§ 36. Применение условий равновесия тела

Определения и обозначения

Равновесие тела — состояние, при котором тело покоится или движется равномерно и прямолинейно. Это возможно, когда равнодействующая всех сил равна нулю: ΣF = 0. Условие показывает, что тело не получает поступательного ускорения.

Момент силы — мера её вращательного действия относительно выбранной точки или оси. Его обозначают M, а единица измерения — Н·м; направление связывают с вращением по часовой или против часовой стрелки. Момент помогает понять, будет ли сила поворачивать тело.

Плечо силы — кратчайшее расстояние l от оси вращения до линии действия силы. Момент вычисляют по формуле M = F·l, поэтому одинаковые силы могут действовать по-разному при разных плечах. Чем больше плечо, тем сильнее вращательное действие.

Центр тяжести — точка приложения равнодействующей сил тяжести тела. Для однородного симметричного тела он часто совпадает с геометрическим центром. Положение этой точки определяет устойчивость: тело не опрокидывается, пока линия действия силы тяжести проходит внутри площади опоры.

Как это устроено

Для равновесия нужно одновременно обеспечить ΣF = 0 и ΣM = 0. Первое условие запрещает поступательное ускорение, а второе — угловое ускорение. Если выполнить только первое, силы могут образовать пару, которая не сдвигает тело, но заставляет его вращаться.

Решение начинают с выбора тела, равновесие которого изучают. На отдельной схеме показывают силу тяжести, реакции опор, силу трения, натяжение и другие реальные воздействия. Затем для каждой силы проводят линию действия: без неё нельзя правильно определить плечо и направление момента.

Момент находят как M = F·l, потому что сила действует на расстоянии от оси и создаёт вращательный эффект. Сила, приложенная прямо к оси, не поворачивает тело: её плечо равно нулю. Моменты складывают алгебраически: вращение в одну сторону берут со знаком «плюс», в другую — со знаком «минус».

Точку для подсчёта моментов выбирают не случайно. Если неизвестная сила приложена в выбранной точке, её плечо равно нулю, поэтому она не входит в уравнение моментов. Так можно сначала найти другую величину, а затем использовать уравнение равенства сил.

Устойчивость связана с тем, где проходит вертикальная линия через центр тяжести. Пока она попадает внутрь площади опоры, реакция опоры может уравновесить действие силы тяжести. Когда линия достигает края и выходит за него, возникает момент опрокидывания, и тело начинает вращаться вокруг этого края.

Применение условий равновесия в типичных ситуациях

В таблице сначала найдите силы, действующие на тело, затем выберите подходящее условие равновесия. Для сложных случаев используют одновременно равенство проекций сил и моментов. Последний столбец показывает, какую величину можно определить или какой вывод сделать.

Разбор задач

Груз на горизонтальной опоре

Груз массой m = 5 кг покоится на горизонтальной опоре. На него действуют сила тяжести mg вниз и реакция опоры N вверх. Так как вертикального движения нет, эти силы равны по модулю.

1. Выбираем груз и изображаем две силы: mg и N.
2. Записываем условие по вертикали: N − mg = 0.
3. Находим N = mg = 5 · 9,8 Н = 49 Н.

Ответ: сила реакции опоры равна 49 Н и направлена вертикально вверх. Если использовать приближённое значение g = 10 Н/кг, получится N = 50 Н.

Балка с тросом

Однородная балка длиной L = 4 м закреплена шарниром на одном конце. К другому концу прикреплён трос, образующий с балкой угол α, а масса балки равна M. Силу натяжения троса T найдём из равновесия моментов относительно шарнира.

1. Вес балки Mg приложен в её середине, поэтому его плечо равно L/2.
2. Момент натяжения равен T·L·sin α, поскольку перпендикулярная составляющая троса равна T sin α.
3. При равновесии T·L·sin α = Mg·L/2, откуда T = Mg/(2 sin α).

Ответ: T = Mg/(2 sin α). Выбор шарнира удобен: реакции шарнира имеют нулевые плечи и не входят в уравнение моментов.

Лестница у стены

Рассмотрим однородную лестницу длиной L, стоящую под углом α к шероховатому полу и опирающуюся на гладкую стену. Пусть её вес равен P. Минимальный коэффициент трения найдём для границы скольжения, когда Fтр = μN. Силой трения у стены можно пренебречь, потому что стена гладкая.

1. На лестницу действуют P вниз, реакция стены N₁ горизонтально, реакция пола N вертикально и трение Fтр горизонтально.
2. Из равновесия сил: N = P и Fтр = N₁.
3. Берём моменты относительно нижнего конца: N₁L sin α = P(L/2) cos α.
4. Получаем N₁ = P·cot α/2, поэтому μmin = Fтр/N = cot α/2.

Ответ: для однородной лестницы без дополнительного груза μmin = ½cot α. Чем меньше угол наклона, тем больше требуемое трение и тем выше риск скольжения.

Типичные ошибки

Первая ошибка — учитывать только равенство сил и забывать о моментах. Так можно решить, что тело находится в равновесии, хотя пара сил уже вызывает вращение. Проверяйте оба условия: ΣF = 0 и ΣM = 0.

Вторая ошибка — брать за плечо расстояние до точки приложения силы. Плечо измеряют не до точки, а перпендикулярно до линии действия силы. Для проверки проведите из оси прямой угол к этой линии.

Третья ошибка — неверно расставлять знаки моментов. Силы, вращающие в одну сторону, складываются, а направленные в противоположные стороны — вычитаются. Полезно сначала словами указать направление вращения каждой силы.

Четвёртая ошибка — не изображать трение, реакцию опоры или натяжение. Из-за этого уравнения описывают не настоящее тело, а упрощённую выдуманную ситуацию. Перед вычислениями проверьте, есть ли на схеме все контакты и связи.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны законы Ньютона, понятие равнодействующей, разложение сил на проекции и формула момента. Условия равновесия применяются при изучении рычагов, блоков и наклонной плоскости, а также при расчёте балок и опор. Позже эти идеи связываются с центром масс, статикой, устойчивостью сооружений и вращательным движением.

Что запомнить

• При равновесии тела равнодействующая всех сил равна нулю.
• При равновесии тела сумма моментов сил относительно любой выбранной точки равна нулю.
• Момент силы равен произведению силы на её плечо.
• Плечо силы измеряют перпендикулярно линии действия силы.
• Для решения задачи сначала выделяют тело и изображают все действующие на него силы.
• Тело устойчиво, если линия действия силы тяжести проходит внутри площади опоры.
• Выбор удачной точки для вычисления моментов упрощает решение задачи.