2. Лестница у стены

Определения и обозначения

Равновесие тела — состояние, при котором тело не изменяет своего движения. Для покоящейся лестницы это означает, что она не перемещается и не вращается; поэтому нужно проверить условия равновесия сил и моментов.

Плечо силы — кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы, то есть перпендикуляр к этой линии. Оно показывает, насколько эффективно сила способна поворачивать лестницу, и нужно для расчёта момента.

Момент силы характеризует её вращательное действие относительно выбранной оси. Его модуль вычисляют по формуле M = F·l, где F — модуль силы, а l — её плечо; единица момента — Н·м. Чем больше сила или плечо, тем сильнее вращательное действие.

Центр тяжести — точка приложения равнодействующей сил тяжести, действующих на тело. У однородной лестницы одинаковой плотности он находится в её середине, поэтому силу тяжести при расчёте прикладывают к середине лестницы.

Как это устроено

Удобно выбрать осью вращения нижний конец лестницы, где она опирается на пол. Тогда нормальная реакция пола и сила трения приложены прямо на оси, а их линии действия проходят через неё, поэтому они не создают момента относительно этой точки. Это упрощает расчёт: в уравнении моментов остаются только силы с ненулевыми плечами.

На схеме сил покажи вес лестницы в её центре тяжести вертикально вниз, реакцию стены в верхней точке горизонтально от стены и нормальную реакцию пола в нижней точке вертикально вверх. Сила трения пола приложена там же и направлена вдоль пола; её направление выбирают против возможного скольжения нижнего конца. Если стена гладкая, она не создаёт силу трения, а если шероховатая — её трение нужно отдельно добавить к схеме.

Плечо находят не от оси до точки приложения, а от оси до линии действия силы, измеряя расстояние под прямым углом. Для силы тяжести проводят вертикаль через середину лестницы, а для горизонтальной реакции стены — горизонталь через верхний конец. Направление вращения определяют мысленно: сила тяжести обычно опускает верх лестницы, а реакция стены стремится поднять его.

Поскольку силы могут поворачивать лестницу в противоположные стороны, в равновесии их вращательные действия должны компенсироваться. Поэтому сумму моментов, вращающих в одну сторону, приравнивают сумме моментов, вращающих в другую. Такой способ равносилен записи суммы моментов с учётом знаков, но помогает не перепутать направления.

Из равенства моментов можно найти неизвестную реакцию стены или проверить, возможна ли заданная конфигурация. Но равенство моментов описывает только отсутствие вращения: для неподвижности лестницы также должны уравновешиваться силы по горизонтали и вертикали. Например, горизонтальная реакция стены должна быть скомпенсирована трением у пола, иначе нижний конец начнёт скользить.

Силы, действующие на лестницу, и их моменты относительно опоры у пола

В таблице α — угол лестницы с полом, а Nст — модуль реакции стены. Плечо каждой силы определяется по её линии действия, а не по расстоянию до точки приложения. Сверяй направления вращения: в равновесии моменты по часовой стрелке и против неё равны.

Разбор задач

Момент силы тяжести

Однородная лестница длиной l и массой m прислонена к гладкой вертикальной стене. Найдём момент силы тяжести относительно нижнего конца, если лестница образует с полом угол α. Стена гладкая, поэтому её реакция направлена горизонтально, но для вычисления момента веса она не нужна.

1. Выбираем нижний конец лестницы за ось. Центр тяжести однородной лестницы находится на расстоянии l/2 вдоль неё.
2. Сила тяжести mg направлена вертикально вниз. Перпендикулярное расстояние от оси до её вертикальной линии действия равно горизонтальной проекции половины лестницы: d = (l/2) cos α.
3. Подставляем плечо в формулу момента: M = mgd = mg(l/2) cos α. Сила поворачивает лестницу по часовой стрелке.

Ответ: M = (mgl/2) cos α.

Реакция гладкой стены

Лестница длиной l и массой m покоится у гладкой стены, образуя с полом угол α. Требуется найти реакцию стены. Поскольку лестница однородна, её вес приложен к середине, а реакция стены действует горизонтально на верхний конец.

1. Берём моменты относительно нижней опоры: реакции пола и трения пола не входят в уравнение моментов, так как их плечи равны нулю.
2. Плечо реакции стены равно высоте верхнего конца, l sin α. Плечо веса равно (l/2) cos α; эти силы вращают лестницу в противоположных направлениях.
3. Приравниваем моменты: Nст l sin α = mg(l/2) cos α. Сокращаем l и получаем Nст = (mg/2) ctg α.

Ответ: реакция стены равна (mg/2) ctg α.

Трение у пола

Лестница заданной массы стоит под углом α у шероховатой стены; нужно определить минимальное трение у пола. Чтобы получить однозначный ответ, зададим стандартную модель: трением стены пренебрегаем, а сила трения действует только у пола. Если трение стены существенно, дополнительно понадобятся данные о нём.

1. Сначала составляем равновесие моментов относительно нижней опоры. Для этой модели реакция стены Nст = (mg/2) ctg α, как в предыдущей задаче.
2. По горизонтали сила трения пола уравновешивает горизонтальную реакцию стены: Fтр = Nст. Поэтому необходимое трение равно (mg/2) ctg α.
3. Это значение — минимальная сила трения, которая должна быть доступна для равновесия. Если известен коэффициент трения μ, дополнительно проверяют условие Fтр ≤ μNпол, где Nпол — нормальная реакция пола.

Ответ: при принятой модели Fтр,min = (mg/2) ctg α; без уточнения сил трения у стены задача может иметь другие условия решения.

Типичные ошибки

Плечо путают с расстоянием от оси до точки приложения силы. Ошибка возникает, когда расстояние вдоль лестницы принимают за плечо, не проверяя направление силы. Проведи линию действия и опусти к ней перпендикуляр от оси: его длина и есть плечо.

Иногда считают, что любая сила, приложенная не в оси, обязательно создаёт момент. Но момент равен нулю, если линия действия проходит через ось, даже когда точка приложения удалена от неё. Проверь не только точку приложения, но и положение всей линии действия силы.

Моменты разных сил складывают как величины, не учитывая направление вращения. Так получают неверное уравнение, потому что одни силы могут поворачивать лестницу по часовой стрелке, а другие — против. Перед записью равновесия отметь направления и приравняй суммы моментов, вращающих в противоположные стороны.

Ещё одна ошибка — использовать только равенство моментов и считать задачу решённой. Оно исключает вращение, но не гарантирует отсутствие движения лестницы целиком. Проверь также, равна ли нулю сумма горизонтальных и вертикальных сил.

Связь с другими темами

Для разбора лестницы нужны умения изображать силы, раскладывать их по направлениям и применять условия равновесия сил. Также используются сила тяжести, реакция опоры и сила трения: без этих понятий нельзя составить верную схему. Моменты сил помогают анализировать рычаги, блоки и равновесие твёрдых тел. Выбор удобной оси, например точки опоры, позволяет упростить расчёт и в других задачах механики.

Что запомнить

• Момент силы относительно оси равен произведению силы на её плечо: M = F·l.
• Плечо — перпендикуляр от оси вращения до линии действия силы.
• Сила, линия действия которой проходит через ось, момента относительно этой оси не создаёт.
• Для равновесия сумма моментов сил, вращающих тело в одну сторону, равна сумме моментов сил, вращающих его в другую.
• Выбор оси в точке опоры часто упрощает задачу: момент силы, приложенной в этой точке, равен нулю.
• Для полного равновесия тела необходимо учитывать и вращательное, и поступательное движение.