§ 22. Движение системы связанных тел без учёта трения

Определения и обозначения

Связанная система тел — несколько тел, движение которых связано общими условиями, например нитью или блоком. Это не обязательно означает, что тела соприкасаются: связь может передаваться через нить. Понятие системы позволяет учитывать не только отдельные тела, но и ограничение, которое задаёт их совместное движение.

Невесомая нерастяжимая нить — идеализированная нить, массу которой не учитывают, а длина которой не меняется. Поэтому, если один конец перемещается на некоторое расстояние, другой перемещается на такое же расстояние по модулю. Для связанных тел ускорения также равны по модулю, что позволяет составить дополнительное уравнение для задачи.

Сила натяжения нити — сила, с которой натянутая нить действует на прикреплённое к ней тело. Она направлена вдоль нити от тела, а её значение обычно неизвестно заранее. У идеальной нити, перекинутой через идеальный блок, модуль натяжения одинаков по обе стороны блока, поэтому можно обозначить его одной буквой T.

Идеальный блок — блок, массой которого и трением в оси пренебрегают. Он меняет направление силы, передаваемой нитью, но не её модуль. Такая модель упрощает расчёт: блок не требует отдельного уравнения движения, а силы натяжения по обе стороны нити считаются равными.

Как это устроено

Неизменность длины нити связывает перемещения её концов: если один конец сместился, другой должен сместиться так, чтобы общая длина оставалась прежней. Поэтому связанные тела не могут произвольно двигаться независимо. В обычной схеме с одним подвижным концом нити модули перемещений, скоростей и ускорений тел равны, хотя направления могут быть противоположными. Направления следует определять по схеме, а не выводить из одного лишь равенства модулей.

Рассматривать систему целиком удобно, когда нужно найти её ускорение. Натяжение, с которым нить действует на одно тело, является внутренней силой, а на другое тело действует такая же сила в противоположную сторону. При сложении уравнений они сокращаются, поэтому движение всей системы определяют внешние силы. Однако для нахождения натяжения затем всё равно понадобится уравнение для отдельного тела.

Для каждого тела отдельно записывают второй закон Ньютона: равнодействующая сил равна произведению массы на ускорение. Ось вдоль движения выбирают так, чтобы проекции сил и ускорения было удобно записывать со знаками. Например, если груз движется вниз, можно принять направление вниз за положительное; для тела, движущегося в противоположную сторону, положительное направление выбирают соответственно его ускорению. Последовательность выбора осей важна: менять знаки по ходу решения нельзя.

Чтобы найти общее ускорение, уравнения для тел записывают с учётом одинаковых по модулю ускорений и складывают или преобразуют так, чтобы исключить T. Например, если система движется под действием разности сил тяжести грузов, результирующая внешняя сила делится на суммарную массу. При этом внутренние силы не пропадают из уравнений отдельных тел, а только сокращаются при рассмотрении системы целиком.

Найдя ускорение, его подставляют в уравнение одного из тел и вычисляют натяжение. Затем полезно проверить размерность и смысл ответа: натяжение должно быть направлено вдоль нити, а его значение не следует путать с весом. Если ускорение получилось отрицательным, это не обязательно означает ошибку в вычислениях: знак сообщает, что тело ускоряется в сторону, противоположную выбранной положительной оси.

Силы и уравнения для типовых систем связанных тел

Сначала найдите в таблице подходящую схему, затем для каждого тела выпишите только действующие на него силы. После этого выберите согласованные оси и добавьте связь ускорений. Таблица напоминает типичные силы, но конкретные уравнения зависят от направления движения и приложенных сил.

Разбор задач

Задача 1. Два груза массами 2 кг и 3 кг соединены невесомой нерастяжимой нитью через идеальный блок. Нужно найти ускорение и натяжение. Более тяжёлый груз массой 3 кг будет ускоряться вниз, поэтому для него удобно считать направление вниз положительным, а для лёгкого груза — вверх.

1. Запишем второй закон Ньютона для груза 3 кг: 3g − T = 3a. Для груза 2 кг, движущегося вверх: T − 2g = 2a.
2. Сложим уравнения, чтобы исключить натяжение: g = 5a, откуда a = g/5. При g = 9,8 м/с² получаем a = 1,96 м/с².
3. Подставим ускорение во второе уравнение: T = 2(g + a) = 23,52 Н. Проверка: натяжение меньше веса тяжёлого груза и больше веса лёгкого, как и ожидается при ускорении системы.

Ответ: ускорение системы 1,96 м/с², натяжение нити 23,52 Н.

Задача 2. Брусок массой 4 кг лежит на гладком столе и соединён через идеальный блок с подвешенным грузом массой 1 кг. Трение отсутствует, поэтому горизонтально брусок тянет только натяжение нити. Выберем для бруска направление к блоку, а для груза — вниз как положительные направления.

1. Для бруска запишем T = 4a. Для подвешенного груза получаем mg − T = ma, где m = 1 кг.
2. Подставим первое уравнение во второе: mg − 4a = a, значит, a = mg/5 = 1,96 м/с².
3. Найдём натяжение: T = 4a = 7,84 Н. Реакция стола на брусок уравновешивает его силу тяжести, поскольку вертикального ускорения нет.

Ответ: ускорение равно 1,96 м/с², натяжение — 7,84 Н.

Задача 3. Два бруска массами m₁ и m₂ находятся на гладком столе и соединены нитью. К первому приложена сила F под углом α к направлению движения; требуется найти ускорение, натяжение и реакции опоры. Числовых значений масс, силы и угла нет, поэтому ответ выразим формулами. Пусть горизонтальная составляющая силы направлена вдоль движения.

1. Разложим силу: вдоль стола действует F cos α, а перпендикулярно столу — F sin α. Для всей системы горизонтальная внешняя сила равна F cos α, поэтому a = F cos α/(m₁ + m₂).
2. Если нить тянет второй брусок, для него T = m₂a. Значит, T = m₂F cos α/(m₁ + m₂); если сила приложена ко второму бруску, обозначение тел нужно поменять согласно схеме.
3. По вертикали ускорения нет. Если составляющая F sin α направлена вверх, реакция опоры первого бруска N₁ = m₁g − F sin α, а второго N₂ = m₂g; если она направлена вниз, в формуле для N₁ знак перед F sin α будет плюсом.

Ответ: a = F cos α/(m₁ + m₂), натяжение определяется уравнением тела, не получающего приложенную силу; реакции находятся из равновесия по вертикали.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что ускорения связанных тел направлены одинаково. Их модули могут быть равны, но у грузов по разные стороны блока направления противоположны; путаница возникает из-за смешения равенства модулей и векторов. Проверьте схему: нить натянута и нерастяжима, поэтому движение одного конца должно сопровождаться движением другого.

Натяжение не следует считать внешней силой, когда рассматривается вся система связанных тел. Оно кажется силой, «тянущей» систему, потому что действует на отдельное тело, но при сложении уравнений его действие внутри системы сокращается. Проверка проста: отметьте, на какие тела действует сила и принадлежит ли каждое из них выбранной системе.

Нельзя ставить одинаковые знаки проекций для тел, движущихся в противоположных направлениях. Такую ошибку допускают, когда переносят одно уравнение на другое, не сверяясь с выбранными осями. Нарисуйте оси возле каждого тела и определяйте знак каждой силы относительно своей оси; отрицательное ускорение допустимо, если оно отражает неверно угаданное направление.

Натяжение нити — не то же самое, что вес груза или реакция опоры. Эти силы имеют разные причины и направления, а равными они оказываются только в отдельных случаях, например при определённых условиях равновесия. Чтобы проверить себя, нарисуйте диаграмму сил для одного тела и укажите, какое взаимодействие создаёт каждую силу.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны второй закон Ньютона, сложение сил и проецирование векторов на оси. Также важно различать силу тяжести, вес тела и реакцию опоры: это не взаимозаменяемые понятия. Условия по второй оси помогают находить реакцию опоры, когда тело ускоряется только вдоль поверхности.

Метод связанных тел применяют и в более сложных задачах динамики: при движении по наклонной плоскости, наличии трения или нескольких блоков. В каждом случае сначала устанавливают геометрическую связь ускорений, а затем составляют уравнения Ньютона. Позднее такое умение помогает анализировать системы при изучении законов сохранения.

Что запомнить

• Для каждого тела системы отдельно составляют уравнение второго закона Ньютона.
• У идеальной нерастяжимой нити ускорения связанных тел равны по модулю.
• У идеальной нити, перекинутой через идеальный блок, натяжение по обе стороны одинаково.
• При рассмотрении системы целиком внутренние силы натяжения исключаются из уравнения движения.
• Направления осей и знаки проекций выбирают до записи уравнений и затем соблюдают последовательно.
• Сначала находят ускорение системы, затем — натяжение нити из уравнения для отдельного тела.