"Физика (базовый уровень)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.
Закон Бернулли описывает, как связаны давление, скорость и высота жидкости, движущейся по потоку. Он помогает объяснить, почему в узком участке трубы жидкость течёт быстрее, а давление становится меньше, и рассчитать скорость истечения из отверстия. Закон применим при стационарном течении идеальной несжимаемой жидкости; вдоль линии тока сумма давления и энергий единицы объёма сохраняется.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Идеальная жидкость — модель жидкости, вязкостью которой пренебрегают. В реальности вязкость вызывает внутреннее трение и потери механической энергии, но их учёт усложняет расчёт. Идеальную модель используют, чтобы вывести простой закон сохранения энергии потока, а затем применять его к жидкостям, у которых потери малы.
Стационарное течение — течение, при котором скорость жидкости в каждой точке со временем не меняется. Отдельные частицы продолжают двигаться, но в выбранном месте потока скорость остаётся постоянной. Это условие нужно, чтобы сравнивать энергию потока в разных точках без поправки на изменения движения со временем.
Линия тока — линия, касательная к которой в каждой точке направлена так же, как скорость жидкости. Она показывает мгновенное направление движения жидкости вдоль потока. Рассмотрение одной линии тока задаёт путь, на котором сравнивают давление, скорость и высоту.
Закон Бернулли — соотношение между давлением, скоростью и высотой при стационарном течении идеальной несжимаемой жидкости. Для точек одной линии тока оно записывается так: p + ρv²/2 + ρgh = const. Закон нужен, чтобы находить неизвестные характеристики потока и объяснять, как изменение одной из них связано с изменениями остальных.
Рассмотрим участок потока объёмом V и плотностью ρ. Его масса равна m = ρV, поэтому кинетическая энергия движения равна ρVv²/2, а потенциальная энергия в поле тяжести — ρVgh. Давление тоже связано с передачей энергии: при продвижении объёма жидкости на расстояние сила давления совершает работу, равную pV. Если разделить каждую из этих энергий или работу на объём V, получатся величины p, ρv²/2 и ρgh.
В идеальной жидкости нет вязкого трения, которое превращало бы механическую энергию в тепло. При стационарном движении вдоль линии тока энергия не накапливается в промежуточных точках: сколько механической энергии входит в участок потока, столько же выходит. Поэтому сумма энергии давления, кинетической и потенциальной энергии единицы объёма сохраняется: p + ρv²/2 + ρgh = const. Все части суммы имеют единицы давления, что согласуется и с делением энергии на объём.
Для применения закона нужны сразу несколько условий: течение стационарное, жидкость несжимаемая, а вязкость настолько мала, что её влиянием можно пренебречь. Кроме того, сравнивать следует точки одной линии тока. Если высоты различаются, нельзя исключать слагаемое ρgh; при заметных потерях на трение закон в таком виде уже не описывает поток точно. Эти условия помогают понять, когда расчёт будет физически обоснованным.
В горизонтальной трубе высота постоянна, поэтому слагаемое ρgh одинаково в двух выбранных точках и сокращается при сравнении. Остаётся p + ρv²/2 = const. Значит, при увеличении скорости растёт кинетическая энергия единицы объёма, и для сохранения суммы давление должно стать меньше. Это не означает, что скорость сама по себе «создаёт» низкое давление: обе величины связаны общим сохранением энергии потока.
В сужающейся трубе жидкость не может накапливаться, если течение стационарное, а её плотность постоянна. Поэтому за одинаковое время через каждое сечение проходит одинаковый объём: S₁v₁ = S₂v₂, где S — площадь сечения, v — скорость. В узкой части S меньше, значит, скорость больше. Если труба горизонтальна, закон Бернулли показывает, что в этом месте давление меньше; для количественного сравнения используют оба уравнения.
| Слагаемое | Физический смысл | От чего зависит | Единица измерения |
|---|---|---|---|
| p | Давление жидкости | От состояния потока в рассматриваемой точке | Па |
| ρv²/2 | Кинетическая энергия единицы объёма | От плотности жидкости и скорости потока | Па |
| ρgh | Потенциальная энергия единицы объёма | От плотности жидкости, ускорения свободного падения и высоты | Па |
| p + ρv²/2 + ρgh | Сумма величин, сохраняющаяся вдоль линии тока | Одинакова для точек одной линии тока при соблюдении условий закона | Па |
В таблице удобно проверять, какие величины нужно знать для расчёта и что означает каждое слагаемое. При сравнении двух точек сначала выясните, одинаковы ли их высоты: только тогда слагаемые ρgh сокращаются. Единицы измерения служат быстрой проверкой правильности подстановок.
Задача 1. В горизонтальной трубе площадь сечения уменьшается в 2 раза. Во сколько раз изменится скорость идеальной несжимаемой жидкости? Здесь плотность постоянна, поэтому поток за одинаковое время переносит один и тот же объём через оба сечения. Нужно сопоставить площади и скорости, не используя закон Бернулли: для этого достаточно уравнения неразрывности.
Ответ: скорость станет в 2 раза больше. При уменьшении площади за единицу времени должен пройти тот же объём жидкости, поэтому скорость возрастает обратно пропорционально площади сечения.
Задача 2. В горизонтальной трубе вода течёт со скоростью 2 м/с в широком сечении и 6 м/с в узком. Плотность воды равна 1000 кг/м³. Найдём разность давлений в широком и узком сечениях. Поскольку труба горизонтальна, высоты одинаковы и слагаемые ρgh при сравнении сокращаются.
Ответ: давление в широком сечении больше на 16 000 Па, или 16 кПа. Проверка смысла результата: скорость в узкой части выше, значит, там меньше давление.
Задача 3. Отверстие в стенке большого открытого сосуда находится на глубине 1,25 м под поверхностью воды. Требуется найти скорость истечения, пренебрегая вязкостью. Сравним точку на поверхности и точку у отверстия. Большая площадь сосуда означает, что поверхность опускается намного медленнее, чем вода вытекает из отверстия.
Ответ: скорость истечения примерно 5,0 м/с. Полученная зависимость v = √(2gh) называется формулой Торричелли и показывает, что скорость определяется глубиной отверстия.
Применять закон Бернулли к любому потоку — значит забывать об условиях модели. Так делают, когда узнают знакомую формулу и не проверяют характер течения; при сильной вязкости или нестационарном движении возможны заметные потери и изменения. Перед расчётом проверьте, можно ли считать жидкость идеальной и несжимаемой, а поток — стационарным.
Считать, что большая скорость всегда означает большее давление, — неверно для горизонтального потока вдоль одной линии тока. Ошибка возникает, если воспринимать давление и скорость как несвязанные характеристики; при постоянной сумме рост кинетического слагаемого компенсируется уменьшением давления. Проверка: при равных высотах подставьте значения в p + ρv²/2 = const.
Если точки находятся на разной высоте, пропуск ρgh делает сравнение неполным. Эту ошибку допускают, перенося рассуждение для горизонтальной трубы на любой поток. Нарисуйте или обозначьте высоты точек и оставляйте потенциальное слагаемое, пока не убедитесь, что высоты равны.
Плотность ρ и давление p — разные физические величины: плотность измеряется в кг/м³, давление — в паскалях. Путаница в обозначениях или несогласованные единицы приводят к ошибке в расчёте скоростного и высотного слагаемых. Перед вычислениями подпишите величины, переведите их в единицы СИ и проверьте, что каждое слагаемое выражено в паскалях.
Для работы с законом Бернулли нужны понятия давления и плотности, а также механическая энергия и формула кинетической энергии. Уравнение неразрывности помогает определить скорости в разных сечениях трубы, после чего закон Бернулли связывает их с давлением. Эти идеи применяют при расчёте истечения жидкости, водопроводов и устройств для измерения скорости потока.
Что означает каждое слагаемое в законе Бернулли?
В выражении p + ρv²/2 + ρgh величина p — давление, ρv²/2 — кинетическая энергия единицы объёма, а ρgh — потенциальная энергия единицы объёма. Все три слагаемых измеряются в паскалях.
Почему при увеличении скорости потока давление уменьшается?
В горизонтальном потоке высота не меняется, поэтому сумма давления и кинетического слагаемого постоянна. Если скорость возрастает, ρv²/2 становится больше, а давление p должно уменьшиться.
Можно ли применять закон Бернулли к реальной жидкости?
Реальная жидкость обладает вязкостью, поэтому часть механической энергии рассеивается. Закон применяют как приближение, когда вязкостными потерями можно пренебречь; также поток должен быть стационарным и жидкость — практически несжимаемой.
Почему закон Бернулли рассматривают вдоль линии тока?
Линия тока показывает направление движения жидкости в каждой точке, поэтому вдоль неё удобно проследить перенос энергии. В общем случае постоянная в законе может различаться для разных линий тока.
Как получить формулу скорости истечения жидкости из отверстия?
Записывают закон Бернулли для поверхности открытого сосуда и отверстия. Давления в этих точках одинаковы и равны атмосферному, скорость опускания поверхности большого сосуда почти нулевая; после сокращения получается v = √(2gh).
1. Закон Бернулли
