3. Гладкая горка и шайба

Определения и обозначения

Гладкая горка — наклонная поверхность, на которой трением между шайбой и поверхностью пренебрегают. «Гладкая» здесь не означает, что шайба совсем не взаимодействует с поверхностью: просто сила трения в модели отсутствует. Это допущение позволяет выделить действие силы тяжести и реакции опоры.

Сила реакции опоры — сила, с которой поверхность действует на шайбу перпендикулярно своей плоскости. Её обозначают N; направление силы показывает, как поверхность поддерживает шайбу и не даёт ей провалиться сквозь горку. Реакцию опоры нужно учитывать даже тогда, когда трения нет.

Угол наклона горки α — угол между поверхностью горки и горизонтальным направлением. Чем он больше, тем круче спуск. Этот угол нужен, чтобы определить, какая часть силы тяжести разгоняет шайбу вдоль поверхности.

Составляющие силы тяжести — части силы тяжести, направленные вдоль горки и перпендикулярно ей. Их обозначают соответственно mg sin α и mg cos α, где m — масса шайбы, а g — ускорение свободного падения. Такое разложение помогает применять второй закон Ньютона отдельно для каждого направления.

Как это устроено

На шайбу, скользящую по гладкой горке, действуют сила тяжести и сила реакции опоры. Сила трения могла бы возникнуть при взаимодействии поверхностей, но по условию модели ею пренебрегают. Других сил, например толчка руки, после прекращения толкания нет. Поэтому именно эти две силы определяют ускорение шайбы.

Силу тяжести удобно представить как сумму двух векторов: один направлен вдоль горки, другой — перпендикулярно ей. Это не новые силы, а способ описать действие одной силы в выбранных направлениях. В прямоугольном треугольнике сил угол α связан с составляющими так, что вдоль горки получается mg sin α, а поперёк неё — mg cos α. Разложение позволяет не смешивать движение вниз по склону с давлением шайбы на поверхность.

В перпендикулярном поверхности направлении шайба не отрывается от горки и не проходит сквозь неё, поэтому её ускорение там равно нулю. Реакция опоры направлена от поверхности, а поперечная составляющая силы тяжести — к поверхности; они уравновешивают друг друга. Из второго закона Ньютона следует N − mg cos α = 0, значит, N = mg cos α. Это равенство верно для прямой горки постоянного наклона, когда нет ускорения поперёк неё.

Вдоль горки реакция опоры не действует: она направлена поперёк поверхности. Поэтому результирующая сила вдоль наклона равна mg sin α. По второму закону Ньютона ma = mg sin α; после деления на массу получаем a = g sin α. Чем больше составляющая силы тяжести вдоль горки, тем больше ускорение.

Ускорение направлено вниз по горке, потому что туда направлена неуравновешенная составляющая силы тяжести. Масса сокращается в уравнении: более тяжёлая шайба испытывает большую силу, но для её разгона требуется пропорционально большая сила. Поэтому при одинаковом наклоне лёгкая и тяжёлая шайбы имеют одинаковое ускорение. При α = 0 поверхность горизонтальна и ускорение вдоль неё равно нулю.

Силы и движение шайбы на гладкой горке

В таблице направление указано относительно поверхности горки, а формулы относятся к прямой горке постоянного наклона. Чтобы решать задачу, сначала выберите оси вдоль поверхности и перпендикулярно ей, затем разберите силы по этим осям. Знак ускорения зависит от выбранного положительного направления; его величина равна g sin α.

Разбор задач

Задача 1. Шайба массой 0,2 кг скользит по гладкой горке с углом наклона 30°. Найдите её ускорение и силу реакции опоры. Нужно рассмотреть силы отдельно вдоль поверхности и перпендикулярно ей, поскольку движение и взаимодействие с опорой связаны с разными направлениями. Возьмём g = 9,8 м/с².

1. Вдоль горки действует составляющая силы тяжести, поэтому a = g sin 30° = 9,8 · 0,5 = 4,9 м/с².
2. Перпендикулярно поверхности ускорения нет, следовательно, N = mg cos 30°.
3. Подставим числа: N = 0,2 · 9,8 · 0,866 ≈ 1,70 Н. Ускорение получилось одинаковым для шайб разной массы, а сила реакции зависит от массы.

Ответ: a = 4,9 м/с² вниз по горке; N ≈ 1,70 Н.

Задача 2. Шайба начинает скользить с вершины гладкой горки длиной 5 м и углом наклона 30°. Определите время спуска и скорость у основания. Начальная скорость равна нулю, а ускорение постоянно, поэтому подходят формулы равноускоренного движения. Считаем g = 9,8 м/с².

1. Находим ускорение: a = g sin 30° = 4,9 м/с².
2. Из пути при начальной скорости, равной нулю, L = at²/2. Отсюда t = √(2L/a) = √(10/4,9) ≈ 1,43 с.
3. Скорость у основания можно найти как v = at: v ≈ 4,9 · 1,43 ≈ 7,0 м/с. Проверка по формуле v² = 2aL даёт тот же результат.

Ответ: время спуска примерно 1,43 с, скорость у основания примерно 7,0 м/с.

Задача 3. Шайбе сообщили начальную скорость вверх по гладкой горке. Найдите максимальную высоту подъёма, время подъёма и скорость при возвращении в исходную точку. Обозначим начальную скорость v₀, а угол наклона — α. Поскольку в условии нет числовых значений, ответ выразим через эти величины.

1. Выберем направление вверх положительным. Тогда ускорение a = −g sin α, то есть скорость при подъёме убывает. В наивысшей точке скорость равна нулю.
2. Из 0 = v₀ − g sin α · t получаем время подъёма tпод = v₀/(g sin α). Из 0 = v₀² − 2g sin α · s следует путь вдоль горки s = v₀²/(2g sin α).
3. Высота связана с путём по наклонной как h = s sin α, поэтому h = v₀²/(2g). При возвращении шайба проходит тот же участок вниз; без трения её скорость по модулю снова равна v₀, но направлена вниз по горке.

Ответ: h = v₀²/(2g), tпод = v₀/(g sin α); при возвращении скорость по модулю равна v₀ и направлена вниз.

Типичные ошибки

• Считать, что гладкая горка означает отсутствие реакции опоры. Так путают отсутствие трения с отсутствием любого взаимодействия; поверхность всё равно поддерживает шайбу. Проверьте себя: у шайбы, прижатой к поверхности, есть сила, направленная от неё, — это реакция опоры.

• Приравнивать ускорение к g, не учитывая наклон. Такое рассуждение переносит свободное падение на движение по поверхности, хотя шайба не может ускоряться сквозь горку. Проверьте формулу: вдоль неё действует лишь составляющая mg sin α, поэтому a = g sin α.

• Записывать N = mg для наклонной поверхности. Эта запись верна для горизонтальной опоры без вертикального ускорения, но на наклонной уравновешивается только поперечная составляющая силы тяжести. Проверьте направление сил и используйте N = mg cos α.

• Считать, что ускорение зависит от массы шайбы. Ошибка возникает, если остановиться на величине силы mg sin α и не применить второй закон Ньютона. Разделите эту силу на массу: в выражении a = mg sin α/m масса сокращается.

Связь с другими темами

Для анализа шайбы нужны второй закон Ньютона, понятие силы тяжести и умение складывать и раскладывать векторы. Разложение силы по осям здесь становится основным способом связать силы с движением. Модель гладкой горки подготавливает к задачам о наклонной плоскости с трением: тогда к силам добавляется трение, направленное против скольжения.

Тот же подход применяют при разборе механической энергии, систем с блоками и движения по криволинейным траекториям. В каждом случае выбирают удобные направления, находят составляющие сил и связывают их со скоростью или ускорением. Модель без трения часто помогает сначала понять основные закономерности, а затем учитывать дополнительные силы.

Что запомнить

• На гладкой горке силой трения пренебрегают.
• Сила тяжести направлена вертикально вниз.
• Вдоль горки действует составляющая силы тяжести mg sin α.
• Перпендикулярную составляющую mg cos α компенсирует реакция опоры.
• Ускорение шайбы равно g sin α и направлено вниз по горке.
• При α = 0 шайба не ускоряется, а при увеличении угла наклона ускорение возрастает.
• Ускорение шайбы на гладкой горке не зависит от её массы.