"Физика. Базовый и углубленный уровни (в 2 частях) ", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.
Когда два тела движутся вдоль одной прямой в одном направлении, расстояние между ними зависит от того, какое из них быстрее. Эту зависимость описывают через относительную скорость: для сближения или удаления она равна разности скоростей. Такой подход помогает выяснить, встретятся ли тела и когда это произойдёт, а также рассчитать расстояние между ними в заданный момент. Для решения задач достаточно выбрать ось, записать координаты тел и сравнить их.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Относительная скорость — скорость одного тела относительно другого. При движении в одном направлении её модуль равен разности модулей скоростей, потому что общее перемещение обоих тел не меняет их взаимное положение. Это понятие помогает определить, как быстро меняется расстояние между телами.
Скорость сближения — скорость уменьшения расстояния между телами. Если более быстрое тело находится позади и догоняет медленное, скорость сближения равна разности их скоростей. Она нужна, чтобы рассчитать, через какое время расстояние станет нулевым.
Скорость удаления — скорость увеличения расстояния между телами. Если тела движутся в одном направлении и впереди находится более быстрое, скорость удаления равна разности скоростей. С её помощью можно выяснить, как быстро тела расходятся и когда расстояние достигнет заданного значения.
Время встречи — промежуток времени от начала наблюдения до момента, когда координаты тел становятся равными. В этот момент оба тела находятся в одной точке. Время встречи находят по уравнениям координат или через начальное расстояние и скорость сближения.
Сначала выбирают общую ось координат и направляют её вдоль движения. Тогда скорости обоих тел имеют одинаковый знак, например положительный, а положения тел можно сравнивать по координатам. Общая система отсчёта нужна, чтобы изменения координат и расстояния описывались согласованно.
При равномерном движении за равные промежутки времени тело проходит равные расстояния, поэтому его координата меняется по формуле x = x₀ + vt. Здесь x₀ — координата в начале наблюдения, v — скорость, t — прошедшее время. Для двух тел записывают отдельное уравнение, и по ним можно узнать, где каждое тело окажется в один и тот же момент.
Расстояние между телами на прямой равно модулю разности их координат: d = |x₂ − x₁|. За время t координаты меняются на v₁t и v₂t, поэтому изменение разности координат зависит от разности скоростей. Именно поэтому при движении в одном направлении скорость изменения расстояния равна |v₁ − v₂|, а не сумме скоростей.
Чтобы найти встречу, приравнивают координаты: x₁ = x₂. Это условие означает, что тела находятся в одном месте в один момент, а решение уравнения даёт время встречи. Если известное начальное расстояние уменьшается, можно рассуждать иначе: разделить его на скорость сближения, поскольку расстояние, скорость и время связаны формулой d = vt.
Если расстояние растёт, та же связь позволяет найти время до заданного расстояния. Нужно определить, на сколько должно увеличиться расстояние, и разделить эту величину на скорость удаления. Такое вычисление имеет смысл, если расстояние действительно увеличивается и заданное значение больше начального.
| Ситуация | Начальное расстояние | Скорость изменения расстояния | Время |
|---|---|---|---|
| Быстрое тело догоняет медленное | d₀ | Сближение: v₁ − v₂, где v₁ > v₂ | t = d₀ / (v₁ − v₂) |
| Быстрое тело впереди, тела удаляются | d₀ | Удаление: v₁ − v₂, где v₁ > v₂ | t = (d − d₀) / (v₁ − v₂) |
| Общее уравнение координат | x₁₀ и x₂₀ | x₁ = x₁₀ + v₁t; x₂ = x₂₀ + v₂t | Заданный момент t |
| Условие встречи | Начальные координаты тел | x₁ = x₂ | Решить уравнение относительно t |
Сначала определите, уменьшается или увеличивается расстояние, и выберите соответствующую строку. Для сближения скорость получается вычитанием, а для удаления в формуле времени учитывается прирост расстояния. Если решаете задачу по координатам, используйте две последние строки и следите за единицами измерения.
Два пешехода идут в одном направлении со скоростями 5 км/ч и 3 км/ч. В начале они рядом. Нужно узнать расстояние между ними через 2 часа. Поскольку более быстрый пешеход уходит вперёд, расстояние увеличивается со скоростью, равной разности скоростей.
Ответ: через 2 часа пешеходов будет разделять 4 км.
Велосипедист со скоростью 18 км/ч догоняет едущего впереди со скоростью 12 км/ч. Начальный промежуток между ними — 600 м. Требуется найти время встречи. Сначала скорость и расстояние нужно привести к согласованным единицам, чтобы итоговое время получилось в секундах.
Ответ: встреча произойдёт через 6 минут.
Координаты автомобилей заданы формулами x₁ = 2 + 20t и x₂ = 50 + 15t; координаты выражены в километрах, время — в часах. Второй автомобиль вначале впереди на 48 км, но первый едет быстрее. Поэтому встреча возможна: расстояние уменьшается со скоростью 20 − 15 = 5 км/ч. Проверим момент встречи, приравняв координаты.
Ответ: автомобили встретятся через 9,6 часа после начала наблюдения.
Скорости тел, движущихся в одном направлении, иногда складывают, как при движении навстречу. Так происходит из-за привычки считать, что скорости всегда прибавляют для нахождения общего изменения. Проверьте смысл величины: расстояние между телами меняется только на разницу пройденных ими путей, поэтому нужна разность скоростей.
Можно ошибочно считать, что тела непременно встретятся. Но если впереди более быстрое тело, расстояние растёт, и догоняющее тело не настигнет его; при равных скоростях промежуток тоже не изменится. Перед вычислением выясните, кто находится впереди и кто движется быстрее.
Не путайте расстояние со скоростью: расстояние измеряется в метрах или километрах, а скорость — в метрах в секунду или километрах в час. Иногда их смешивают, потому что обе величины появляются в одной формуле. Проверьте единицы результата: при делении расстояния на скорость должно получиться время.
Нельзя подставлять в один расчёт величины в несогласованных единицах, например расстояние в метрах и скорость в километрах в час. Такая ошибка возникает, когда значения выглядят привычно и их единицы не замечают. Перед вычислением переведите всё в метры и метры в секунду либо в километры и километры в час.
Для решения задач нужно уметь описывать равномерное прямолинейное движение формулой координаты x = x₀ + vt и переводить единицы скорости. Понятие относительной скорости продолжает изучение движения и применяется к поездам, автомобилям и пешеходам. Сравнение координат и скоростей помогает читать графики движения: по ним можно увидеть, где находятся тела и когда их координаты совпадают.
Почему при движении в одном направлении скорости нужно вычитать?
Обе скорости направлены вдоль одной оси в одну сторону, поэтому изменение расстояния определяется тем, насколько одно тело перемещается быстрее другого. Например, если скорости равны 5 км/ч и 3 км/ч, расстояние меняется со скоростью 2 км/ч, а не 8 км/ч.
Как понять, сближаются тела или удаляются?
Сравните их положение и скорости. Если заднее тело движется быстрее переднего, расстояние уменьшается; если переднее тело быстрее или они разъезжаются от начального расположения, расстояние увеличивается.
Могут ли тела, движущиеся в одном направлении, никогда не встретиться?
Да. Если впереди находится более быстрое тело, расстояние между ними увеличивается, поэтому догнать его нельзя. Если скорости одинаковы, расстояние не меняется: тела встретятся только в том случае, если изначально находятся рядом.
Как найти время встречи, если известны координаты и скорости тел?
Запишите координаты обоих тел как x = x₀ + vt, где x₀ — начальная координата, v — скорость, t — время. Приравняйте выражения и решите уравнение относительно t; отрицательное значение означает, что встреча произошла до начала наблюдения.
Что делать, если в задаче расстояние дано в метрах, а скорость — в километрах в час?
Сначала приведите величины к согласованным единицам. Например, 18 км/ч = 5 м/с, поэтому при расстоянии в метрах время получится в секундах.
1. Движение тел в одном направлении
