"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 3 частях)", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.; под ред. Орлова В.А. (ч. 1); Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И., под ред. Орлова В.А. (ч. 2); Генденштейн Л.Э., Кошкина А.В., Левиев Г.И. (ч. 3)
Центр тяжести — точка, в которой мысленно можно сосредоточить действие всех сил тяжести, действующих на тело или систему тел. Его положение зависит от того, как распределена масса. Для однородных тел правильной формы центр тяжести часто совпадает с геометрическим центром, а у составных тел его находят расчётом. Знание положения этой точки помогает решать задачи на равновесие и определять, опрокинется ли тело.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Центр тяжести — точка тела или системы тел, к которой можно приложить равнодействующую сил тяжести. Иначе говоря, действие множества сил тяжести заменяют одной силой, приложенной в этой точке. Это упрощает расчёт движения и равновесия.
Центр масс — точка, положение которой определяется распределением массы тела или системы тел. Чем больше масса находится с одной стороны, тем ближе к ней смещается центр масс. Понятие нужно для описания движения целого тела или системы как единого объекта.
Линия действия силы тяжести — прямая, проходящая через центр тяжести и направленная вертикально вниз. На этой прямой расположена сила, равная по действию всем силам тяжести частей тела. По её положению проверяют, возникнет ли опрокидывающий момент.
Координаты центра тяжести — числа, задающие положение этой точки относительно выбранной системы координат. Обычно находят координаты x и y, а для объёмного тела ещё и z. Они позволяют перейти от рисунка к точному расчёту.
Каждая малая часть тела испытывает действие силы тяжести, поэтому внутри тела действует много параллельных сил. В однородном поле тяжести их равнодействующая равна сумме всех сил и направлена так же вертикально вниз. Момент этой равнодействующей относительно любой точки должен совпадать с суммой моментов отдельных сил, поэтому существует точка, в которой можно приложить одну заменяющую силу.
Положение центра тяжести определяется не просто размерами тела, а распределением массы. Для материальных точек с массами m₁, m₂ и координатами x₁, x₂ координата центра масс равна xц.м. = (m₁x₁ + m₂x₂)/(m₁ + m₂). Для нескольких точек используют сумму: xц.м. = (m₁x₁ + m₂x₂ + …)/(m₁ + m₂ + …), а координаты y и z находят аналогично.
У однородного тела правильной формы масса распределена симметрично относительно геометрического центра. Поэтому равные по массе части создают взаимно компенсирующие смещения, и центр тяжести оказывается в этом центре. Если тело имеет ось симметрии, точка лежит на оси, а если плоскость симметрии — в этой плоскости, потому что по разные стороны от неё распределение массы одинаково.
Составное тело разбивают на простые части, центры тяжести и массы которых известны. Затем координаты частей умножают на их массы и складывают, получая средневзвешенное положение всего тела. Отверстие считают частью с отрицательной массой: так из результата автоматически вычитается её вклад.
Равновесие связано с моментом силы тяжести относительно края площади опоры. Если вертикаль через центр тяжести проходит внутри опоры, линия действия силы не создаёт опрокидывающего момента относительно любого края в направлении наружу. Когда вертикаль выходит за опору, сила тяжести стремится повернуть тело вокруг ближайшего края, и тело опрокидывается.
В таблице сначала определите, к какому типу относится тело, а затем выберите соответствующий способ. Для составных фигур особенно важно не усреднять координаты частей без учёта их масс. В последнем случае используется экспериментальный признак равновесия.
| Ситуация | Как находят центр тяжести | Формула или признак | Условие применения |
|---|---|---|---|
| Однородное тело правильной формы | Находят геометрический центр фигуры. | Центр тяжести совпадает с центром симметрии. | Плотность постоянна, форма правильная. |
| Тело с осью или плоскостью симметрии | Сначала помещают точку на ось или в плоскость симметрии. | Центр тяжести лежит на оси или в плоскости. | Распределение массы симметрично. |
| Система материальных точек | Вычисляют средневзвешенные координаты точек. | xц.м. = Σmᵢxᵢ/Σmᵢ; аналогично для y и z. | Известны массы и координаты всех точек. |
| Составное тело из однородных частей | Разбивают тело на простые части и учитывают их массы. | xц.м. = Σmᵢxᵢ/Σmᵢ; отверстие имеет отрицательную массу. | Каждую часть можно описать отдельно. |
| Тело, подвешенное в равновесии | Проводят вертикаль через точку подвеса. | Центр тяжести лежит на этой вертикали. | Тело свободно подвешено и неподвижно. |
Условие. Определить положение центра тяжести однородного стержня длиной 2 м. Начало координат удобно выбрать на одном из его концов. Масса распределена равномерно по всей длине.
Ответ: центр тяжести расположен на расстоянии 1 м от любого конца стержня.
Условие. Грузы массами 2 кг и 6 кг находятся на расстоянии 4 м друг от друга. Начало координат совместим с грузом массой 2 кг, поэтому x₁ = 0, а координата второго груза x₂ = 4 м.
Ответ: центр тяжести находится на расстоянии 3 м от груза массой 2 кг, то есть в 1 м от груза массой 6 кг.
Условие. Плоская однородная пластина состоит из прямоугольника, из которого вырезано прямоугольное отверстие. Требуется найти центр тяжести оставшейся части и проверить устойчивость на заданном участке опоры. Численные размеры не заданы, поэтому запишем общий алгоритм расчёта.
Ответ: координаты получают формулами с отрицательным вкладом отверстия, а устойчивость определяют по положению вертикали центра тяжести относительно площади опоры.
Считать, что центр тяжести всегда совпадает с геометрическим центром. Так бывает только при подходящем распределении массы и симметрии. Проверьте однородность тела и наличие симметрии перед использованием этого свойства.
Усреднять координаты частей без учёта их масс. Простое среднее подходит лишь для равных масс, поэтому его часто ошибочно применяют к неодинаковым деталям. Всегда умножайте координату каждой части на её массу и только потом делите на общую массу.
Путать центр тяжести с точкой, в которой обязательно есть вещество. Центр тяжести может находиться в отверстии, например у кольца, потому что это расчётная точка. Проверьте, описывает ли задача положение равнодействующей, а не расположение материала.
Считать тело устойчивым, если центр тяжести находится над краем опоры. На самом краю равновесие предельное, а при выходе вертикали наружу тело опрокидывается. Для устойчивости линия действия силы тяжести должна проходить внутри площади опоры.
До изучения темы нужны сила тяжести, равнодействующая сил, момент силы, координаты и условие равновесия. Центр тяжести помогает решать задачи о равновесии тел и устойчивости конструкций, например определять возможность опрокидывания. Центр масс используется шире: в механике он описывает движение системы тел и помогает анализировать столкновения.
Всегда ли центр тяжести совпадает с центром тела?
Нет. Такое совпадение возможно у однородных тел симметричной формы, но у неоднородных или составных тел центр тяжести смещён в сторону большей массы. Поэтому положение точки определяют по распределению массы.
Может ли центр тяжести находиться вне тела?
Да, может. Например, у кольца центр тяжести находится в центре отверстия, где вещества нет. Это не мешает считать, что равнодействующая сил тяжести приложена к этой точке.
Чем центр тяжести отличается от центра масс?
Центр масс определяется только распределением массы и существует независимо от гравитационного поля. Центр тяжести описывает действие сил тяжести. В однородном поле тяжести эти точки совпадают.
Как найти центр тяжести неоднородного или составного тела?
Тело разбивают на простые части, для каждой находят массу и координаты центра тяжести. Затем вычисляют средневзвешенные координаты: координату каждой части умножают на её массу и складывают результаты.
Почему положение центра тяжести определяет устойчивость тела?
Сила тяжести действует по вертикали через центр тяжести. Если эта вертикаль проходит внутри площади опоры, сила не создаёт опрокидывающего момента; если выходит за край, тело может опрокинуться.
3. Центр тяжести
