2. Применение закона Бернулли

Определения и обозначения

Закон Бернулли — для установившегося течения идеальной жидкости сумма давления, динамического давления и гидростатического давления вдоль линии тока постоянна: p + ρv²/2 + ρgh = const. Здесь p — давление, ρ — плотность, v — скорость, g — ускорение свободного падения, h — высота. Закон нужен, чтобы связывать изменения давления со скоростью и высотой потока.

Динамическое давление — величина ρv²/2, зависящая от плотности жидкости и квадрата её скорости. Оно показывает, какая часть энергии потока связана с движением. При увеличении скорости динамическое давление растёт особенно быстро, поскольку скорость входит в формулу в квадрате. Это помогает понять, почему при постоянной высоте давление в потоке уменьшается.

Линия тока — линия, касательная к которой в каждой точке направлена так же, как скорость жидкости в этой точке. Она показывает направление движения частиц потока в каждый момент. Закон Бернулли применяют вдоль такой линии, а не произвольно между любыми точками жидкости. Это уточнение помогает не выходить за условия формулы.

Подъёмная сила крыла — сила, возникающая из-за различия давлений над крылом и под ним. Если давление снизу больше, чем сверху, результирующая сила направлена вверх. Разность давлений появляется при неодинаковых скоростях потоков воздуха около крыла. Это понятие связывает закон Бернулли с полётом самолёта.

Как это устроено

Закон Бернулли связывает давление, скорость потока и высоту через сумму p + ρv²/2 + ρgh. Давление характеризует действие жидкости на стенки, а два других слагаемых учитывают движение и положение потока. Если высота не меняется, слагаемое ρgh одинаково и при сравнении его можно сократить. Тогда увеличение скорости означает рост динамического давления и уменьшение обычного давления.

Рассмотрим отверстие в стенке сосуда с водой. Частицы у поверхности воды почти неподвижны, а у отверстия жидкость движется наружу, поэтому часть энергии положения превращается в энергию движения. При этом давление на поверхности и у выхода можно считать одинаковым — атмосферным. Именно перепад высоты обеспечивает появление скорости струи, а не само наличие отверстия.

Скорость истечения зависит от высоты столба жидкости над отверстием: чем выше уровень, тем больше запас потенциальной энергии у жидкости. Если скорость опускания уровня пренебрежимо мала, а сопротивлением можно пренебречь, из закона Бернулли получается формула Торричелли: v = √(2gh). В ней h отсчитывают от уровня жидкости до отверстия. Поэтому важна именно высота столба над выходом, а глубина отверстия от дна сама по себе скорость не задаёт.

У крыла самолёта потоки воздуха сверху и снизу могут двигаться с разными скоростями. Если над крылом скорость больше, то при примерно одинаковых высотах давление там меньше, чем под крылом. Давление снизу действует вверх сильнее, чем давление сверху вниз, и возникает результирующая подъёмная сила. Она зависит от разности давлений и площади крыла, а не от одного лишь факта движения самолёта.

В пульверизаторе струя воздуха проходит мимо верхнего конца трубки, соединённой с жидкостью. Быстрый воздух создаёт возле конца трубки область пониженного давления. На поверхность жидкости в резервуаре действует большее давление, поэтому оно поднимает жидкость по трубке. Достигнув воздушной струи, жидкость разбивается на мелкие капли и распыляется.

Применения закона Бернулли

Читайте строки таблицы как цепочку причин: сначала выясните, как меняется скорость потока, затем определите изменение давления и только после этого назовите результат. Для истечения воды и пульверизатора важна также разность высот или давлений. В таблице указаны упрощённые модели, поэтому реальные потери энергии могут изменить количественный результат.

Разбор задач

Давление в горизонтальной трубе

В широкой части трубы скорость воды равна 2 м/с, давление — 150 кПа. В узкой части скорость равна 4 м/с, плотность воды — 1000 кг/м³. Нужно найти давление в узкой части. Труба горизонтальна, значит, высоты сравниваемых точек одинаковы и гидростатические слагаемые сокращаются.

1. Запишем закон Бернулли: p₁ + ρv₁²/2 = p₂ + ρv₂²/2.
2. Выразим искомое давление: p₂ = p₁ + ρ(v₁² − v₂²)/2. Так сразу видно, что при большей скорости давление должно быть меньше.
3. Подставим величины в СИ: p₂ = 150 000 + 1000(2² − 4²)/2 = 150 000 − 6000 = 144 000 Па.

Ответ: давление в узкой части равно 144 кПа. Оно меньше, чем в широкой части, что согласуется с законом Бернулли: скорость воды увеличилась.

Скорость истечения воды

Отверстие расположено на 1,25 м ниже уровня воды в открытом сосуде. Сопротивлением пренебрегаем, а уровень опускается настолько медленно, что его скорость можно считать нулевой. Требуется найти скорость струи. Используем формулу Торричелли, где высота h — расстояние от поверхности воды до отверстия.

1. Запишем формулу: v = √(2gh).
2. Подставим h = 1,25 м и g ≈ 9,8 м/с²: v = √(2 · 9,8 · 1,25) = √24,5.
3. Вычислим корень: v ≈ 4,95 м/с. Проверка единиц показывает, что под корнем м²/с², поэтому результат выражается в м/с.

Ответ: скорость истечения примерно 5,0 м/с. Если в задаче принять g = 10 м/с², получится ровно 5 м/с.

Разность давлений у крыла

Под крылом воздух движется со скоростью 50 м/с, над крылом — 60 м/с. Плотность воздуха равна 1,2 кг/м³, высоты потоков считаются одинаковыми. Найдём, насколько давление под крылом больше давления над ним. В горизонтальном сравнении вклад высоты одинаков, поэтому важна разность динамических давлений.

1. Для верхнего и нижнего потоков запишем p + ρv²/2 = const.
2. Вычтем давления: pпод − pнад = ρ(vнад² − vпод²)/2. Знак получается положительным, поскольку сверху скорость больше.
3. Подставим значения: pпод − pнад = 1,2(60² − 50²)/2 = 0,6 · 1100 = 660 Па.

Ответ: давление под крылом примерно на 660 Па выше. Эта разность давлений создаёт направленную вверх подъёмную силу.

Типичные ошибки

• Считать, что в быстром потоке давление больше. Так думают, смешивая обычное давление с динамическим: последнее действительно растёт со скоростью. При одинаковой высоте сравните сумму p + ρv²/2 — если скорость выросла, давление должно уменьшиться.
• Применять закон без проверки условий. Формулу используют как универсальную, хотя она относится к установившемуся течению идеальной жидкости вдоль линии тока. Перед решением проверьте, подходит ли модель; для реального вязкого потока возможны потери энергии.
• Забывать слагаемое ρgh при изменении высоты. Тогда давление и скорость связываются неверно, потому что не учтена энергия положения. Сравните высоты точек: если они различаются, оставьте соответствующие слагаемые в уравнении.
• Путать высоту столба жидкости с глубиной отверстия от дна. Скорость по формуле Торричелли определяется расстоянием по вертикали от свободной поверхности до отверстия. Нарисуйте эти уровни и измерьте h между ними, а не от дна сосуда.

Связь с другими темами

Для изучения закона Бернулли нужны понятия давления, плотности и скорости потока, а также представление о потенциальной и кинетической энергии. Эти знания позволяют понять, как энергия движения и положения связана с давлением жидкости. Сам закон пригодится при изучении движения жидкостей и газов, аэродинамики и устройств, работающих за счёт перепада давлений. Так одна модель помогает объяснять и струю воды, и подъёмную силу крыла, и работу пульверизатора.

Что запомнить

• Закон Бернулли связывает давление, скорость и высоту потока.
• При одинаковой высоте более быстрый поток имеет меньшее давление.
• Скорость истечения из отверстия зависит от высоты жидкости над ним.
• Разность давлений над крылом и под ним создаёт подъёмную силу.
• Применяя закон, учитывай его условия и единицы измерения.