"Физика. Базовый и углубленный уровни (в 2 частях) ", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.
Центр тяжести — точка, в которой условно можно считать приложенной равнодействующую сил тяжести, действующих на все части тела. Это понятие помогает определять, будет ли тело удерживаться в равновесии, как его расположить на опоре и где его удобно подвесить. В однородном поле тяжести центр тяжести совпадает с центром масс. Для симметричных тел его положение часто можно найти по симметрии, а для системы грузов — вычислить по массам и координатам.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Центр тяжести — точка, к которой можно приложить равнодействующую сил тяжести, действующих на все части тела. Иными словами, влияние земного притяжения на тело можно описывать так, будто вся сила тяжести приложена в одной точке. Это упрощает изучение равновесия: вместо множества сил, действующих на разные части тела, рассматривают одну силу.
Центр масс — точка, положение которой определяется распределением массы тела. В однородном поле тяжести центр масс совпадает с центром тяжести, поэтому для вычислений часто находят именно центр масс. Обозначим координаты центра через xц и yц, массы отдельных частей — mᵢ, а их координаты — xᵢ и yᵢ. Эти обозначения позволяют рассчитывать положение общей точки для системы грузов.
Площадь опоры — область, на которую тело опирается. Для оценки устойчивости важно не только положение центра тяжести, но и то, проходит ли вертикаль через него внутри площади опоры. Это помогает понять, останется ли тело стоять или начнёт опрокидываться.
Каждая небольшая часть тела притягивается Землёй, поэтому на тело действует множество сил тяжести. Если размеры тела малы по сравнению с расстояниями, на которых заметно меняется направление силы тяжести, эти силы можно считать параллельными. Тогда их равнодействующая равна общему весу тела, а точку её приложения и называют центром тяжести. Такая замена не меняет поступательное действие силы на тело и делает расчёты намного проще.
Положение центра тяжести зависит от того, как распределена масса. Части тела с большей массой сильнее влияют на положение общей точки, поэтому центр тяжести смещается в их сторону. Для отдельных грузов координату можно найти как среднее координат, взвешенное по массам: xц = Σmᵢxᵢ/Σmᵢ, а для вертикального направления yц = Σmᵢyᵢ/Σmᵢ. Если массы одинаковы, координата центра оказывается посередине между ними; если одна масса больше, точка ближе к ней.
У однородного тела с симметричной формой центр тяжести расположен в центре симметрии: например, у однородного прямоугольника — на пересечении диагоналей. Причина в том, что симметричные части тела имеют одинаковые массы и одинаково влияют на положение общей точки. У тела сложной формы сначала можно разделить его на простые части, найти центры тяжести частей, а затем учесть их массы. Если в теле есть отверстие, его можно учитывать как участок с отрицательной массой.
При подвешивании тело устанавливается так, чтобы его центр тяжести оказался на вертикали, проходящей через точку подвеса. Это происходит потому, что сила тяжести создаёт вращающее действие, пока центр тяжести находится сбоку от этой вертикали. В положении на вертикали вращающий момент равен нулю. Если подвесить тело за другую точку, оно повернётся и займёт новое положение равновесия.
Устойчивость тела на опоре связана с тем, где проходит вертикаль через центр тяжести. Пока эта вертикаль попадает внутрь площади опоры, тело может сохранять равновесие; при выходе за край опоры сила тяжести вызывает опрокидывание. Широкая опора увеличивает область допустимых положений, а низкий центр тяжести затрудняет его смещение за пределы этой области. Поэтому широкое основание и низкое расположение тяжёлых частей делают предмет устойчивее.
| Тело или система | Способ определения | Что учитывать |
|---|---|---|
| Однородное симметричное тело | Найти центр симметрии | Масса распределена равномерно |
| Система отдельных грузов | Использовать формулу xц = Σmᵢxᵢ/Σmᵢ | Координаты взвешиваются по массам |
| Плоская фигура сложной формы | Подвесить за разные точки и провести вертикали | Пересечение вертикалей задаёт центр тяжести |
| Тело на опоре | Проверить положение вертикали из центра тяжести | Она должна попадать внутрь площади опоры |
Сначала определите, какой случай перед вами: простая симметричная форма, набор грузов или тело сложной формы. В первом случае помогает геометрия, во втором — формула, а в третьем можно провести опыт с подвешиванием. Последняя строка таблицы нужна не для поиска координат, а для проверки устойчивости уже установленного тела.
Условие. На лёгком горизонтальном стержне закреплены два небольших груза: массой 2 кг в точке x₁ = 0 м и массой 3 кг в точке x₂ = 1 м. Нужно определить координату центра тяжести системы относительно начала координат. Считаем поле тяжести однородным, поэтому можно найти центр масс системы. Масса стержня пренебрежимо мала, и учитывать её не нужно.
Решение. Здесь важна не просто середина между грузами: второй груз тяжелее, поэтому общая точка должна быть смещена к нему. Для проверки этой догадки используем координату центра масс, где координата каждого груза умножается на его массу. Общая масса равна сумме масс грузов, поскольку стержень лёгкий. Подстановка данных даст искомое положение.
Ответ: центр тяжести расположен на расстоянии 0,6 м от начала координат в сторону груза массой 3 кг. Проверим результат без повторного вычисления: координата оказалась между грузами, как и должна для положительных масс. Она ближе к грузу 3 кг, поскольку его масса больше; значение 0,6 м соответствует этому ожиданию.
Если бы мы ошибочно взяли обычное среднее координат, получилось бы 0,5 м. Это было бы верно только для одинаковых масс, а здесь веса грузов различны. Формула показывает, что положение общей точки определяется одновременно и координатами, и массами. В задачах с несколькими грузами действуют точно так же: учитывают каждую массу и её координату, а затем делят сумму произведений на общую массу.
Центр тяжести связан с силами и моментом силы: если линия действия силы тяжести не проходит через точку опоры, возникает вращение. Понятие равновесия помогает объяснить, почему подвешенное тело поворачивается до положения, в котором центр тяжести находится под подвесом. В задачах на движение системы тел используют центр масс, совпадающий с центром тяжести при однородном поле тяжести. Понимание опоры и устойчивости применяется при изучении равновесия тел и в бытовых ситуациях — например, при установке предметов.
Может ли центр тяжести находиться вне тела?
Да. У кольца, например, центр тяжести находится в его центральном отверстии, где вещества нет. Это не мешает считать, что равнодействующая сила тяжести приложена к этой точке.
Всегда ли центр тяжести совпадает с центром масс?
В однородном поле тяжести эти точки совпадают. Если поле заметно меняется от одной части тела к другой, положение центра тяжести и центра масс может различаться.
Как определить центр тяжести плоской фигуры опытным путём?
Подвесьте фигуру за одну точку и проведите на ней вертикальную линию по отвесу. Повторите опыт с другой точкой подвеса: пересечение линий укажет центр тяжести.
Почему тело устойчивее, если центр тяжести расположен ниже?
При небольшом наклоне тела с низким центром тяжести его приходится поднимать, поэтому потенциальная энергия увеличивается. Сила тяжести стремится вернуть тело в положение с меньшей энергией.
3. Центр тяжести
