2. Лестница у стены

Определения и обозначения

Лестницу будем считать однородным твёрдым телом длины L и массы m. Однородность означает, что масса распределена по длине равномерно, поэтому центр тяжести находится посередине. Угол α — это угол между лестницей и полом; он понадобится, чтобы находить плечи сил и их компоненты.

Плечо силы — кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы. Например, если сила направлена горизонтально, её плечо относительно нижнего конца лестницы измеряется вертикально. Плечо нужно потому, что одна и та же сила сильнее поворачивает тело, когда приложена дальше от оси.

Момент силы относительно точки опоры равен произведению силы на её плечо: M = Fd. Он показывает, насколько сила стремится повернуть тело; направление вращения учитывают знаком момента. Для равновесия сумма моментов всех сил должна быть равна нулю.

Предельное равновесие — состояние, в котором сила трения достигла максимума и лестница готова начать скользить. Максимальная сила трения покоя равна μN, где μ — коэффициент трения, а N — нормальная реакция пола. Если равновесие не предельное, трение может быть меньше этого значения.

Как это устроено

Удобно считать стену гладкой, а пол шероховатым: так модель выделяет главный источник удерживающей силы. Сила тяжести тянет лестницу вниз, а пол давит на неё вверх и мешает нижнему концу сдвинуться. Стена толкает верх лестницы горизонтально, поэтому пол должен создавать направленную к стене силу трения.

У однородной лестницы сила тяжести приложена к центру тяжести, который расположен на половине её длины. Поэтому в расчёте вращения её плечо берётся от середины, а не от конца лестницы. Реакция гладкой стены перпендикулярна стене: у гладкой поверхности нет силы трения, направленной вдоль неё.

Условия равновесия поступательного движения требуют, чтобы силы компенсировали друг друга по каждому направлению. По горизонтали реакция стены уравновешивается силой трения пола: Fтр = Rстены. По вертикали нормальная реакция пола уравновешивает вес лестницы, поэтому N = mg.

Для расчёта вращения удобно выбрать точкой отсчёта нижний конец лестницы. Сила трения и нормальная реакция пола приложены именно там, поэтому их плечи равны нулю и они не создают момента относительно этой точки. Остаются моменты реакции стены и силы тяжести, что упрощает уравнение.

Момент реакции стены равен Rстены L sinα, а момент силы тяжести — mg(L/2)cosα. При равновесии эти моменты равны, откуда Rстены = (mg/2)ctgα. На границе скольжения Fтр = μN, поэтому из условия Fтр = Rстены следует tanα ≥ 1/(2μ). Чем меньше α, тем больше нужное трение и риск скольжения.

Силы, действующие на лестницу, и их моменты

Сначала по таблице проверьте, какие силы создают момент относительно выбранной точки, а какие приложены прямо на оси. Затем составьте отдельные уравнения равновесия по горизонтали, вертикали и моментам. Такое разделение помогает не смешивать силы с их вращательным действием.

Разбор задач

1. Давление на стену и реакция пола

Однородная лестница длины L и массы m опирается на гладкую вертикальную стену под углом α к полу. Нужно найти силу давления на стену и реакцию пола. Реакция стены по модулю равна силе давления лестницы на стену, а реакция пола включает нормальную силу и трение.

1. Изобразим вес mg в середине, реакцию стены Rстены горизонтально, нормальную реакцию N вверх и трение Fтр к стене.
2. Возьмём моменты относительно нижнего конца: Rстены L sinα = mg(L/2)cosα. Отсюда Rстены = (mg/2)ctgα.
3. Из равновесия по горизонтали Fтр = Rстены, а по вертикали N = mg. Модуль полной реакции пола: Rпола = √(N² + Fтр²).

Ответ: давление на стену равно (mg/2)ctgα; нормальная реакция пола равна mg, сила трения — (mg/2)ctgα, а полная реакция имеет модуль mg√(1 + ¼ctg²α).

2. Минимальный угол при трении

Для той же лестницы коэффициент трения пола равен μ. Требуется найти наименьший угол α, при котором лестница может оставаться в равновесии. Проверим, не превосходит ли сила трения значение μN.

1. Из предыдущего расчёта следует, что нужная сила трения равна Rстены = (mg/2)ctgα.
2. Максимальная сила трения равна μN = μmg. Для нескольжения необходимо (mg/2)ctgα ≤ μmg.
3. Сократим mg и преобразуем неравенство: ctgα ≤ 2μ, или tanα ≥ 1/(2μ). Минимальное значение угла — αmin = arctg(1/(2μ)).

Ответ: лестница не скользит, если α ≥ arctg(1/(2μ)). При меньшем угле требуемая сила трения превышает доступную, и равновесие нарушается.

3. Человек на лестнице

На лестницу массы m встаёт человек массы mч на расстоянии s от её нижнего конца вдоль лестницы. Нужно определить положение, при котором лестница начнёт скользить. Угол α и коэффициент трения μ считаются заданными, лестница однородна, а человек не перемещается вбок.

1. Моменты обеих сил тяжести направлены одинаково. Их суммарный момент относительно нижнего конца равен g cosα(mL/2 + mчs).
2. Момент реакции стены уравновешивает этот момент: Rстены L sinα = g cosα(mL/2 + mчs). Поэтому Fтр = Rстены = g ctgα(m/2 + mчs/L).
3. На границе скольжения Fтр = μN, где N = (m + mч)g. Приравняем выражения и найдём критическое положение: sкр = (L/mч)[μ(m + mч)tanα − m/2].

Ответ: при s = sкр лестница находится на границе скольжения, а при большем s начинает скользить, если критическая точка попадает на лестницу. Если sкр больше L, человек может подняться до верхнего конца без скольжения в рамках данной модели; если sкр меньше нуля, исходное равновесие уже невозможно.

Типичные ошибки

Силу тяжести иногда прикладывают к нижнему или верхнему концу лестницы, потому что там нагляднее изображать опоры. Но у однородной лестницы вес приложен к центру тяжести, то есть к середине. Проверьте себя: точка приложения веса должна соответствовать распределению массы тела.

Реакцию гладкой стены ошибочно направляют вертикально или вдоль лестницы. Это происходит, когда путают реакцию опоры с силой тяжести или направлением самого предмета. Проверка проста: реакция гладкой поверхности всегда перпендикулярна поверхности, значит, у вертикальной стены она горизонтальна.

В моменте силы вместо плеча подставляют длину лестницы. Длина подходит только тогда, когда она совпадает с перпендикулярным расстоянием до линии действия силы, а в наклонной задаче это часто не так. Перед вычислением найдите кратчайшее расстояние от выбранной точки до линии действия силы.

Ещё одна ошибка — сразу записать Fтр = μN. Так делают, запоминая формулу максимального трения, но равенство справедливо только на границе скольжения. В обычном равновесии трение принимает нужное значение, не превышающее μN; проверяйте, задано ли предельное состояние.

Связь с другими темами

Для решения нужны условия равновесия тела, разложение сил на компоненты и закон сухого трения. Понятия центра тяжести, плеча и момента объясняют, как силы могут не только перемещать, но и поворачивать предмет. Эти же способы применяют при оценке устойчивости стремянок, опор, балок, кранов и других конструкций.

Что запомнить

• На лестницу у стены действуют сила тяжести, реакции стены и пола, а также сила трения.
• Сила тяжести однородной лестницы приложена к её середине.
• Реакция гладкой стены перпендикулярна стене.
• Для равновесия сумма сил и сумма моментов относительно любой точки должны быть равны нулю.
• Момент силы равен произведению силы на её плечо.
• При предельном равновесии сила трения равна μN.
• Чем меньше угол наклона лестницы к полу, тем выше риск её скольжения.