"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.; под редакцией Орлова В.А.
Движение жидкостей и газов описывают с помощью потока, линий тока и законов сохранения. Идеальная жидкость служит упрощённой моделью: её плотность постоянна, а вязкостью пренебрегают. Уравнение неразрывности связывает скорость потока с площадью трубы, а уравнение Бернулли — давление, скорость и высоту. Из него следует формула Торричелли для скорости истечения жидкости из отверстия.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Идеальная жидкость — модель среды без вязкости и с постоянной плотностью ρ. Вязкость вызывает внутреннее трение, но в этой модели им пренебрегают. Такой подход помогает сначала вывести основные законы движения потока.
Линия тока — линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением скорости частиц жидкости или газа. Она показывает, куда в данный момент движется малый объём среды. По рисунку линий тока можно представить структуру потока, не отслеживая каждую частицу.
Уравнение неразрывности связывает скорость потока v с площадью поперечного сечения S. Для несжимаемой жидкости оно имеет вид S₁v₁ = S₂v₂. Уравнение выражает сохранение массы: жидкость не исчезает и не возникает внутри трубы.
Уравнение Бернулли выражает закон сохранения энергии для установившегося движения идеальной жидкости: p + ½ρv² + ρgh = const. Здесь p — давление, ½ρv² — кинетическая энергия единицы объёма, а ρgh — потенциальная энергия единицы объёма. Формула позволяет сравнивать поток в разных точках.
Реальные жидкости обладают вязкостью, а газы могут сжиматься, поэтому их движение бывает сложным. Чтобы выделить главные закономерности, сначала вводят модель идеальной жидкости с постоянной плотностью и отсутствием внутреннего трения. Дополнительно рассматривают стационарное течение: в каждой точке трубы скорость, давление и плотность не меняются со временем. Тогда движение можно описывать одними и теми же величинами в разных сечениях.
Линии тока проводят так, чтобы их касательная в любой точке совпадала с направлением скорости. При стационарном течении частицы в одной и той же точке движутся с одним и тем же направлением, поэтому две линии тока не могут пересечься. В точке пересечения скорость имела бы сразу два направления, что физически невозможно. Чем теснее расположены линии тока, тем обычно быстрее меняется поток в данной области.
За время Δt через сечение площадью S проходит цилиндрический объём S v Δt. При стационарном течении один и тот же объём должен пройти через широкое и узкое сечения, иначе жидкость начала бы накапливаться. Поэтому S₁v₁ = S₂v₂: уменьшение площади компенсируется увеличением скорости. Для сжимаемой среды учитывают ещё и изменение плотности, записывая ρSv = const.
Уравнение Бернулли получается из закона сохранения энергии. Давление связано с работой сил, а слагаемые ½ρv² и ρgh показывают кинетическую и потенциальную энергию единицы объёма. Если труба горизонтальна, h одинаково и его вклад сокращается: p + ½ρv² = const. Значит, при ускорении потока часть энергии давления переходит в кинетическую энергию.
В таблице собраны формулы, которые связывают расход, площадь сечения, скорость, давление и высоту. Сначала определите, какая величина неизвестна, затем проверьте условия применимости модели. В задачах полезно записывать единицы измерения и сравнивать полученный результат с физическим смыслом.
| Понятие или закономерность | Формула | Физический смысл | Условия применимости |
|---|---|---|---|
| Массовый расход | ṁ = ρSv | Масса вещества, проходящая через сечение за единицу времени | Стационарный поток; плотность ρ известна |
| Объёмный расход | Q = Sv | Объём жидкости или газа, проходящий через сечение за единицу времени | Скорость одинакова по выбранному сечению или берётся средняя |
| Уравнение неразрывности | S₁v₁ = S₂v₂ | В узком сечении несжимаемая жидкость движется быстрее | Стационарное течение несжимаемой жидкости |
| Уравнение Бернулли | p + ½ρv² + ρgh = const | Сумма энергии давления, кинетической и потенциальной энергии единицы объёма постоянна | Идеальная жидкость, стационарное течение, постоянная плотность |
| Формула Торричелли для скорости истечения | v = √(2gh) | Скорость вытекания из отверстия определяется высотой столба жидкости | Большой сосуд, малое отверстие, потери энергии и понижение уровня не учитываются |
Задача 1. Площадь широкого сечения трубы в 4 раза больше площади узкого: S₁ = 4S₂. В широком сечении скорость v₁ = 0,5 м/с. Нужно найти скорость v₂ в узкой части, поэтому применяем закон сохранения объёмного расхода.
Ответ: скорость в узком сечении равна 2 м/с. Она в 4 раза больше, потому что площадь узкой части в 4 раза меньше.
Задача 2. В горизонтальной трубе p₁ = 200 кПа и v₁ = 2 м/с, а в сужении v₂ = 6 м/с. Для воды берём ρ = 1000 кг/м³. Высоты точек одинаковы, поэтому потенциальные слагаемые в уравнении Бернулли взаимно уничтожаются.
Ответ: давление в сужении равно 184 кПа. Оно уменьшилось, потому что скорость потока возросла.
Задача 3. Отверстие находится на 1,25 м ниже уровня воды. Скоростью понижения уровня и сопротивлением пренебрегаем. Разность уровней уже дана в метрах, поэтому используем формулу Торричелли.
Ответ: скорость истечения воды приблизительно равна 5 м/с.
Ошибка 1. Иногда считают, что в узкой части трубы скорость уменьшается, потому что места для движения меньше. Причина ошибки — смешение площади сечения и скорости. Проверьте себя по формуле S₁v₁ = S₂v₂: при меньшей площади скорость должна быть больше.
Ошибка 2. Уравнение Бернулли нельзя безоговорочно применять к любой жидкости. Оно выведено для стационарного потока идеальной жидкости с постоянной плотностью, поэтому вязкость и турбулентность могут сделать результат неточным. Перед решением выпишите условия задачи и сравните их с условиями формулы.
Ошибка 3. Неверно утверждать, что при любом увеличении скорости давление обязательно падает. Такой вывод относится к сравнению точек при одинаковой высоте и выполнении остальных условий уравнения Бернулли. Если высоты различаются, учитывайте слагаемое ρgh.
Ошибка 4. В формуле Торричелли берут глубину отверстия от дна вместо разности уровней воды и отверстия. Также часто подставляют сантиметры без перевода в метры. Нарисуйте уровни, найдите h именно между ними и проверьте, что итоговая единица скорости — м/с.
До изучения движения потоков нужны понятия давления, плотности, работы и энергии, а также закон сохранения энергии. Отношения площадей помогают быстро применять уравнение неразрывности. Без этих знаний трудно объяснить, откуда берутся формулы расхода и Бернулли.
Тема продолжает механику и переносит закон сохранения энергии на жидкости и газы. Она служит основой гидравлики и аэродинамики — наук о движении жидкостей и воздуха. Те же идеи применяются при анализе потоков в трубах и вокруг движущихся тел.
Практические применения встречаются в водопроводе, распылителях, карбюраторах и измерительных приборах. Изменение скорости воздуха помогает объяснять работу крыла самолёта. Поэтому формулы описывают не только учебные трубы, но и реальные технические устройства.
Почему жидкость движется быстрее в узкой части трубы?
При стационарном течении за одинаковое время через разные сечения проходит один и тот же объём жидкости. Поэтому при уменьшении площади сечения скорость должна увеличиться, чтобы сохранить равенство объёмных расходов.
Что именно показывает линия тока?
Линия тока показывает направление скорости частиц среды в каждой точке потока. Касательная к ней совпадает с вектором скорости.
Почему при увеличении скорости потока давление уменьшается?
В горизонтальном потоке сумма давления и кинетической энергии единицы объёма постоянна. Поэтому рост кинетической энергии при увеличении скорости компенсируется уменьшением давления.
Можно ли применять уравнение Бернулли к газам?
Да, если газ движется примерно стационарно, его плотность можно считать постоянной, а вязкостью пренебречь. При больших скоростях и заметном сжатии газа нужны более сложные модели.
От чего зависит скорость истечения жидкости из отверстия?
В идеальной модели она зависит от разности уровней жидкости и отверстия: v = √(2gh). Чем больше высота столба жидкости над отверстием, тем выше скорость истечения.
§ 21. Движение жидкостей и газов
