§ 36. Применение условий равновесия тела

Определения и обозначения

Плечо силы — кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы. На схеме отметьте ось и проведите линию действия силы, то есть прямую, вдоль которой направлена сила. Из оси опустите на эту прямую перпендикуляр: его длина и есть плечо. Оно показывает, насколько далеко от оси сила способна поворачивать тело.

Момент силы — произведение модуля силы на её плечо относительно выбранной оси: M = F·l. Здесь F измеряется в ньютонах, а плечо l — в метрах, поэтому единица момента — ньютон-метр. Момент характеризует вращательное действие силы: при одинаковой силе больший момент создаёт сила с большим плечом. Для выбранной оси одна и та же сила может иметь другое плечо, а значит, и другой момент.

Условия равновесия тела — требования, при которых тело не получает ни поступательного, ни вращательного ускорения. В простейшем случае их записывают так: равнодействующая сил равна нулю, а алгебраическая сумма моментов относительно оси равна нулю. Равнодействующая — одна сила, которая заменяет совместное действие всех сил на поступательное движение. Проверка обоих условий нужна, чтобы тело не начинало ни перемещаться, ни поворачиваться.

Как это устроено

Одного условия равновесия сил недостаточно, потому что силы могут быть направлены так, что взаимно компенсируют поступательное действие, но создают вращение. Например, две равные противоположно направленные силы, приложенные к разным точкам тела, могут поворачивать его в разные стороны, не сдвигая целиком. Поэтому при анализе тела отдельно проверяют, остаётся ли ненулевым суммарное вращательное действие. Равновесие возможно лишь тогда, когда компенсированы и силы, и моменты.

Для поступательного движения записывают векторное условие ΣF = 0, то есть сумма сил по каждому направлению равна нулю. На горизонтальной поверхности удобно отдельно рассмотреть горизонтальную и вертикальную составляющие сил. Например, если балка покоится, вертикальные реакции опор должны вместе уравновесить её вес и другие вертикальные нагрузки. Такое уравнение помогает найти неизвестную силу, но само по себе обычно не определяет, как нагрузка распределилась между опорами.

Чтобы проверить вращение, сначала выбирают ось, затем для каждой силы находят плечо и определяют, в какую сторону она стремится повернуть тело. Моменты, вращающие в противоположных направлениях, записывают с разными знаками; при равновесии их алгебраическая сумма равна нулю. Если сила направлена вдоль линии, проходящей через ось, её плечо равно нулю и она не создаёт момента относительно этой оси. Уравнение моментов может дать связь между неизвестными силами и расстояниями.

Выбор оси влияет на удобство вычислений, но не меняет физическое условие равновесия. Если провести ось через точку, где приложена неизвестная реакция опоры, линия её действия обычно проходит через ось, поэтому момент этой реакции равен нулю. В уравнении моментов останутся другие силы, и неизвестную реакцию не придётся включать в него. После этого её часто можно найти из уравнения равновесия поступательного движения.

У тел на опорах и подвесах в схему включают все силы: силу тяжести, реакции опор и натяжения нитей. Сила тяжести приложена к центру тяжести тела, а реакция опоры направлена со стороны опоры на тело; натяжение направлено вдоль нити. Для каждой силы устанавливают плечо и направление возможного вращения, а наклонные силы при необходимости раскладывают на составляющие. Затем используют оба условия равновесия, чтобы получить независимые уравнения для неизвестных.

Два условия равновесия тела и их применение

Сначала определите, какие неизвестные нужно найти, и нарисуйте все силы. Затем выберите ось, удобную для уравнения моментов, и дополните решение уравнениями для составляющих равнодействующей. Условия рассматривают вместе: одно уравнение не всегда позволяет определить все неизвестные.

Разбор задач

Балка на двух опорах

Однородная горизонтальная балка весом P покоится на двух опорах, расстояние между которыми равно L. Найдём реакции N₁ и N₂, если опоры стоят у концов балки. Поскольку балка однородная, её вес приложен к середине, на расстоянии L/2 от каждой опоры. Сначала составим уравнение моментов, чтобы найти одну реакцию без лишних неизвестных.

1. Изобразим направленные вверх реакции N₁ и N₂ и направленный вниз вес P. Выберем ось в точке первой опоры: момент реакции N₁ равен нулю. Это оставляет в уравнении моментов только N₂ и вес балки.
2. Запишем равновесие моментов: N₂·L − P·(L/2) = 0. Отсюда N₂ = P/2. Теперь используем вертикальное равновесие: N₁ + N₂ − P = 0, поэтому N₁ = P/2.

Ответ: реакция каждой опоры равна половине веса балки. Равные реакции получились потому, что однородная балка опирается на концах, а её вес действует симметрично относительно середины. Если бы груз находился не посередине, реакции в общем случае были бы разными.

Грузы на невесомом рычаге

На невесомом рычаге по разные стороны от оси подвешены грузы массами m₁ и m₂. Расстояние от оси до первого груза равно l₁, а до второго — l₂; требуется найти неизвестную массу или плечо. Силы тяжести равны m₁g и m₂g, где g — ускорение свободного падения. Чтобы рычаг не поворачивался, моменты этих сил должны компенсировать друг друга.

1. Выбираем ось в точке опоры и задаём, например, против часовой стрелки положительным направлением. Грузы по разные стороны рычага создают моменты противоположных знаков, поэтому записываем m₁g·l₁ − m₂g·l₂ = 0.
2. Сокращаем общий множитель g и получаем m₁l₁ = m₂l₂. Если неизвестна масса, m₂ = m₁l₁/l₂; если неизвестно плечо, l₂ = m₁l₁/m₂. Проверяем, что произведения массы на плечо в обеих частях имеют одинаковые единицы.

Ответ зависит от того, какая величина неизвестна: её находят из равенства моментов. Например, груз вдвое большей массы должен висеть вдвое ближе к оси, чтобы моменты сравнялись. Условие равновесия сил при этом также нужно учитывать, если в задаче требуется найти реакцию опоры.

Балка с шарниром и наклонной нитью

Однородная горизонтальная балка закреплена шарниром у стены, удерживается нитью, наклонённой к балке под углом α, и несёт груз массой m. Пусть масса балки равна M, а груз находится на расстоянии d от шарнира; длина балки равна L. Требуется найти натяжение нити T и составляющие реакции шарнира Rₓ и Rᵧ. Для численного ответа нужны значения масс, длины, расстояния и угла, поэтому решение запишем через эти величины.

1. Выберем ось вращения в шарнире. Сила тяжести балки Mg приложена на расстоянии L/2, а груза mg — на расстоянии d; их моменты вращают балку в одну сторону. Момент натяжения создаёт только перпендикулярная балке составляющая T sin α, поэтому уравнение моментов имеет вид T sin α·L − Mg·(L/2) − mg·d = 0.
2. Находим натяжение: T = [Mg·(L/2) + mg·d]/(L sin α). Реакция шарнира момента не даёт, так как её линия действия проходит через выбранную ось. Теперь применяем равновесие по горизонтали и вертикали: Rₓ − T cos α = 0 и Rᵧ + T sin α − (M + m)g = 0.
3. Следовательно, Rₓ = T cos α, а Rᵧ = (M + m)g − T sin α. Подставляя найденное натяжение, получаем обе составляющие реакции; модуль полной реакции равен √(Rₓ² + Rᵧ²). Перед ответом проверяем направления составляющих по схеме.

Ответ: натяжение равно [Mg·(L/2) + mg·d]/(L sin α), составляющие реакции равны T cos α и (M + m)g − T sin α. Угол важен потому, что момент создаёт только составляющая натяжения, перпендикулярная балке. Если нить почти параллельна балке, sin α мал и для удержания той же нагрузки требуется большее натяжение.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать, что нулевая равнодействующая уже гарантирует равновесие. Её допускают, когда проверяют только перемещение тела и забывают о вращении под действием сил с ненулевым суммарным моментом. Проверьте себя: можно ли представить силы, которые компенсируются по направлению, но приложены к разным точкам? Если да, отдельно составьте уравнение моментов.

Вторая ошибка — принимать за плечо расстояние от оси до точки приложения силы. Но сила действует вдоль линии, и вращающее действие определяется перпендикуляром от оси именно к этой линии. Такая путаница особенно вероятна при наклонной силе. Проверьте плечо на схеме: угол между ним и линией действия силы должен составлять 90°.

Третья ошибка — складывать все моменты с одним знаком. Тогда силы, вращающие в противоположных направлениях, ошибочно оказываются действующими одинаково, хотя при равновесии их моменты компенсируются. До записи уравнения мысленно определите направление поворота от каждой силы. Затем назначьте одно направление положительным и придерживайтесь этого выбора во всём решении.

Четвёртая ошибка — использовать для разных слагаемых расстояния от разных точек или осей. Так уравнение моментов теряет смысл, ведь каждый момент в его сумме должен быть вычислен относительно одной и той же оси. Ошибка возникает, если схему не подписать или при подстановке перепутать плечи. Проверьте, что все расстояния отсчитаны перпендикулярно от одной выбранной оси до линий действия соответствующих сил.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны условия равновесия материальной точки, правила сложения сил и умение раскладывать силу на составляющие. При построении схемы важно знать, где находится центр тяжести, и правильно изображать силу тяжести, реакцию опоры и натяжение нити. Эти навыки пригодятся при изучении машин и механизмов, устойчивости конструкций и статического равновесия. В таких задачах тот же подход позволяет проверить, не начнут ли детали перемещаться или поворачиваться.

Что запомнить

• Для равновесия тела должны выполняться оба условия: равнодействующая сил равна нулю и сумма моментов равна нулю.
• Момент силы относительно оси равен произведению силы на её плечо: M = F·l.
• Плечо — перпендикулярное расстояние от оси до линии действия силы.
• Направления вращения, создаваемые силами, учитывают разными знаками.
• Ось для подсчёта моментов выбирают так, чтобы упростить вычисления.
• Реакции опор и натяжения нитей входят в уравнения наравне с другими силами.