2. Баллистический маятник

Определения и обозначения

Баллистический маятник — устройство из массивного подвеса и мишени, с помощью которого определяют скорость летящего тела. Снаряд попадает в мишень, а измеряемый подъём маятника позволяет восстановить скорость расчётом.

Неупругий удар — столкновение, после которого тела движутся вместе, а часть механической энергии превращается во внутреннюю. Так происходит при застревании пули в мишени, поэтому для удара нельзя применять сохранение кинетической энергии.

Импульс тела — векторная величина, равная произведению массы на скорость: p = mv. Импульс учитывает не только быстроту движения, но и направление, поэтому он нужен для описания столкновения.

Закон сохранения импульса утверждает: в замкнутой системе суммарный импульс до взаимодействия равен суммарному импульсу после него. С его помощью связывают неизвестную скорость снаряда со скоростью маятника сразу после удара.

Как это устроено

Баллистический маятник состоит из подвеса и мишени, способной задержать снаряд. Пуля попадает в мишень и застревает в ней, поэтому после столкновения оба тела движутся как единое целое. Такая конструкция удобна: вместо попытки измерить огромную скорость пули напрямую можно исследовать последующее движение более медленной системы.

Во время удара снаряд и маятник образуют почти замкнутую систему. Столкновение длится очень мало, поэтому импульс, переданный системе внешними силами за это время, мал по сравнению с импульсом снаряда. Силы взаимодействия между пулей и мишенью внутренние, поэтому применяют равенство mv = (M + m)u.

Кинетическую энергию во время удара сохранять нельзя, потому что удар неупругий. При застревании снаряда детали мишени деформируются, соприкасающиеся поверхности нагреваются, а часть энергии уходит в звук. Поэтому скорость u после удара находят не из закона сохранения энергии для столкновения, а из закона сохранения импульса.

После удара система движется вверх под действием силы тяжести. По мере подъёма её кинетическая энергия уменьшается и превращается в потенциальную энергию, пока в верхней точке скорость не станет равной нулю. Поэтому ½(M + m)u² = (M + m)gh, откуда u = √(2gh). Если измерен угол α при длине подвеса l, сначала находят высоту: h = l(1 − cos α), затем вычисляют u и подставляют её в формулу импульса.

Этапы работы баллистического маятника и применяемые законы

Таблица показывает, какие результаты получают на разных этапах опыта и какие законы для этого нужны. Сначала по подъёму определяют скорость общей системы, затем по импульсу находят скорость снаряда до столкновения.

Разбор задач

Задача 1

Снаряд массой m застрял в неподвижной мишени массой M, а общая система поднялась на высоту h. Требуется найти начальную скорость снаряда. Удар неупругий, поэтому решение нужно разделить на столкновение и подъём.

1. После удара используем превращение кинетической энергии в потенциальную: ½(M + m)u² = (M + m)gh.
2. Сокращаем общую массу и получаем u = √(2gh).
3. Для самого удара применяем сохранение импульса: mv = (M + m)u.
4. Подставляем найденную скорость и получаем v = (M + m)√(2gh)/m.

Ответ: начальная скорость снаряда равна v = (M + m)√(2gh)/m. Чем больше высота подъёма, тем больше скорость системы после удара.

Задача 2

Маятник массой M со снарядом массой m отклонился на угол α, длина подвеса равна l. Сначала нужно заменить угол высотой подъёма, потому что именно высота входит в закон сохранения энергии. Геометрия даёт h = l(1 − cos α).

1. Находим высоту подъёма: h = l(1 − cos α).
2. Вычисляем скорость системы сразу после удара: u = √(2gl(1 − cos α)).
3. Используем импульс при столкновении: mv = (M + m)u.
4. Итоговая формула: v = (M + m)√(2gl(1 − cos α))/m.

Ответ: скорость снаряда определяется указанным выражением. Перед вычислением проверьте, что угол задан в градусах или радианах так, как требуется калькулятору.

Задача 3

Для нескольких выстрелов известны массы снарядов и максимальные высоты подъёма маятника. Для каждого опыта нужно отдельно вычислить скорость: vᵢ = (M + mᵢ)√(2ghᵢ)/mᵢ. Сравнивать следует именно полученные значения, а не только высоты, поскольку массы снарядов могут различаться.

1. Записываем для каждого опыта mᵢ и hᵢ, переводя величины в единицы СИ.
2. Подставляем данные в общую формулу и получаем v₁, v₂ и другие значения.
3. Если измерения повторялись, находим среднее значение скорости.
4. Погрешность оцениваем по разбросу результатов или по погрешностям измерения массы и высоты: большая относительная ошибка h заметно влияет на √h.

Ответ: самым быстрым был снаряд с наибольшим рассчитанным значением v. Точность вывода повышается, если сравнивать результаты нескольких опытов и указывать возможный разброс.

Типичные ошибки

Сохраняют кинетическую энергию во время удара. Ошибка возникает из-за привычки применять один закон сохранения к любому движению. Проверьте, застрял ли снаряд: если да, удар неупругий, и энергию используют только после него.

Применяют сохранение импульса на всём пути подъёма. После удара на систему действует внешняя сила тяжести, поэтому её импульс меняется. Разделите опыт на короткий удар и последующий подъём.

Берут массу только маятника. После попадания движутся и мишень, и снаряд, поэтому общая масса равна M + m. Перед подстановкой выпишите, какое тело или систему описывает каждая формула.

Неверно находят высоту по углу. Иногда вместо изменения высоты записывают l cos α, хотя это координата, а не подъём. Для подвеса длиной l используйте h = l(1 − cos α) и проверьте, что при α = 0 высота получается нулевой.

Связь с другими темами

Для понимания баллистического маятника нужны импульс тела, закон его сохранения, кинетическая и потенциальная энергия, работа силы тяжести. Также важно уметь переводить величины в единицы СИ и работать с формулами.

Далее эта тема помогает изучать столкновения, баллистику и экспериментальные способы измерения скорости. Она показывает, как законы сохранения позволяют узнать недоступную для прямого измерения величину.

Что запомнить

• Баллистический маятник позволяет определить скорость снаряда по подъёму маятника после попадания.
• При ударе снаряд и мишень движутся вместе, поэтому удар считают неупругим.
• Во время короткого удара применяют закон сохранения импульса.
• Во время последующего подъёма применяют закон сохранения механической энергии.
• Кинетическую энергию нельзя сохранять при неупругом ударе.
• Начальную скорость снаряда находят последовательным применением двух законов сохранения.
• Чем больше масса маятника по сравнению с массой снаряда, тем меньше скорость системы после удара при той же скорости снаряда.