма всех сил равна нулю | Отсутствует поступательное ускорение | Тело покоится на горизонтальной опоре |
| Вращательное равновесие | Сумма моментов всех сил относительно любой точки равна нулю | Отсутствует угловое ускорение | Рычаг не поворачивается |
| Полное равновесие твёрдого тела | Одновременно выполнены оба условия | Тело не перемещается и не вращается | Балка удерживается опорами и не опрокидывается |
Пользуйся таблицей, чтобы определить, какое движение нужно исключить в задаче: поступательное, вращательное или оба сразу. Для полного равновесия недостаточно проверить только силы — обязательно проверь и моменты. В примерах справа показаны типичные ситуации, к которым применяются эти условия.
На горизонтальный брусок действуют две противоположно направленные силы: 12 Н и 7 Н. Нужно найти силу, которая обеспечит равновесие. Поскольку рассматривается поступательное движение бруска, используем условие, что векторная сумма сил равна нулю.
Ответ: 5 Н в направлении силы 7 Н.
Сила 30 Н действует на плече 0,2 м, а неизвестная сила приложена на плече 0,5 м. Рычаг в равновесии, и силы вращают его в противоположные стороны. Сначала приравняем моменты по модулю: в этом условии учтено, что знаки у моментов противоположны.
Ответ: неизвестная сила равна 12 Н и должна вращать рычаг в сторону, противоположную действию силы 30 Н.
Однородная балка массой 20 кг имеет длину 4 м и опирается на концах. Груз массой 30 кг стоит в 1 м от левой опоры. Найдём реакции опор; примем g = 10 Н/кг, а вертикальные силы направим вверх положительно. Вес балки равен 200 Н и приложен в центре, а вес груза равен 300 Н.
Ответ: реакция левой опоры равна 325 Н, правой — 175 Н. Проверка показывает, что их сумма равна общему весу балки и груза: 500 Н.
Если учесть только равенство сил, можно не заметить, что тело вращается: силы в разных точках создают моменты. Так часто поступают, считая балку просто материальной точкой. Проверь себя: помимо суммы сил запиши сумму моментов относительно удобной точки.
Плечо иногда принимают за расстояние от точки вращения до места приложения силы. Но момент зависит от перпендикулярного расстояния до линии действия силы, поэтому наклонная сила может иметь плечо, не равное этому расстоянию. Проведи перпендикуляр от точки вращения к линии действия и используй его длину.
Если сложить моменты без знаков, вращение в противоположных направлениях ошибочно будет считаться одинаковым. Путаница возникает, когда направление вращения определяют отдельно для каждой силы, но не выбирают общее правило. Перед расчётом назначь положительное направление и проверь знак каждого момента.
Расчёт будет неполным, если учитывать силы только на части тела или забыть вес и реакции опор. Обычно это происходит, когда составляют уравнение до того, как перечислили все внешние воздействия. Нарисуй схему сил для всего рассматриваемого тела и проверь, что для каждой опоры и каждого веса есть соответствующий член в уравнениях.
Чтобы применять условия равновесия, нужно уметь пользоваться вторым законом Ньютона, складывать силы и раскладывать их на составляющие. Эти навыки позволяют составить уравнение для сил, направленных вдоль разных осей. Условия равновесия используют, когда рассчитывают рычаги, балки, мосты и опоры: нужно определить, выдержат ли они нагрузки. Они также нужны для дальнейшего изучения центра масс, механики твёрдого тела и статики — раздела механики о равновесии тел.
Почему равенства сил недостаточно для равновесия балки?
Нулевая сумма сил означает, что у балки нет поступательного ускорения. Но силы, приложенные в разных точках, могут создавать вращение. Поэтому нужно также проверить, что сумма моментов равна нулю.
Можно ли вычислять моменты относительно любой точки?
Да, для тела в равновесии алгебраическая сумма моментов равна нулю относительно любой выбранной точки. На практике выбирают точку, которая упрощает расчёт, например место опоры.
Как правильно определить плечо силы?
Плечо — это кратчайшее расстояние от выбранной точки вращения до линии действия силы. Его измеряют по перпендикуляру, а не до точки приложения силы.
Почему моменты сил, вращающих тело в разные стороны, имеют разные знаки?
Момент описывает не только величину, но и направление вращательного действия силы. Поэтому заранее выбирают одно направление вращения положительным, а противоположное — отрицательным.
Как выбрать точку, относительно которой удобнее составлять сумму моментов?
Удобно выбрать точку приложения неизвестной силы: её плечо относительно этой точки равно нулю, поэтому её момент не входит в уравнение. Например, при расчёте балки часто считают моменты относительно одной из опор.
§ 35. Условия равновесия тела
