"Физика. Базовый и углубленный уровни (в 2 частях) ", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.
Чтобы закатить колесо на ступеньку, нужно приподнять его центр тяжести, приложив силу. В момент начала подъёма колесо поворачивается вокруг угла ступеньки, который становится точкой опоры. Поэтому задачу удобно решать с помощью правила моментов сил: момент приложенной силы должен уравновесить момент силы тяжести. Результат зависит от радиуса колеса, высоты ступеньки и направления силы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Колесо — круглое тело радиуса R, которое в задаче можно считать жёстким. Радиус R — расстояние от центра колеса до его края; он нужен, чтобы определить положение центра относительно угла ступеньки. Масса колеса обозначается m, а сила тяжести равна mg, где g — ускорение свободного падения.
Ступенька — препятствие высотой h, на верхний угол которого колесо опирается в момент начала подъёма. Этот угол обозначим A: именно относительно него удобно рассматривать поворот колеса. Если h меньше R, колесо может начать подниматься, не проходя сквозь ступеньку.
Момент силы показывает, насколько сила стремится повернуть тело вокруг выбранной точки. Его модуль равен произведению силы на плечо: M = Fl, где l — кратчайшее, перпендикулярное расстояние от точки опоры до линии действия силы. Это определение позволяет сравнить действие силы, толкающей колесо, и силы тяжести.
Пока колесо стоит на горизонтальной поверхности, оно опирается на неё внизу. Когда его толкают к ступеньке, край колеса упирается в верхний угол. Если сила недостаточна, колесо не поднимается; если достаточна, оно начинает поворачиваться вокруг угла A. Поэтому для поиска порогового значения силы рассматривают именно этот момент начала поворота.
В момент контакта расстояние от угла A до центра колеса равно радиусу R: центр находится над и правее угла. Вертикальное расстояние от угла до центра равно R − h, потому что центр расположен на высоте R над землёй, а угол — на высоте h. Из прямоугольного треугольника горизонтальное расстояние от A до центра составляет √(R² − (R − h)²), то есть √(2Rh − h²).
Сила тяжести направлена вертикально вниз через центр колеса. Поэтому её плечо относительно A — не радиус и не расстояние до центра, а найденное горизонтальное расстояние √(2Rh − h²). Эта сила создаёт момент, который стремится повернуть колесо вниз, обратно к поверхности. Такой выбор направления момента помогает понять, почему тяжёлое колесо труднее поднять.
Если колесо толкают горизонтально за ось, линия действия силы проходит через центр. Перпендикулярное расстояние от A до этой горизонтальной линии равно вертикальному расстоянию до центра, то есть R − h. Толкающая сила создаёт момент в сторону подъёма. При начале движения моменты уравновешены: F(R − h) = mg√(2Rh − h²).
Отсюда получают F = mg√(2Rh − h²)/(R − h). Это пороговая сила для указанного направления и точки приложения: если сила больше, колесо может начать подниматься, а если меньше — её момента недостаточно. При h, близком к R, плечо приложенной горизонтальной силы становится малым, поэтому для подъёма требуется особенно большая сила.
| Сила или величина | Направление или значение | Плечо относительно A | Роль в повороте |
|---|---|---|---|
| Сила тяжести | Вертикально вниз, mg | √(2Rh − h²) | Препятствует подъёму |
| Толкающая сила | Горизонтально, F | R − h | Поднимает колесо |
| Высота ступеньки | h, где h < R | Определяет геометрию | Влияет на оба плеча |
Пользуйся таблицей после того, как выберешь точку опоры: здесь ею служит угол A. Сначала подставь плечи в правило моментов, а затем проверь, что каждое плечо измерено перпендикулярно соответствующей силе. Так проще избежать подмены плеча расстоянием до центра или точки приложения силы.
Колесо массой 20 кг и радиусом 0,50 м нужно закатить на ступеньку высотой 0,10 м. К оси прикладывают горизонтальную силу. Найдём минимальную силу в момент начала подъёма, считая g = 10 Н/кг и пренебрегая прочими силами. Сначала важно установить, вокруг какой точки колесо начнёт поворачиваться: это верхний угол ступеньки.
Обозначим точку опоры A и запишем данные: m = 20 кг, R = 0,50 м, h = 0,10 м. Условие h < R выполняется, значит геометрическая схема подъёма возможна. Вес колеса равен mg = 20 · 10 = 200 Н.
Найдём плечо горизонтальной силы. Центр колеса находится на высоте R, поэтому расстояние по вертикали от угла до центра равно R − h = 0,50 − 0,10 = 0,40 м. Это и есть плечо F, так как сила направлена горизонтально.
Найдём плечо силы тяжести по геометрии. Горизонтальное расстояние от угла до центра равно √(R² − (R − h)²) = √(0,50² − 0,40²) = √0,09 = 0,30 м. Оно является плечом веса, поскольку вес направлен вертикально.
При начале подъёма моменты уравновешены: F · 0,40 = 200 · 0,30. Отсюда F = 60/0,40 = 150 Н. Проверка размерности: ньютон-метры в левой и правой частях равенства моментов совпадают.
Ответ: минимальная горизонтальная сила равна 150 Н. Если приложить меньшую силу, её момент не сможет уравновесить момент силы тяжести относительно угла ступеньки. Результат относится к заданной модели и не учитывает потери из-за деформации или трения.
Принимают радиус R за плечо силы тяжести. Так делают, потому что центр колеса находится от угла на расстоянии R, но плечо — это перпендикуляр к линии действия силы. Для проверки проведи мысленно вертикальную линию через центр: расстояние до неё от угла и будет плечом веса.
Для горизонтальной силы берут расстояние от угла до центра по диагонали. Диагональ равна R, но не перпендикулярна горизонтальной линии действия силы. Проверь себя, опустив перпендикуляр от точки опоры к этой линии: он вертикален и равен R − h.
Сравнивают сами силы и забывают об их плечах. Большая сила не обязательно создаёт больший момент, если действует с коротким плечом. Записывай произведение силы на плечо для каждой силы — так сразу видно, что именно нужно уравновесить.
Считают, что момент силы тяжести помогает поднять колесо. Вес направлен вниз, и относительно верхнего угла он стремится вернуть колесо к нижнему положению. Проверь направление поворота: толкающая сила и вес должны создавать моменты противоположных направлений в момент равновесия.
Задача опирается на понятие момента силы и правило равновесия вращательного движения: суммарный момент относительно точки опоры равен нулю. Геометрию плеч помогает находить теорема Пифагора, а вычисления используют связь силы тяжести с массой тела. Похожий подход применяют при анализе рычагов, дверных ручек и других ситуаций, где сила вызывает поворот.
В начале подъёма колесо поворачивается вокруг верхнего угла ступеньки.
Плечо силы — перпендикулярное расстояние от точки опоры до линии действия силы.
Для горизонтального толчка за ось плечо силы равно R − h, а плечо веса — √(2Rh − h²).
Минимальную силу находят из равенства моментов: F(R − h) = mg√(2Rh − h²).
Почему колесо поворачивается вокруг угла ступеньки?
В начале подъёма колесо касается ступеньки её верхним углом, и в этот момент угол служит опорой. Колесо начинает поворачиваться вокруг него, если приложенная сила создаёт достаточный момент.
Как найти минимальную горизонтальную силу, чтобы закатить колесо?
Рассмотрите момент сил относительно угла ступеньки и приравняйте момент приложенной силы к моменту силы тяжести. Если радиус колеса R, масса m, а высота ступеньки h, то F = mg√(2Rh − h²)/(R − h), где h < R.
Почему силу прикладывают к оси колеса?
В типовой задаче сила приложена горизонтально к оси, то есть к центру колеса. Такое условие позволяет определить её плечо относительно угла ступеньки и сравнить моменты сил.
3. Колесо и ступенька
