"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 3 частях)", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.; под ред. Орлова В.А. (ч. 1); Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И., под ред. Орлова В.А. (ч. 2); Генденштейн Л.Э., Кошкина А.В., Левиев Г.И. (ч. 3)
Если два тела движутся по одной прямой в одном направлении, расстояние между ними зависит от того, какое из них быстрее и где оно находится. Для описания движения задают координаты и скорости тел, а затем сравнивают их координаты или скорости. Так можно определить, сближаются тела или удаляются, найти время и место встречи, а также рассчитать обгон с учётом размеров. Главный приём — использовать разность скоростей.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равномерное прямолинейное движение — движение вдоль одной прямой с постоянной по модулю скоростью. Если ось направлена вдоль движения, координата тела меняется по закону x = x₀ + vt, где x₀ — координата в начале отсчёта, v — скорость, t — время. Эта запись позволяет узнать положение тела в любой момент.
Скорость сближения — скорость, с которой уменьшается расстояние между телами, движущимися в одном направлении. Когда быстрое тело находится позади, она равна разности его скорости и скорости переднего тела: vсбл = vзад − vперед. Эта величина показывает, насколько сокращается промежуток за единицу времени.
Скорость удаления — скорость увеличения расстояния между телами. При движении в одном направлении её модуль равен разности модулей скоростей, если быстрее движется переднее тело. Понятие помогает понять, растёт ли промежуток и с какой скоростью.
Относительная скорость — скорость одного тела относительно другого; её значение зависит от того, какое тело рассматривают первым. При выборе направления оси проекции скоростей вычитают с учётом знаков: v₁₂ = v₁ − v₂. Она нужна, чтобы описать изменение положения одного тела относительно другого без привязки к их общему движению.
Сначала выбирают ось, её положительное направление и начало отсчёта. Затем для каждого тела задают начальную координату и скорость, после чего записывают x₁ = x₁₀ + v₁t и x₂ = x₂₀ + v₂t. Выбор оси важен: скорость, направленная против её положительного направления, получает отрицательный знак. Такие уравнения позволяют сравнивать положения тел в один и тот же момент.
Расстояние между телами на прямой определяется разностью координат по модулю: d = |x₂ − x₁|. При равномерном движении координаты линейно зависят от времени, поэтому их разность тоже меняется линейно, пока порядок тел не изменился. Наклон графика координаты показывает проекцию скорости, а изменение разности координат — изменение промежутка между телами. Поэтому для ответа важно следить не только за скоростями, но и за тем, кто находится впереди.
Если заднее тело быстрее переднего, за одинаковое время оно проходит больший путь, и разница пройденных путей уменьшает начальный промежуток. Скорость уменьшения расстояния равна vзад − vперед, а при постоянных скоростях время встречи можно найти, разделив начальное расстояние на эту разность. Ещё один способ — приравнять координаты тел: в момент встречи они занимают одну точку. Подстановка найденного времени в любое уравнение координаты даёт место встречи.
Если переднее тело движется быстрее заднего, за каждую секунду оно дополнительно увеличивает отрыв на разность скоростей. Поэтому расстояние растёт, а заднее тело не догонит переднее, пока скорости не изменятся. При одинаковых скоростях оба тела проходят одинаковые пути за одинаковое время, значит, их начальный промежуток остаётся неизменным. Эти выводы предполагают равномерное движение и постоянство направления.
Когда известны начальные координаты и скорости, уравнения движения дают и время, и место встречи. Графически каждой зависимости x(t) соответствует прямая, а пересечение двух прямых означает, что координаты тел совпали в один момент. Если линии не пересекаются в рассматриваемом промежутке времени, встречи там не происходит. Наклон линии помогает сравнить скорости, а её положение при t = 0 — начальные координаты.
Чтобы пользоваться таблицей, сначала определите, какое тело расположено позади, а затем сравните скорости. Для нахождения времени встречи при сближении разделите начальный промежуток на скорость сближения. В задаче на обгон дополнительно проверьте, нужно ли учитывать длины тел.
| Ситуация | Как меняется расстояние | Скорость изменения расстояния | Условие встречи |
|---|---|---|---|
| Заднее тело быстрее переднего | Уменьшается | vзад − vперед — скорость сближения | При постоянных скоростях встреча возможна; t = d₀/(vзад − vперед) |
| Переднее тело быстрее заднего | Увеличивается | vперед − vзад — скорость удаления | Догнать переднее тело нельзя |
| Тела движутся с одинаковыми скоростями | Не меняется | Равна нулю | Встреча возможна, только если тела изначально в одной точке |
| Начальные координаты и уравнения движения | Определяется разностью координат | Находится сравнением скоростей с учётом знаков | Приравнять x₁₀ + v₁t и x₂₀ + v₂t |
Задача 1. Два пешехода движутся в одном направлении со скоростями 4 км/ч и 5 км/ч. Быстрый пешеход находится позади. Найти скорость изменения расстояния между ними. Поскольку задний пешеход быстрее, промежуток сокращается, и нужно найти скорость сближения.
Ответ: расстояние уменьшается со скоростью 1 км/ч.
Задача 2. Велосипедист со скоростью 6 м/с находится на 40 м позади бегуна, движущегося со скоростью 4 м/с. Через сколько секунд велосипедист догонит бегуна? Начальный промежуток сокращается, так как велосипедист движется быстрее. Значит, в расчёте нужно использовать скорость сближения, а не полную скорость велосипедиста.
Ответ: велосипедист догонит бегуна через 20 с.
Задача 3. Автомобиль длиной 5 м движется со скоростью 20 м/с и догоняет автобус длиной 15 м, движущийся со скоростью 15 м/с. Между автомобилем и автобусом первоначально 30 м. Найти время полного обгона. Для полного обгона автомобиль должен пройти относительно автобуса не только промежуток, но и длину автобуса и собственную длину.
Ответ: полный обгон займёт 10 с.
Складывать скорости при движении в одном направлении. Так поступают, перенося правило для движения навстречу друг другу на другую ситуацию. При движении в одну сторону пути тел частично компенсируют друг друга, поэтому для изменения расстояния нужна разность модулей скоростей. Проверьте ответ: если скорости одинаковы, скорость сближения должна быть нулевой, а не удвоенной.
Не учитывать, кто находится впереди. Одна и та же разность скоростей может означать сближение или удаление: это зависит от порядка тел. Ошибка возникает, когда вычисление начинают только со сравнения чисел. Нарисуйте схему с направлением движения и подпишите, какое тело расположено позади.
Путать скорость сближения со скоростью одного тела. Скорость сближения показывает изменение промежутка, а не путь отдельного участника. Если подставить в формулу времени скорость велосипедиста вместо разности скоростей, получится неверный результат. Проверьте смысл величины: за секунду начальное расстояние должно изменяться именно на найденное число метров.
Не учитывать размеры тел при обгоне. Равенство координат центров ещё не означает, что одно тело полностью прошло другое. Эту ошибку допускают, когда слово «обогнать» понимают как достижение той же координаты. Уточните условие: для полного обгона к промежутку добавляют длины обоих тел.
Для решения задач нужно уметь пользоваться формулой равномерного прямолинейного движения и находить координату по начальным данным. Поэтому сначала важно освоить запись x = x₀ + vt и не путать координату с пройденным путём. Выбор оси и начала отсчёта определяет знаки координат и проекций скоростей.
Относительное движение помогает описывать не только обгон, но и движение в разных направлениях. Те же уравнения координат применяют при анализе графиков зависимости координаты от времени: встреча соответствует пересечению графиков. Навык сравнивать скорости и координаты пригодится и в более сложных задачах на движение.
Почему при движении в одном направлении скорости вычитают?
Оба тела за одно и то же время проходят путь в одну сторону, поэтому расстояние между ними изменяется на разность пройденных путей. Если скорости равны, расстояние не меняется; если различаются, оно изменяется со скоростью, равной разности модулей скоростей.
Как понять, сближаются тела или удаляются?
Сравните их расположение и скорости: если заднее тело быстрее переднего, расстояние сокращается. Если переднее тело быстрее, расстояние растёт; при одинаковых скоростях оно остаётся постоянным.
Что делать, если начальное расстояние между телами не указано, но даны их координаты?
Вычтите меньшую координату из большей: начальное расстояние равно |x₂₀ − x₁₀|. Если координаты заданы на одной прямой, модуль разности учитывает, какое тело находится впереди.
Как определить время встречи по уравнениям движения?
Запишите координату каждого тела как функцию времени и приравняйте эти координаты. Решение полученного уравнения даст время встречи; подстановка этого времени в любое уравнение координаты покажет место встречи.
Нужно ли учитывать длину тел в задаче на обгон?
Да, если требуется полный обгон, а не только сравнение координат центров. Относительно второго тела первому нужно пройти начальный промежуток вместе с длинами обоих тел.
1. Движение тел в одном направлении
