"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 3 частях)", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.; под ред. Орлова В.А. (ч. 1); Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И., под ред. Орлова В.А. (ч. 2); Генденштейн Л.Э., Кошкина А.В., Левиев Г.И. (ч. 3)
Когда два тела движутся по одной прямой в одну сторону, расстояние между ними зависит от их начального положения и разности скоростей. Этот способ описания движения помогает понять, догонит ли одно тело другое, когда произойдёт встреча и где именно. Для решения задач выбирают ось, записывают координаты тел по формуле равномерного движения, а затем сравнивают их. Так можно рассуждать и по формулам, и по графикам.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равномерное прямолинейное движение — это движение по прямой с постоянной скоростью. Чтобы описать его координатой, выбирают ось и задают её положительное направление. Если ось направлена вдоль движения, координата и скорость тела обычно увеличиваются со временем.
Скорость — физическая величина, которая характеризует быстроту и направление движения. Её обозначают v; в СИ скорость измеряется в метрах в секунду (м/с), также используют километры в час (км/ч). Знак скорости зависит от выбранного положительного направления оси.
Относительная скорость — скорость одного тела относительно другого, то есть скорость изменения их взаимного положения. Когда тела движутся в одном направлении, её модуль равен разности модулей скоростей. Это позволяет узнать, насколько быстро одно тело приближается к другому или отдаляется от него.
Скорость сближения показывает, как быстро уменьшается расстояние между телами, а скорость удаления — как быстро оно увеличивается. При движении в одном направлении соответствующую скорость находят как разность скоростей, учитывая, какое тело впереди и какое быстрее. Эти величины нужны, чтобы находить изменение расстояния и время возможной встречи.
Сначала выберите систему отсчёта: тело или точку, относительно которой описывается движение, и связанные с ней ось координат и часы. Удобно направить ось в сторону движения обоих тел. Тогда обе скорости записываются с одинаковым знаком, а начальные координаты сразу показывают, какое тело расположено впереди.
Для равномерного движения координата меняется на величину vt: за каждую секунду тело проходит одинаковое расстояние. Поэтому закон движения записывается как x = x₀ + vt. Для двух тел в один и тот же момент времени получаются выражения x₁ = x₁₀ + v₁t и x₂ = x₂₀ + v₂t; по ним можно сравнить их положение.
Если тела едут в одну сторону, за время t каждое проходит путь, пропорциональный своей скорости. Расстояние между ними меняется на разность этих путей, поэтому скорость сближения или удаления определяется разностью скоростей, а не их суммой. Например, когда заднее тело быстрее, расстояние сокращается со скоростью v₁ − v₂.
Встреча означает, что в один момент оба тела занимают одну точку, то есть имеют одинаковые координаты. Приравняйте законы движения: x₁₀ + v₁t = x₂₀ + v₂t, а затем решите полученное линейное уравнение относительно времени. Чтобы найти место встречи, подставьте найденное время в любой из законов движения.
Чтобы выяснить, сближаются тела или удаляются, сравните не только скорости, но и начальное расположение. Если заднее тело движется быстрее переднего, промежуток между ними сокращается; если медленнее — увеличивается. При одинаковых скоростях расстояние не меняется, поэтому тела, изначально находящиеся в разных точках, не встретятся.
На графике координаты от времени каждому равномерному движению соответствует прямая. Её наклон показывает скорость: чем круче линия, тем больше модуль скорости при одинаковом масштабе осей. Пересечение линий означает, что у тел в этот момент одинаковая координата.
| Характеристика | Первое тело | Второе тело | Относительное движение |
|---|---|---|---|
| Начальная координата | x₁₀ | x₂₀ | Начальный промежуток определяется разностью координат |
| Скорость и её направление | v₁ | v₂ | При оси вдоль движения скорости имеют одинаковый знак |
| Закон движения | x₁ = x₁₀ + v₁t | x₂ = x₂₀ + v₂t | Сравнивают координаты при одном и том же t |
| Начальное расстояние между телами | s₀ = |x₂₀ − x₁₀| | Модуль разности начальных координат | |
| Скорость сближения при догоняющем движении | Более быстрое тело | Более медленное тело впереди | vсбл = vбыстр − vмедл |
| Скорость удаления | Скорость тела позади или впереди | Скорость другого тела | Если переднее тело быстрее: vудал = vперед − vзад |
| Условие встречи | x₁ = x₂ | Координаты равны в один момент времени | |
| Время и координата встречи | Найти t из равенства координат | Координату найти подстановкой t в закон движения | |
Сначала заполните столбцы тел: укажите начальные координаты и скорости, а затем запишите законы движения. По начальному расположению и скоростям определите, меняется ли расстояние и с какой скоростью. Для встречи используйте равенство координат; отдельно проверьте, что найденное время имеет смысл для условия.
Из одного пункта одновременно выехали два автомобиля в одном направлении со скоростями 72 км/ч и 54 км/ч. Найти расстояние между ними через 20 минут. Оба автомобиля начинают движение из одной точки, поэтому начальный промежуток равен нулю. Более быстрый автомобиль удаляется вперёд, и расстояние растёт с разностью скоростей.
Ответ: через 20 минут расстояние между автомобилями будет 6 км.
Второй автомобиль находится впереди первого на 18 км. Скорости автомобилей равны 90 км/ч и 72 км/ч. Через какое время первый автомобиль догонит второй? Здесь первый автомобиль движется быстрее, поэтому расстояние между машинами уменьшается. Для расчёта нужно выяснить не полный путь автомобилей, а скорость сокращения промежутка.
Ответ: первый автомобиль догонит второй через 1 час.
Даны законы движения x₁ = 2 + 3t и x₂ = 14 + t, где координаты измерены в метрах, время — в секундах. Нужно выяснить, встретятся ли тела, и найти момент встречи. Начальная координата первого тела меньше, зато его скорость больше. Значит, расстояние между телами должно сокращаться.
Ответ: тела встретятся через 6 с в точке с координатой 20 м.
Складывают скорости тел, движущихся в одном направлении, хотя при догоняющем движении нужно находить их разность. Ошибку допускают, потому что переносят правило для движения навстречу друг другу. Проверьте ответ по смыслу: при одинаковых скоростях скорость сближения должна быть нулевой, а не удвоенной.
Иногда учитывают только скорости и забывают о начальном расстоянии, либо считают встречу наступившей при равенстве скоростей. Но одинаковые скорости не означают одинакового положения: если между телами есть промежуток, при равных скоростях он сохранится. Проверка проста: запишите начальные координаты и подставьте их в условие встречи x₁ = x₂.
Подстановка минут или часов при скорости в метрах в секунду приводит к несогласованным единицам. Такая ошибка часто незаметна, потому что числа в вычислениях выглядят правдоподобно. Перед расчётом переведите время в секунды для м/с или в часы для км/ч и проверьте единицу ответа.
Неправильно выбранное направление оси может привести к неверным знакам координат и скоростей. Знак скорости показывает направление относительно оси, а не то, какое тело быстрее. Нарисуйте ось, отметьте положительное направление и расположение тел; после решения проверьте, согласуются ли знаки и найденное время с описанием движения.
Для решения задач понадобятся система отсчёта, координата, путь, перемещение и скорость. Формула равномерного прямолинейного движения связывает эти величины во времени. Умение различать координату и расстояние между телами помогает верно записать их начальное положение.
Относительное движение встречается в задачах на догоняние и при изучении графиков координаты и скорости. Сравнение прямых на графике помогает увидеть, как меняется расстояние и когда тела оказываются в одной точке. Такой подход пригодится и в дальнейшем при анализе движения нескольких тел.
Математическая основа решения — линейное уравнение: приравнивая координаты, находят время встречи. На графике это соответствует точке пересечения двух прямых. Координаты этой точки дают время и место встречи.
Почему при движении в одном направлении скорости вычитают, а не складывают?
За одинаковое время оба тела проходят путь в одну сторону, поэтому расстояние между ними меняется на разность пройденных путей. Значит, относительная скорость равна разности скоростей. Складывают скорости, когда тела движутся навстречу друг другу.
Как понять, какое тело догоняет другое?
При догоняющем движении одно тело находится позади, а его скорость больше скорости впереди идущего. Тогда расстояние между ними уменьшается. Если скорость заднего тела меньше, оно не догонит переднее при постоянных скоростях.
Можно ли найти время встречи без записи законов движения?
Да, если известно начальное расстояние и понятно, что тела сближаются. Разделите расстояние между ними на скорость сближения: t = s₀ / (v₁ − v₂), где v₁ — скорость догоняющего тела. При сложном расположении удобнее записать координаты.
Что означает отрицательное время, полученное при решении?
Отрицательное время означает, что равенство координат получилось для момента до начала отсчёта. В будущем тела при заданных условиях не встретятся. Проверьте также выбор направления оси и знаки скоростей.
Как по графику координат определить момент и место встречи?
На графике координаты от времени встрече соответствует точка пересечения линий двух тел. Её координата по горизонтальной оси показывает время встречи, а по вертикальной — место встречи. Наклон каждой прямой связан со скоростью тела.
1. Движение тел в одном направлении
