"Физика (базовый уровень)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.
Движение жидкости или газа описывают с помощью линий тока, скорости и давления. При стационарном течении параметры в каждой точке не меняются со временем, а для несжимаемой жидкости расход через разные сечения трубы остаётся одинаковым. Поэтому в узком участке поток движется быстрее. Уравнение Бернулли связывает давление, скорость и высоту: оно помогает объяснить истечение жидкости и работу распылителей, а также решить задачи о потоке.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Линия тока — линия, касательная к которой в каждой точке направлена так же, как скорость жидкости или газа. Она помогает наглядно показать, куда движется поток в разных местах. Частицы не обязательно движутся по нарисованной линии, но их мгновенная скорость направлена вдоль неё.
Стационарное течение — течение, при котором скорость и давление в каждой точке не меняются со временем. Это не означает, что жидкость неподвижна: частицы могут непрерывно проходить через выбранную точку. Такое условие позволяет описывать поток постоянными значениями параметров.
Идеальная жидкость — модель жидкости, которой пренебрегают вязкостью и сжимаемостью. Вязкость связана с внутренним трением, а сжимаемость — с изменением объёма под действием давления. Модель упрощает расчёты и позволяет выделить основные закономерности течения.
Уравнение Бернулли — связь давления, скорости и высоты при стационарном течении идеальной жидкости. В нём учитываются разные виды энергии жидкости, приходящиеся на единицу объёма. С его помощью можно понять, как изменение скорости или высоты влияет на давление.
Чтобы описать поток, недостаточно знать только, куда перемещается вся жидкость: в разных точках скорость может быть направлена по-разному. Линии тока дают наглядную картину этих направлений, потому что касательная к каждой линии совпадает с вектором скорости. Если поток стационарный, линии тока не меняются со временем. Чем плотнее они расположены на схеме, тем обычно больше скорость в этой области.
Представим трубку, внутри которой движется жидкость, и мысленно выделим два её сечения. Если жидкость несжимаема и течение стационарное, за одинаковое время через оба сечения проходит одинаковый объём. Иначе в одном участке жидкость накапливалась бы или возникал разрыв потока. Поэтому при уменьшении площади сечения скорость должна увеличиться.
Сохранение массы приводит к уравнению неразрывности: ρS₁v₁ = ρS₂v₂, где ρ — плотность жидкости, S — площадь сечения, v — скорость. Для несжимаемой жидкости плотность постоянна, поэтому уравнение упрощается до S₁v₁ = S₂v₂. Это значит, что площадь сечения и скорость обратно пропорциональны: в узком участке поток движется быстрее. Так сохраняется один и тот же объёмный расход через всю трубу.
Для идеальной жидкости энергия не исчезает из-за внутреннего трения. При стационарном течении сумма давления, кинетической энергии единицы объёма и потенциальной энергии единицы объёма остаётся постоянной: p + ρv²/2 + ρgh = const. Здесь p — давление, ρ — плотность, v — скорость, h — высота над выбранным уровнем. Если поток горизонтальный, высота не меняется, и член ρgh можно не учитывать.
В горизонтальной трубе уравнение Бернулли принимает вид p + ρv²/2 = const. Когда скорость возрастает, кинетическая энергия единицы объёма увеличивается, поэтому давление должно уменьшиться. Это можно увидеть в опытах с трубой разного сечения и использовать в устройствах, измеряющих скорость потока. Похожий эффект помогает работать распылителям: быстрый поток воздуха создаёт область пониженного давления и увлекает жидкость.
| Что описывает | Соотношение | Физический смысл |
|---|---|---|
| Уравнение неразрывности | S₁v₁ = S₂v₂ | Объёмный расход несжимаемой жидкости одинаков в любых сечениях. |
| Связь скорости и площади сечения трубы | v ∝ 1/S | Чем меньше площадь сечения, тем больше скорость потока. |
| Уравнение Бернулли для горизонтального потока | p + ρv²/2 = const | При постоянной высоте рост скорости сопровождается уменьшением давления. |
| Уравнение Бернулли для потока на разной высоте | p + ρv²/2 + ρgh = const | Учитываются давление, кинетическая и потенциальная энергии единицы объёма. |
| Связь изменения скорости и давления | p₁ − p₂ = ρ(v₂² − v₁²)/2 | Для горизонтального потока более высокая скорость соответствует меньшему давлению. |
Сначала определите, какая модель подходит: несжимаемая жидкость, стационарное течение и, для уравнения Бернулли, идеальная жидкость. Затем примените уравнение неразрывности, если неизвестна скорость или площадь, и уравнение Бернулли, если требуется связать давление, скорость и высоту. Важно выбрать сравниваемые точки и не забыть член с высотой, если они находятся на разных уровнях.
Вода течёт по горизонтальной трубе. Площадь узкого сечения в 3 раза меньше площади широкого, а скорость в широком участке равна 0,6 м/с. Нужно найти скорость в узкой части. Поскольку вода считается несжимаемой, используем уравнение неразрывности.
Ответ: 1,8 м/с.
В горизонтальной трубе вода движется со скоростью 1 м/с, а в сужении — 4 м/с. Найдём, на сколько давление в широком участке больше давления в сужении. Сначала проверим, что скорости согласуются с площадями: из уравнения неразрывности площадь широкого участка должна быть в 4 раза больше площади сужения. Для разности давлений применим уравнение Бернулли для горизонтального потока.
Ответ: давление в широком участке больше на 7500 Па.
Вода вытекает из отверстия на глубине 1,8 м под свободной поверхностью большого открытого сосуда. Скоростью поверхности можно пренебречь. Требуется найти скорость истечения. Сравним поверхность и отверстие по уравнению Бернулли, учитывая, что обе точки находятся под атмосферным давлением.
Ответ: примерно 5,9 м/с.
Можно решить, что в узком сечении скорость меньше, потому что через него проходит меньше жидкости. Но при стационарном течении несжимаемой жидкости через каждое сечение за секунду проходит одинаковый объём. Проверьте себя по формуле S₁v₁ = S₂v₂: уменьшение площади требует увеличения скорости.
Другая ошибка — считать, что высокая скорость означает высокое давление. В горизонтальном потоке идеальной жидкости уравнение Бернулли показывает обратную зависимость: при росте скорости давление уменьшается. Чтобы проверить вывод, сравните суммы p + ρv²/2 в двух точках: они должны совпасть.
Уравнение Бернулли иногда применяют к любому потоку, не проверяя условия. Однако оно выведено для стационарного течения идеальной жидкости, поэтому заметная вязкость или изменение параметров со временем могут сделать простой расчёт неточным. Перед решением назовите используемую модель и убедитесь, что она подходит к условию.
При сравнении точек на разной высоте можно забыть слагаемое ρgh и получить неверный результат. Его нельзя отбрасывать, если высоты различаются: изменение потенциальной энергии влияет на давление и скорость. Самопроверка проста: выпишите все три члена уравнения Бернулли и исключайте только те, которые одинаковы в обеих точках.
Для понимания течения понадобятся закон сохранения энергии, понятия давления, плотности и скорости, а также площадь поперечного сечения. Уравнение неразрывности связывает эти величины через сохранение массы, а уравнение Бернулли — через сохранение энергии. Вместе они помогают объяснять истечение жидкости из отверстий и работу распылителей. Те же закономерности лежат в основе измерения скорости потока.
Что показывает линия тока?
Линия тока показывает направление движения жидкости или газа в каждой точке потока. Касательная к ней совпадает с направлением скорости частиц.
Почему вода быстрее течёт в узкой части трубы?
За одинаковое время через разные сечения трубы проходит один и тот же объём несжимаемой жидкости. Поэтому в меньшем сечении вода должна двигаться быстрее: площадь сечения, умноженная на скорость, остаётся постоянной.
Как связаны скорость потока и давление?
В горизонтальном потоке идеальной жидкости при увеличении скорости давление уменьшается. Это следует из уравнения Бернулли: сумма давления и кинетической энергии единицы объёма сохраняется.
Когда можно применять уравнение Бернулли?
Его применяют для стационарного течения идеальной жидкости, то есть в модели без вязкости и сжимаемости. При сравнении точек на разной высоте нужно учитывать также потенциальную энергию.
Почему при истечении из отверстия скорость зависит от глубины?
Чем ниже отверстие под поверхностью воды, тем больше разность высот между ним и свободной поверхностью. Уравнение Бернулли связывает эту разность с превращением потенциальной энергии в кинетическую, поэтому скорость истечения возрастает с глубиной.
§ 15. Движение жидкостей и газов
