§ 35. Условия равновесия тела

Определения и обозначения

Равновесие тела — состояние, при котором тело покоится или движется поступательно и равномерно относительно выбранной системы отсчёта. Поступательное движение — движение без вращения, при котором все точки тела перемещаются одинаково. Определение помогает отличить равновесие от движения с ускорением или поворотом.

Плечо силы — кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы. Линия действия — прямая, вдоль которой направлена сила; плечо всегда измеряют по перпендикуляру к ней. Это расстояние нужно, чтобы оценить, насколько эффективно сила поворачивает тело.

Момент силы характеризует вращательное действие силы относительно оси. Его модуль равен произведению силы на плечо: M = F · l, где F — модуль силы, а l — её плечо. Момент показывает не только влияние величины силы, но и то, насколько далеко от оси проходит её линия действия.

Условия равновесия тела — требования к силам и их моментам, при выполнении которых тело находится в равновесии. Для твёрдого тела в инерциальной системе отсчёта проверяют равнодействующую и сумму моментов. Такое определение подсказывает, какие величины необходимо найти или сравнить в задаче.

Как это устроено

Если равнодействующая всех сил равна нулю, ускорение центра масс тела равно нулю по второму закону Ньютона. Значит, скорость центра масс не меняется: покоящееся тело не начнёт поступательно двигаться, а уже движущееся не станет разгоняться или тормозить. Однако это условие описывает только поступательное движение и ничего само по себе не говорит о вращении.

Представьте две равные и противоположно направленные силы, приложенные к разным сторонам тела. Их равнодействующая равна нулю, но силы могут поворачивать тело в одну и ту же сторону. Причина в том, что линии действия не совпадают и действуют на разных расстояниях от оси. Поэтому для проверки равновесия нужно отдельно учитывать вращательное действие сил.

Модуль момента зависит и от силы, и от её плеча: M = F · l. Одна и та же сила сильнее поворачивает тело, если её плечо больше; увеличить момент можно также, увеличив силу. Если сила направлена вдоль линии, проходящей через ось, перпендикулярное расстояние до линии равно нулю. Поэтому такая сила не создаёт момента относительно этой оси, хотя может влиять на поступательное движение.

Чтобы складывать моменты, выбирают положительное направление вращения, например против часовой стрелки. Моменты сил, поворачивающих тело в выбранную сторону, записывают со знаком плюс, а противоположные — со знаком минус. При равновесии вращения сумма моментов равна нулю: противоположные вращательные действия компенсируют друг друга. Равенство модулей моментов не требуется, если они направлены одинаково.

Таким образом, условия равновесия твёрдого тела в инерциальной системе отсчёта должны выполняться одновременно: равнодействующая сил равна нулю, а сумма моментов относительно выбранной оси равна нулю. Первое условие не позволяет центру масс ускоряться, второе исключает угловое ускорение. Если хотя бы одно из них нарушено, тело не сохраняет состояние равновесия. В задачах это означает, что нужно составить и проверить оба типа уравнений.

Условия равновесия твёрдого тела

Сначала определите, какие силы приложены к телу, и проверьте их равнодействующую. Затем выберите ось, задайте знаки моментов и проверьте их сумму. Для вывода о равновесии в целом нужны оба условия, а формула момента помогает рассчитать вклад каждой силы.

Разбор задач

Задача 1. К телу приложены две горизонтальные силы 6 Н и 6 Н в противоположных направлениях, линии действия совпадают. Определите, может ли тело находиться в равновесии. Проверим оба условия: равнодействующую сил и вращательное действие. Совпадение линий действия важно, потому что оно исключает плечо пары сил.

1. Сложим силы с учётом направлений: 6 Н − 6 Н = 0. Следовательно, равнодействующая равна нулю и центр масс не получает ускорения.
2. Так как линии действия совпадают, силы не образуют пару. Их моменты относительно любой оси, перпендикулярной плоскости действия и проходящей через линию сил, равны нулю; суммарный момент также равен нулю.
3. Оба условия равновесия выполнены. Ответ: тело может находиться в равновесии, если до приложения сил оно не вращалось и остальные действующие силы также уравновешены.

Задача 2. Однородная балка длиной 2 м закреплена на опоре посередине. К концам приложены вниз силы 10 Н и 15 Н. Найдём, какую силу и где нужно приложить, чтобы уравновесить балку. Опора находится на расстоянии 1 м от каждого конца, поэтому плечи крайних сил равны 1 м.

1. Выберем опору за ось. Сила 10 Н создаёт момент 10 Н·м, а сила 15 Н — 15 Н·м; эти моменты направлены в противоположные стороны.
2. Равнодействующий момент крайних сил по модулю равен 15 − 10 = 5 Н·м и направлен в сторону действия силы 15 Н. Для равновесия нужен момент 5 Н·м в обратную сторону.
3. Если приложить дополнительную силу вниз на левом конце, её плечо будет 1 м. Из уравнения F · 1 м = 5 Н·м получаем F = 5 Н. Ответ: сила 5 Н вниз на левом конце; возможны и другие положения, если сила создаёт противоположный момент 5 Н·м.

Задача 3. Лестница массой 20 кг прислонена к гладкой вертикальной стене и стоит на шероховатом полу. Нужно определить реакции опор при заданных геометрических размерах лестницы. Численных размеров и угла в условии нет, поэтому получить численный ответ невозможно; запишем общий способ решения. Сила трения возникает у пола, а гладкая стена действует на лестницу только горизонтальной реакцией.

1. Изобразим силы: вес mg вниз из центра однородной лестницы, реакцию стены горизонтально, нормальную реакцию пола вверх и силу трения вдоль пола. Для равновесия по горизонтали трение уравновешивает реакцию стены, а по вертикали нормальная реакция пола равна mg.
2. Запишем моменты относительно нижнего конца лестницы. Тогда реакции пола приложены к выбранной точке и момента не дают; момент веса равен mg · (L/2) · cos α, а момент реакции стены — Rст · L · sin α.
3. Приравняем моменты: Rст · L · sin α = mg · (L/2) · cos α. Отсюда Rст = (mg/2) · ctg α, а сила трения равна Rст; нормальная реакция пола равна mg. Ответ: нужны длина и угол α, чтобы вычислить численные реакции.

Типичные ошибки

• Считать нулевую равнодействующую достаточной. Тогда можно пропустить пару сил, которая вращает тело без поступательного ускорения. Ошибку допускают, проверяя только сумму сил; для самопроверки отдельно составьте сумму моментов.
• Брать плечо до точки приложения силы. Это расстояние часто заметно, поэтому его легко принять за нужное. Но момент зависит от перпендикулярного расстояния до всей линии действия; проведите перпендикуляр от оси и измерьте его длину.
• Складывать моменты без знаков. Так моменты, вращающие в разные стороны, могут ошибочно оказаться сложенными, а не компенсированными. Перед вычислением выберите положительное направление и проверьте, куда повернула бы тело каждая сила.
• Менять ось моментов в ходе решения без пересчёта. При новой оси меняются плечи, а иногда и удобство определения направлений. Зафиксируйте выбранную точку до записи уравнения; если ось всё же меняется, заново найдите все плечи и знаки.

Связь с другими темами

Для решения задач о равновесии нужны законы Ньютона, понятия силы и равнодействующей, а также умение строить схему сил. Без этой основы нельзя правильно записать условие по силам и определить, какие моменты создают приложенные силы. Дальше эти знания применяют в статике и при изучении устойчивости тел. Они помогают анализировать балки, рычаги, лестницы и опоры.

Что запомнить

• Равновесие тела требует выполнения двух условий одновременно.
• Равнодействующая всех сил должна быть равна нулю.
• Сумма моментов всех сил относительно выбранной оси должна быть равна нулю.
• Модуль момента силы равен произведению силы на её плечо.
• Плечо — перпендикуляр от оси до линии действия силы.
• При сложении моментов учитывают направление вращения.