1. Виды равновесия, равновесие тела на опоре

Определения и обозначения

Равновесие тела — состояние, при котором тело сохраняет покой относительно выбранной системы отсчёта. Для поступательного движения условие записывают так: ΣF = 0, то есть равнодействующая всех сил равна нулю. Это условие показывает, что тело не получает ускорения, но для тела, способного вращаться, нужно также учитывать равенство нулю результирующего момента сил.

Устойчивое равновесие — равновесие, при малом отклонении от которого возникает сила или момент сил, возвращающие тело в исходное положение. Примером служит шарик на дне чаши: после толчка он движется обратно к нижней точке. Такое определение помогает предсказать, будет ли система сама восстанавливаться после небольшого возмущения.

Неустойчивое равновесие — равновесие, при малом отклонении от которого тело ещё сильнее удаляется от исходного положения. Шарик на вершине выпуклой горки после толчка скатывается в сторону. Понятие нужно, чтобы отличать формальный покой тела от положения, которое легко нарушается.

Безразличное равновесие — равновесие, при малом перемещении из которого тело остаётся в новом положении равновесия. Так ведёт себя шарик на горизонтальной плоскости, если трением можно пренебречь. Этот вид показывает, что тело может сохранять покой не в одной, а во множестве положений.

Как это устроено

Покоящееся тело не меняет скорость, значит, его ускорение равно нулю. По второму закону Ньютона ускорение создаётся равнодействующей сил, поэтому при покое ΣF = 0. Если силы не скомпенсированы, тело начнёт двигаться с ускорением, а для протяжённого тела несбалансированный момент ещё и вызовет вращение.

Вид равновесия определяется тем, куда направлена сила тяжести после небольшого отклонения. У шарика в чаше линия действия силы тяжести проходит так, что возникает составляющая к углублению, поэтому шарик возвращается. На вершине горки такая составляющая направлена от вершины, а на горизонтальной плоскости она не заставляет шарик двигаться ни в одну горизонтальную сторону.

Устойчивость удобно объяснять через потенциальную энергию — энергию положения тела в поле тяжести. При малом отклонении из устойчивого положения центр тяжести поднимается, поэтому потенциальная энергия возрастает, и система стремится вернуться к меньшему значению энергии. В неустойчивом положении отклонение опускает центр тяжести, энергия убывает, поэтому движение продолжается от исходной точки.

Для тела на опоре сила тяжести направлена вертикально вниз и приложена условно к центру тяжести. Опора создаёт ответную силу, и равновесие сохраняется, если вертикальная проекция центра тяжести попадает внутрь площади соприкосновения с опорой. Тогда линия действия силы тяжести не создаёт опрокидывающего момента относительно края опоры.

При наклоне тела проекция центра тяжести приближается к границе площади опоры, поэтому запас устойчивости уменьшается. Когда проекция оказывается точно над краем, равновесие становится предельным: тело ещё может не двигаться, но малое дальнейшее отклонение создаёт момент опрокидывания. Если проекция вышла за границу, сила тяжести поворачивает тело вокруг края, и начинается опрокидывание.

Виды равновесия и равновесие тела на опоре

Сначала определите, что именно изменилось после отклонения: положение тела, его энергия или направление момента сил. Затем сравните ситуацию с признаками в последнем столбце. Для тела на опоре прежде всего проведите мысленно вертикаль через центр тяжести и проверьте, попадает ли она в границы площади опоры.

Разбор задач

Шарик в разных положениях

Условие. Определить вид равновесия шарика на дне чаши, на вершине выпуклой горки и на горизонтальной плоскости. Нужно рассмотреть малое отклонение от каждого исходного положения.

1. На дне чаши после отклонения шарик оказывается выше нижней точки, а составляющая силы тяжести направляет его обратно вниз. Следовательно, положение восстанавливается.
2. На вершине выпуклой горки любое малое смещение создаёт составляющую силы тяжести от вершины. Шарик продолжает удаляться от исходного положения.
3. На горизонтальной плоскости после перемещения высота шарика не меняется. При отсутствии горизонтальной силы он остаётся покоиться в новом месте.

Ответ: на дне чаши равновесие устойчивое, на вершине горки — неустойчивое, на горизонтальной плоскости — безразличное.

Прямоугольный брусок на поверхности

Условие. Прямоугольный брусок стоит на горизонтальной поверхности и наклонён так, что вертикальная проекция его центра тяжести остаётся внутри площади опоры. Определить, сохранит ли он равновесие.

1. Мысленно проводим вертикальную линию вниз от центра тяжести бруска. Она попадает на участок поверхности, ограниченный его основанием.
2. Пока линия не пересекла край основания, сила тяжести не создаёт опрокидывающего момента относительно этого края. Сила реакции опоры может уравновесить действие силы тяжести.
3. Значит, при заданном наклоне брусок остаётся в равновесии. Для окончательной проверки нужно убедиться, что скольжение не рассматривается как отдельная возможная причина движения.

Ответ: брусок сохранит равновесие, если проекция центра тяжести находится внутри площади опоры.

Опоры разной ширины

Условие. Два тела одинаковой массы стоят на опорах разной ширины. Нужно определить, какое из них опрокинется при меньшем наклоне.

1. Масса одинакова, поэтому силы тяжести имеют одинаковое значение. Решающее различие создаёт расстояние от проекции центра тяжести до края опоры.
2. У более широкой опоры проекция дольше остаётся внутри площади основания при наклоне. Чтобы достичь края, такому телу требуется больший угол отклонения.
3. У узкой опоры граница достигается раньше, поэтому запас устойчивости у неё меньше. При одинаковом наклоне сначала следует проверить, не вышла ли проекция за край именно этой опоры.

Ответ: при прочих равных условиях тело на более узкой опоре опрокинется при меньшем наклоне.

Типичные ошибки

Нулевая равнодействующая сама по себе гарантирует устойчивость. Равнодействующая равная нулю описывает равновесие в данный момент, но не предсказывает поведение после отклонения. Проверьте, куда направлены сила или момент сразу после малого смещения.

Устойчивое и неустойчивое равновесие путают. Ошибка появляется, если смотреть только на исходный покой и не анализировать дальнейшее движение. Мысленно отклоните тело: возврат означает устойчивость, а усиление отклонения — неустойчивость.

Центр тяжести должен находиться строго над серединой опоры. Это требуется не всегда, потому что важна не середина, а вся площадь основания. Проведите вертикальную проекцию центра тяжести и сравните её с границами опоры.

Опрокидывание начинается при достижении края. В этот момент тело находится в предельном равновесии, а не обязательно уже падает. Проверьте, вышла ли проекция за край: именно после выхода появляется условие для опрокидывания.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны понятия силы тяжести, равнодействующей сил и условия равновесия тела. Без них невозможно объяснить, почему тело сохраняет покой или начинает двигаться.

Положение центра тяжести позволяет анализировать равновесие и опрокидывание. По его вертикальной проекции определяют, остаётся ли линия действия силы тяжести внутри площади опоры.

Дальше эти знания пригодятся при изучении моментов сил, рычагов и устойчивости конструкций. Те же идеи применяют при проектировании мебели, башен, машин и других сооружений.

Что запомнить

• При равновесии покоящегося тела равнодействующая действующих сил равна нулю.
• Вид равновесия определяют по поведению тела при малом отклонении.
• Устойчивое равновесие возвращает тело к исходному положению.
• При неустойчивом равновесии малое отклонение увеличивается.
• При безразличном равновесии тело сохраняет равновесие в новом положении.
• Тело на опоре сохраняет равновесие, если вертикальная проекция центра тяжести находится внутри площади опоры.
• Выход проекции центра тяжести за край площади опоры приводит к опрокидыванию.