"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.; под редакцией Орлова В.А.
Баллистический маятник позволяет определить скорость пули или другого быстро движущегося тела по тому, насколько высоко после удара поднимется маятник. Пуля застревает в подвесе, и после столкновения они движутся вместе. Для расчёта сначала применяют закон сохранения импульса, а затем — закон сохранения механической энергии при подъёме. Эти этапы нельзя смешивать: удар неупругий, поэтому кинетическая энергия во время него не сохраняется.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Баллистический маятник — устройство для определения скорости быстро движущегося тела по подъёму маятника после столкновения. Обычно это массивный подвес, в который попадает пуля и остаётся внутри. По высоте подъёма можно найти скорость системы после удара, а затем — начальную скорость пули.
Неупругое столкновение — столкновение, после которого тела движутся вместе, а механическая энергия частично превращается во внутреннюю. В задаче пуля застревает в маятнике, поэтому после удара у них одна общая скорость. Это объясняет, почему массу движущегося тела нужно считать как сумму масс пули и маятника.
Закон сохранения импульса утверждает, что в замкнутой системе суммарный импульс до и после взаимодействия остаётся постоянным. Импульс тела равен произведению его массы на скорость. Для короткого удара маятника с пулей внешним импульсом обычно пренебрегают, поэтому этот закон позволяет связать скорость пули со скоростью системы после столкновения.
Метод баллистического маятника — последовательное применение закона сохранения импульса при столкновении и закона сохранения механической энергии при подъёме маятника. Сначала находят скорость пули или системы из уравнения удара, затем используют высоту подъёма. Такое разделение нужно потому, что условия движения во время столкновения и после него различаются.
Маятник делают достаточно массивным и подвешивают так, чтобы он мог свободно отклоняться. Пуля или другое быстрое тело попадает в подвес и застревает в нём; это создаёт известную модель неупругого столкновения. После попадания пуля не движется отдельно: маятник и пуля становятся одной системой массы M + m и получают общую скорость V.
Во время самого удара используют закон сохранения импульса, а не кинетической энергии. Удар длится очень мало, поэтому импульс внешних сил за это время мал по сравнению с импульсом столкновения; этим и обосновывают приближённое сохранение импульса системы. Кинетическая энергия, напротив, частично уходит на деформацию, нагрев и звук, поэтому равенство кинетических энергий до и после удара было бы неверным.
Сразу после столкновения система движется и обладает кинетической энергией. По мере подъёма её скорость уменьшается, а высота над начальным положением увеличивается; энергия движения переходит в потенциальную энергию тяжести. Если сопротивлением воздуха и потерями при движении пренебречь, то в верхней точке скорость становится равной нулю, а энергия системы равна (M + m)·g·h. Поэтому (M + m)·V²/2 = (M + m)·g·h, откуда V = √(2gh).
Высоту подъёма можно измерить напрямую или вычислить по длине маятника и углу отклонения. Угол α отсчитывают от вертикали: в нижнем положении центр масс находится на расстоянии l по вертикали от точки подвеса, а в отклонённом — на расстоянии l·cos α. Разность этих высот и есть подъём: h = l − l·cos α = l(1 − cos α). При α = 0 высота равна нулю, что служит простой проверкой формулы.
Теперь можно получить начальную скорость пули. Из закона сохранения импульса m·u = (M + m)·V, а из подъёма V = √(2gh); подстановка одного выражения в другое даёт u = (M + m)/m · √(2gh). Если известны длина и угол отклонения, вместо h подставляют l(1 − cos α), и получают u = (M + m)/m · √(2g·l(1 − cos α)). Так измерение подъёма связывает наблюдаемое движение маятника со скоростью пули до удара.
| Этап | Физическая модель | Основной закон | Уравнение | Что определяется |
|---|---|---|---|---|
| Столкновение пули с маятником | Пуля застревает в маятнике; тела движутся вместе | Закон сохранения импульса | m·u = (M + m)·V | Скорость системы сразу после удара V |
| Подъём маятника | Система движется вверх и останавливается в верхней точке | Закон сохранения механической энергии | (M + m)·V²/2 = (M + m)·g·h | Высота подъёма h или скорость V |
| Связь геометрии и подъёма | Отклонение маятника на угол α | Геометрическое соотношение | h = l(1 − cos α) | Высота подъёма по длине и углу |
| Итоговое определение скорости пули | Объединение двух этапов движения | Законы сохранения импульса и энергии | u = (M + m)/m · √(2g·l(1 − cos α)) | Начальная скорость пули u |
Таблица показывает, какой закон подходит для каждого участка движения, и помогает не смешивать удар с последующим подъёмом. Если известна высота, переход от геометрии можно пропустить; если дан угол, сначала находят h. Затем используют результат для вычисления скорости системы и скорости пули.
После попадания пули маятник поднялся на высоту 0,20 м. Нужно определить скорость системы сразу после столкновения, считая сопротивлением воздуха можно пренебречь.
Ответ: скорость системы сразу после столкновения примерно 2,0 м/с. Массы пули и маятника для этого этапа не нужны, поскольку они сокращаются в уравнении энергии.
Пуля массой 10 г застряла в маятнике массой 0,99 кг, который после удара поднялся на 0,20 м. Найдём скорость пули до столкновения, приняв g = 9,8 м/с².
Ответ: скорость пули примерно 198 м/с. На первом шаге использовали энергию при подъёме, а на втором — импульс при ударе.
Пуля массой 8 г попадает в маятник массой 1,2 кг и отклоняет его на 30°. Длина маятника равна 1,0 м. Определим скорость пули, считая потери энергии при подъёме пренебрежимо малыми.
Ответ: скорость пули примерно 245 м/с. Порядок решения важен: сначала угол переводят в высоту, затем находят скорость системы, и только после этого — скорость пули.
Первая ошибка — считать, что при ударе сохраняется кинетическая энергия. Так делают, потому что путают этот закон с сохранением импульса; однако пуля застревает, и столкновение неупругое. Проверка: если после удара тела движутся вместе, не приравнивайте кинетические энергии до и после удара.
Вторая ошибка — применять закон сохранения импульса на всём пути подъёма. Во время подъёма на систему действует внешняя сила тяжести, поэтому импульс системы меняется; закон импульса нужен для короткого этапа столкновения. Проверяйте, какие силы действуют на выбранную систему и какой именно участок движения рассматривается.
Третья ошибка — подставлять в расчёт подъёма только массу маятника. После удара движутся вместе и маятник, и пуля, поэтому в уравнении энергии стоит масса M + m. Самопроверка: если пуля застряла, запишите состав движущейся системы до подстановки чисел.
Четвёртая ошибка — считать высотой подъёма длину маятника или вертикальное смещение, не связанное с геометрией отклонения. При угле α высота равна h = l(1 − cos α), поскольку нужно сравнить вертикальные проекции длины до и после отклонения. Проверка: при нулевом угле формула должна давать h = 0.
Для решения задач нужны понятия импульса тела и закон сохранения импульса, включая условия его применения. Они помогают описать очень короткое столкновение и определить общую скорость тел после удара. Без понимания границ системы трудно решить, можно ли считать импульс сохраняющимся.
Также требуется закон сохранения механической энергии и умение вычислять потенциальную энергию. На подъёме именно этот закон связывает скорость системы с высотой, на которую она поднимается. Геометрическая связь h = l(1 − cos α) позволяет заменить измерение высоты измерением угла.
Метод используют в экспериментальной механике и баллистике, когда нужно оценить скорость снаряда или другого быстро движущегося тела. Он превращает короткий и трудно измеримый удар в заметное отклонение маятника. Поэтому важно учитывать массы и отдельно моделировать столкновение и подъём.
Почему при ударе сохраняется импульс, но не сохраняется кинетическая энергия?
За короткое время удара внешним импульсом силы тяжести обычно можно пренебречь, поэтому импульс системы «пуля — маятник» сохраняется. Удар неупругий: часть кинетической энергии превращается во внутреннюю энергию, звук и деформацию.
Почему в формуле скорости пули используется масса M + m?
После удара пуля остаётся в маятнике, поэтому они поднимаются вместе. Масса движущейся системы равна сумме массы маятника M и массы пули m.
Как найти высоту подъёма маятника, если известен угол отклонения?
Если длина маятника равна l, а угол отклонения от вертикали — α, то h = l(1 − cos α). Это разность между длиной маятника и вертикальной проекцией его длины в отклонённом положении.
Можно ли определить скорость пули только по углу отклонения без знания массы маятника?
Нет, для скорости пули нужна масса маятника: она входит в множитель (M + m)/m. По углу и длине можно найти высоту подъёма и скорость системы сразу после удара, но для перехода к скорости пули нужны массы.
Какие допущения делают при расчёте баллистического маятника?
Считают, что пуля застревает в маятнике, а внешним импульсом во время короткого удара можно пренебречь. При подъёме пренебрегают сопротивлением воздуха и потерями энергии, а систему рассматривают как движущуюся без дополнительных потерь.
2. Баллистический маятник
