§ 36. Применение условий равновесия тела

Определения и обозначения

Равновесие тела — состояние, при котором тело не имеет поступательного и вращательного ускорения. Поэтому ускорение центра масс a = 0, а угловое ускорение ε = 0. Это определение позволяет отдельно проверить, не движется ли тело целиком и не поворачивается ли оно.

Момент силы — мера способности силы вращать тело относительно оси. Его обозначают буквой M, а при перпендикулярном действии вычисляют по формуле M = F·l. Единица момента в СИ — Н·м.

Плечо силы — кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы; его обозначают буквой l. Линия действия — это прямая, вдоль которой направлена сила. Именно плечо, а не просто расстояние до точки приложения, определяет вращательный эффект силы.

Центр тяжести — точка приложения равнодействующей сил тяжести тела. Для однородного симметричного тела он обычно совпадает с геометрическим центром. По положению линии действия силы тяжести относительно площади опоры судят, сохранит ли тело устойчивость или начнёт опрокидываться.

Как это устроено

Поступательное и вращательное движения описывают разные стороны поведения тела, поэтому их нельзя заменять одним условием. Тело может не перемещаться, но вращаться под действием пары сил, и наоборот — двигаться без поворота. Значит, для полного равновесия нужно независимо проверить оба вида ускорения.

Из второго закона Ньютона для поступательного движения следует: mа = ΣF. Если тело не ускоряется, a = 0, а его масса не равна нулю, поэтому ΣF = 0. Это векторное равенство: силы должны компенсировать друг друга и по величине, и по направлению, что обычно проверяют отдельно по выбранным осям.

Вращательное движение описывается угловым ускорением ε, которое создаётся результирующим моментом сил. При ε = 0 результирующий момент равен нулю, поэтому записывают ΣM = 0. В плоских задачах удобно считать моменты, вызывающие вращение по часовой стрелке, положительными, а противоположные — отрицательными.

Ось моментов часто проводят через точку приложения неизвестной силы. Тогда линия действия этой силы пересекает ось, её плечо равно нулю, и момент не входит в уравнение. Это не меняет физику задачи, но позволяет найти другую неизвестную величину без лишних слагаемых.

Оба условия применяют к рычагам, балкам и опорам. Для подвешенного тела важно, чтобы линия действия силы тяжести проходила через точку подвеса, иначе возникнет момент и тело повернётся. Для опирающегося тела дополнительно проверяют, проходит ли эта линия внутри площади опоры.

Условия равновесия и их применение

Сначала определите, какие силы действуют на тело, и выберите удобные оси координат. Затем запишите уравнение ΣF = 0 и, если возможно вращение, уравнение ΣM = 0. Ось моментов лучше провести через опору или точку приложения неизвестной силы.

Разбор задач

Груз на горизонтальной опоре

Условие. Груз массой 10 кг покоится на горизонтальной опоре. Нужно найти силу реакции опоры и проверить равновесие. Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

1. На груз действуют сила тяжести mg вниз и реакция опоры N вверх.
2. По вертикальной оси записываем N − mg = 0, так как ускорение равно нулю.
3. Получаем N = mg = 10 · 10 = 100 Н, если принять g ≈ 10 Н/кг.

Ответ. Реакция опоры N = 100 Н. Силы равны по модулю и противоположны по направлению, поэтому ΣF = 0; моментов относительно вертикальной оси нет, так что равновесие выполняется.

Рычаг с двумя грузами

Условие. На концах невесомого рычага длиной 1,2 м действуют силы 30 Н и 90 Н. Найдём положение опоры, при котором рычаг равновесен. Обозначим расстояния от опоры до грузов l₁ и l₂.

1. Для вращательного равновесия моменты должны быть равны: 30l₁ = 90l₂.
2. Так как опора находится между концами, l₁ + l₂ = 1,2 м.
3. Из первого равенства l₁ = 3l₂. Тогда 4l₂ = 1,2, откуда l₂ = 0,3 м, а l₁ = 0,9 м.

Ответ. Опору нужно расположить на расстоянии 0,9 м от груза 30 Н и 0,3 м от груза 90 Н. Большая сила имеет меньшее плечо, поэтому её момент уравновешивается.

Балка на двух опорах

Условие. Однородная балка массой 20 кг и длиной 4 м опирается на концах. В точке на расстоянии 1 м от левой опоры стоит груз массой 10 кг. Найдём реакции опор RA и RB.

1. Силы вниз: вес балки 200 Н приложен в её середине, а вес груза 100 Н — на расстоянии 1 м от левой опоры.
2. Берём моменты относительно левой опоры: RB · 4 − 200 · 2 − 100 · 1 = 0.
3. Отсюда RB = 500/4 = 125 Н. Из ΣFу = 0: RA + RB − 200 − 100 = 0, поэтому RA = 175 Н.

Ответ. Реакции опор равны RA = 175 Н и RB = 125 Н. Их сумма равна общему весу 300 Н, а равенство моментов подтверждает отсутствие вращения балки.

Типичные ошибки

Учитывают только равенство сил. Так можно не заметить вращение тела под действием нескомпенсированных моментов. Проверяйте не только ΣF = 0, но и ΣM = 0, если силы способны поворачивать тело.

Неверно находят плечо. Часто за него принимают расстояние до точки приложения силы, хотя нужно перпендикулярное расстояние до линии действия. Проведите из оси прямой угол к линии силы и измерьте именно этот отрезок.

Ошибаются со знаком момента. Силы, вращающие тело в разные стороны, не должны иметь одинаковые знаки. Заранее выберите положительное направление вращения и придерживайтесь его во всём уравнении.

Учитывают нулевые моменты. Если линия действия силы проходит через ось, её плечо равно нулю, поэтому момент также равен нулю. Перед вычислением каждого момента проверьте, пересекает ли линия силы выбранную ось.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны второй закон Ньютона, сложение векторов и разложение сил на составляющие. Особенно полезно уметь выбирать направления осей и находить проекции сил.

Условия равновесия продолжают тему рычагов и простых механизмов, а также связаны с центром масс и статикой конструкций. Они объясняют работу опор и подвесов.

В инженерных задачах эти правила применяют при расчёте мостов, балок, подъёмных устройств и устойчивости тел. Поэтому школьные модели описывают реальные условия безопасности конструкций.

Что запомнить

• Равновесие означает отсутствие как поступательного, так и вращательного ускорения.
• Для поступательного равновесия векторная сумма всех сил должна быть равна нулю.
• Для вращательного равновесия сумма моментов всех сил относительно любой оси должна быть равна нулю.
• Момент силы равен произведению силы на её плечо.
• Плечо силы — перпендикулярное расстояние от оси до линии действия силы.
• Для удобства ось моментов выбирают через точку приложения неизвестной силы.
• Устойчивость зависит от положения линии действия силы тяжести относительно площади опоры.